天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学(理)(解析版)

天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.i是虚数单位，复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．
．
故选：A．
进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．
本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．
2.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：函数，是奇函数，在上单调递增，不满足条件．
函数不是奇函数，不满足条件，
函数是偶函数，不满足条件，
故选：D．
分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
3.在中，“是锐角三角形”是“”的
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】解：当，时，满足，但此时是直角角三角形，
是锐角三角形不成立即必要性不成立，
当为锐角三角形时，，，
，
故成立即充分性成立
“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，
故选：B．
根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．
4.函数其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，则只
要将的图象
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】解：由函数的图象可得，，．
再根据五点法作图可得，求得，故
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
5.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：是偶函数，
，
即，
即，
即，即，
则或，
得，，
即，则当时，为增函数，
，，，
，
，
即，
故选：A．
根据函数是偶函数，求出，然后利用偶函数和函数的单调性进行比较即可．
本题主要考查函数值的对称比较，结合函数奇偶性和单调性的关系将变量进行转化是解决本题的关键．
6.已知函数的最小值在区间上至少出现两次，则的最小值等于
A. 6
B.
C.
D. 3
【答案】D
【解析】解：．
由，得，
的最小值在区间上至少出现两次，
，解得．
的最小值等于3．
故选：D．
利用三角函数的倍角公式化简变形，由x的范围求得相位的范围，结合的最小值在区间上至少出现两次，可得，求解得答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象与性质，考查数学转化思想方法，是中档题．
7.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题，
令0'/>解得；令解得或
由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数
故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值
，解得
又当时，，故有
综上知
故选：C．
求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．
8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a
的取值范围为
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】解：由，整理得：，
令，且，
则，设，
求导，令，解得：，
在上单调递增，在单调递减，
则当时，，如图所示，
由题意可知方程有一个根在内，另一个根或或，
当方程无意义，当时，，不满足题意；
则，由二次函数的性质可知：，即，
解得：，
故选：B．
由题意可知：令，化简求得，根据的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.若集合，，则是______．
【答案】
【解析】解：，则，
或，则或，
故A；
故答案为
解可得集合A，解可得集合B，由交集的定义，求A、B的交集，即可得答案．
本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式与分式不等式的解法，关键是正确解出两个不等式．
10.曲线与直线，所围成图形面积为______．
【答案】
【解析】解：曲线和曲线的交点为
直线和的交点为
曲线与直线，所围成图形面积为
故答案为：
作出曲线与直线、的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11.设、都是锐角，且，，则______．
【答案】
【解析】解：为锐角，，
，
，且，
，且，
，
则．
故答案为：
由为锐角，根据的值，求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，且根据其值范围确定出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子中的角变形为，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．
【答案】
【解析】解：设与和的切点分别为、；
由导数的几何意义可得，得
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子解得；
从而得出．
先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题
13.已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围
为______．
【答案】
作出函数，的图象，
当，，，两个函数的图象
不可能有4个交点，不满足条件；
则，此时，
当时，，，
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时，
即，
则由，即，
解得或，
当时，，，此时不成立，此时，
要使两个函数有四个零点，则此时，
若，此时与，有两个交点，
此时只需要当时，有两个不同的零点即可，
即，整理得，
则由，即，解得舍去或，
综上a的取值范围是．
故答案为：．
由得，作出函数，的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
14.已知函数是定义在R上的函数，且满足对都有，当时，
若对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：都有，
即为，
可得，可得为偶函数，
当时，，
可得时，递减，
；
当时，，
导数为，
当时，，可得，
当时，由当且仅当取得等号，
且，可得，
则递减，且，，
在上为减函数，
对任意的，不等式恒成立，
可得，
即为，
即有，
由一次函数的单调性，可得：
，且，
即为且，
即有，
则m的范围是，
故答案为：
由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，，即为，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．
