2019年单招理科数学模拟试题含答案

2019年单招理科数学模拟试题含
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2019年单招理科数学模拟试题（一）【含答案】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（?RA）∩B等于（）|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁RA）∩B等于（）
A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}
3．下列函数中，在其定义域，既是奇函数又是减函数的是（）
A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2xD．f（x）=﹣tanx
4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]
5．已知角α是第二象限角，直线2x+（tanα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）
A．16B．8C．4D．2
7．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）
A．﹣112B．112C．56D．﹣56
8．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3C．2D．
9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）
A．me=m0=B．me=m0＜C．me＜m0＜D．m0＜me＜
11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，
BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）
A．20+8B．44C．20D．46
12．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）
A．是奇函数B．为f（x）的一个对称中心
C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．
14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积
为．
15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．
16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值围为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的通项公式是bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．
19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD作
CE⊥CD，且CE=．
（1）求证：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．
（1）求椭圆C的方徎；
（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．
21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．
（1）求证：函数f（x）在定义域存在单调递减区间[a，b]；
（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的长．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中
α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的
方程为ρcos（θ﹣）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，数a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，数a的取值围．+|（2）若a＞
1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，数a的取值围．|（2）若a＞1，?x∈R，f（x）
+|x﹣1|≥1，数a的取值围．
2019年单招理科数学模拟试题（一）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个
选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由=﹣i，
得，即z=1+i．
则复数z在复平面对应的点的坐标为（1，1）．
位于第一象限．
故选：A．
2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（?RA）∩B等于（）|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁RA）∩B等于（）
A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出B，求出A的补集，找出补集与B 的公共部分，能求出结果．
【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，
集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，
∴（CRA）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}
={x|1≤x＜3}．
故选：A．
3．下列函数中，在其定义域，既是奇函数又是减函数的是（）
A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2xD．f（x）=﹣tanx
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．
【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域不单调；
B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；
C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；
D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域不单调；
故选C．
4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]
【考点】充要条件．
【分析】由x＞2得到x2＞4，根据充分不必要条件的概念得：a≤4．
【解答】解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；
∵x＞2，∴x2＞4；
∴a≤4；
∴a的取值围是（﹣∞，4]．
故选：D．
5．已知角α是第二象限角，直线2x+（tanα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】直线的斜率．
【分析】表示出k，求出tanα，根据角α是第二象限角，求出cosα即可．【解答】解：由题意得：
k=﹣=，
故tanα=﹣，
故cosα=﹣，
故选：D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）
A．16B．8C．4D．2
【考点】程序框图．
【分析】已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．
【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，
s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，
s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；
s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；
故选B：
7．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）
A．﹣112B．112C．56D．﹣56
【考点】二项式系数的性质．
【分析】先求出通项公式，再令4﹣r=1，由此可得开式中x的系数
【解答】解：（﹣）8的展开式的通项为Tr+1=（﹣2）rC8rx4﹣r，
令4﹣r=1，
解得r=2，
∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，
故选：B．
8．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3C．2D．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度．
【解答】解：在图形中，过B作BD⊥AC
S△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，
解得：丨AB丨=2，
∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，
sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，
丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，
在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，
则丨BC丨=，
故选A．
9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】求出区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，利用曲线y=ax
（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，可得=，即可得到结论．
【解答】解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），
则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，
∴=，
∴（﹣ax2）=，
∴a=﹣，
故选：B．
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）
A．me=m0=B．me=m0＜C．me＜m0＜D．m0＜me＜
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．
【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：
30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=，
得分为5的最多，故众数m0=5，
其平均数=≈；
则有m0＜me＜，
故选：D．
11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，
BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）
A．20+8B．44C．20D．46
【考点】球接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．
【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，
它们的斜高为：4和2，
所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．
故选B．
12．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）
A．是奇函数B．为f（x）的一个对称中心
C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位后，
得到 y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，
再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，
∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．
由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；
当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；
在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；
在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 6 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（4，2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6．
故答案为：6．
14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先还原几何体为体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求．【解答】解：由三视图得到几何体如图：
其体积为；
故答案为：
15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为为﹣x2=1 ．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，
∴，
∴2b=a，
∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，
∴FF1=3，
∴c2+4=9，
∴c=，
∵c2=a2+b2，a=2b，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为﹣x2=1．
故答案为：﹣x2=1．
16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值围为
．
【考点】向量的三角形法则．
【分析】由|+|=2，|﹣|=2，可得： +2=12，
﹣2=4，可得，，利用cosθ=与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由|+|=2，|﹣|=2，可得： +2=12，
﹣2=4，
∴=8≥2， =2，
∴cosθ=≥．
∴θ∈．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、
验算过程.