本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
求A；
若，的面积为；求b，c．
【答案】解：由正弦定理得：，
即
，
即
．
；
若，的面积，
再利用余弦定理可得：
，
结合求得．
【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；
若，由的面积为，求得，再利用余弦定理可得，结合求得b和c 的值．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．
16.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多
者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
求甲在4局以内含4局赢得比赛的概率；
Ⅱ记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．
【答案】解：用A表示甲在4局以内含4局赢得比赛的是事件，表示第k局甲获胜，表示第k局乙获胜，
则，，，2，3，4，5
．
Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．
，
，
，
，
或者，
故分布列为：
．
【解析】Ⅰ根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
Ⅱ利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．
本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且
．
求异面直线AC与所成角的余弦值；
求二面角的正弦值；
设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长．
【答案】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得
解：易得，
于是，
所以异面直线AC与所成角的余弦值为．
解：易知．
设平面的法向量y，，
则即
不妨令，可得，
同样地，设平面的法向量y，，
则即不妨令，
可得．
于是，
从而．
所以二面角的正弦值为．
解：由N为棱的中点，
得设b，，
则
由平面，得
即
解得故．
因此，所以线段BM的长为．
方法二：
解：由于，故是异面直线AC与所成的角．
因为平面，又H为正方形的中心，，可得．
因此．
所以异面直线AC与所成角的余弦值为．
解：连接，易知，
又由于，，
所以≌ ，过点A作于点R，
连接，于是，故为二面角的平面角．
在中，．
连接，在中，，
从而．
所以二面角的正弦值为．
解：因为平面，所以．
取中点D，连接ND，由于N是棱中点，
所以且．
又平面，
所以平面，故．
又，
所以平面MND，连接MD并延长交于点E，
则，故．
由，
得，延长EM交AB于点F，
可得连接NE．
在中，，故．
所以．
可得．
连接BM，在中，．
【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点Ⅰ求出中的
有关向量，然后求出异面直线AC与所成角的余弦值；
Ⅱ利用求出平面的法向量，通过求出平面的法向量，然后利用求二面角的正弦值；
Ⅲ设N为棱的中点，设b，，利用平面，结合求出a，b，然后求线段BM的长．
方法二：说明是异面直线AC与所成的角，通过解三角形，利用余弦定理，
．
求出异面直线AC与所成角的余弦值为．
连接，过点A作于点R，连接，说明为二面角的平面角连接，
在中，通过，
求出二面角的正弦值为．
首先说明取中点D，连接ND，由于N是棱中点，推出证明平面MND，连接MD并延长交于点E，延长EM交AB于点F，
连接连接BM，在中，求出．
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
18.已知数列的前n项和为，点在直线上上数列满足
，且，前9项和为153．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
【答案】解：Ⅰ点在直线上上，
可得，即，
可得，时，，
上式对也成立，
可得，；
数列满足，且，前9项和为153，
可得为等差数列，设公比为d，
则，，解得，，
则；
Ⅱ，
数列的前n项和
．
【解析】Ⅰ由题意可得，由数列的递推式，即可得到所求，；由等差数列的性质和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到；
Ⅱ求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．
19.椭圆C：离心率，．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为，是否存在实数使为定值？如果存在，
求出，否则说明理由．
【答案】解：Ⅰ由椭圆的离心率，得，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
Ⅱ，，P不为椭圆顶点，
则可设直线BP的方程为
联立，整理得．
则，，．
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，，共线，
得，．
的斜率为．
则，
要使为定值，则，即．
故存在实数，使为定值．
【解析】Ⅰ由椭圆的离心率求得，由，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
Ⅱ设出直线BP的方程为，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率，整理，结合为定值求得值得答案．
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．
20.设函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；求证：．
【答案】解：Ⅰ，．
当时，在上恒成立，
所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；
当时，由，得，，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，
的最小值，即，
，，
令，显然在上为增函数，
且
存在，，
当时，；当时，，
所以满足条件的最小正整数．
又当时，，，，
所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．
证明：不妨设，
于是，
，
因为，当时，；当时，．
故只要证即可，即证明，
即证．
也就是证．
设．
令，则．
，所以，
当且仅当时，，所以在上是增函数．
又，所以当，总成立，所以原题得证．
【解析】Ⅰ，对a分类讨论：，，即可得出单调性．Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，可得，令，显然在上为增函数，且
，因此存在，，进而得出小正整数a的值．
不妨设，于是，可得由于，当时，只要证即可，即证明，即证
设令，利用导数研究其单调性即可证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值、等价转化方法、分析法、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力、函数的零点，属于难题．。