17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的通项公式是bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可
得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列{an}的通项公式；（2）求出数列{bn}的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则
∵S6=51，
∴×（a1+a6）=51，
∴a1+a6=17，
∴a2+a5=17，
∵a5=13，∴a2=4，
∴d=3，
∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；
（2）bn==﹣2?8n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和Sn==（8n﹣1）．
18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A，利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率．
（2）由已知条件推导出X的可能取值为3，5，6，7，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望EX．
【解答】解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．
∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，
∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，
∴P（A）=×=．
（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．
∴X的可能取值为3，5，6，7，
∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，
P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，
∴X的分布列为：
X 3 5 6 7
P
数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．
19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD作
CE⊥CD，且CE=．
（1）求证：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由BD=CD=2，BC=4，可知BD⊥CD，再由CE⊥CD，可得CE∥BD，利用线面平行的判定定理可得结论；
（2）当二面角A﹣BD﹣C的大小为90°时可得AD⊥平面BDC，取AC中点F，AE中点G，可证∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，通过解三角形可求得∠BFG，从而得到答案．
【解答】（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD；
（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，
又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，
由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，
设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，
设AE中点为G，则FG∥CE，
由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，
在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，
在Rt△DCE中，DE==，
于是在Rt△ADE中，AE==3，
在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，
∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，
∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．
（1）求椭圆C的方徎；
（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程．
（2）直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法
l′的方程为，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点．
【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），
∴，
解得a2=12，b2=4，
∴椭圆C的方程为．
（2）∵直线l的方程为x=﹣2，
设P（﹣2，y0），，
当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，
联立，
∴，
∴，
又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，
∴直线MN的斜率为，
又l′⊥MN，∴l′的方程为，
即，
∴l′恒过定点．
当y0=0时，直线MN为，
此时l′为x轴，也过点，
综上，l′恒过定点．
21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．
（1）求证：函数f（x）在定义域存在单调递减区间[a，b]；
（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令f′（x）=0，因为△＞0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得方程有两个不等的正根，从而得到函数f（x）存在单调递减区间；
（2）先求出函数y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程，若切线l与曲线C只有一个公共点，则只需方程f（x）=﹣x+2有且只有一个实根即可．
【解答】（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）
因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）．
因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，
所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为
[a，b]．
故函数f（x）存在单调递减区间；
（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l 为y=﹣x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．
当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．
所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在
（0，）也有一个解，即当m＞1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l 与C有且只有一个公共点．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；
（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，
所以：∠AOB=60°；
∵OA=OB
∴∠AB0=60°；
∵∠ABC=∠AEC
∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，
在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．
∵BD?DC=AD?DE，
∴DE=．
∴AE=DE+AD=．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中
α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的
方程为ρcos（θ﹣）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，数a的值．
【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角
三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用
同角三角函数的基本关系消去参数α可得，
（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．
（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为
+=2a，
由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得 a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，数a的取值围．+|（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，数a的取值围．|（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，数a的取值围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，
得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值围．
【解答】解：（1）当a=2时，，
由于f（x）≥2，
则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；
②当1≤x≤1时，1≥2，无解；
③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；
（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，
只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值围为[2，+∞）．。