高中平面向量及其应用知识点和相关练习试题

一、多选题1．题目文件丢失！ 2．题目文件丢失！
3．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是
2
π 5．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）
A ．14,33⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,33⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
D ．(7，9)
7．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 方向上的投影为5
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2
8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
9．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ） A ．21
B ．61
C ．41
D ．25
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
OA OD ⋅=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ⋅=⋅
D ．AH 在AB 向量上的投影为22
-
11．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =︒
12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB
BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=
13．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
17．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且
1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
18．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0
A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π
B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π 19．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
)
+∞.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
20．在ABC ∆中，
a 、
b 、
c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆
的面积为（ ） A ．2
B ．4
C
D ．21．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .
现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
22．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
23．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）
A ．33A
B A
C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
25．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3
C 11
D 19．题目文件丢失！
27．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2
cos 3
A =
，则b= A 2B 3
C ．2
D ．3
28．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316
C ．
12
D ．12
-
31．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
33
C ．33
D ．3
33．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33
AB AD - B ．
12
33
AB AD -
C ．21
33
AB AD -
+ D ．12
33
AB AD -
+ 34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭ D ．1
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
35．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．无 2．无 3．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
4．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()
2
2
2
2
2
cos cos a b
a b a b αα⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以(
)
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂
直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
5．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．ABC 【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
选项A . 914
73023
⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫
-⨯
--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫
-⨯---
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫
-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确
故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
7．CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断；
对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量(
解析：CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(a b
-)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则2110
a b⋅=-=>，则,a b的夹角为锐角，错误；
对于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为
2
2
a b
b
⋅
=，错
误；
对于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则a b
-=(1，2)，若(a b
-)∥c，则(﹣n)=2(m ﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn
1
2
= (2m•n)
1
2
≤
(2
2
m n
+
)2=2，即mn的最大值为2，正确；
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题. 8．AD
【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，,故C错误；
对于D，,
,故D正确.
故选：AD.
【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
9．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得
所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin 2
C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
11．AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
解析：AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A
正确；
()
2
22
22a b
a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()
2
2
2
22a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；
由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
12．AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】
因为，正确；
，由向量加法知正确；
，不满足加法运算法则，错误；
，所以错误.
故选：A B.
【点睛】
本题主要考查了向量加法的
解析：AB
【解析】
【分析】
根据向量加法化简即可判断真假.
【详解】
因为0
AB BA AB AB，正确；
AB BC AC，由向量加法知正确；
+=，不满足加法运算法则，错误；
AB AC BC
+=，所以00
AB AB
0,
+=错误.
AB
故选：A B.
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.
13．ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
;
;
;
.
故选：ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
++=+=;
AB BC CA AC CA
-+-=+-+=-=;
()()0 AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
14．AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析：AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为
0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．B 【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-
2
222
||||||22
PC CA PC
=-=-≥-
5
2
=.故选B.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．C
【分析】
AB
AB和
AC
AC分别表示向量AB和向量AC方向上的单位向量，
AB AC
BC
AB AC
⎛⎫
⎪
+⋅=
⎪
⎝⎭
表示A
∠平分线所在的直线与BC垂直，可知ABC为等腰三角形，再由
1
2
AB AC
AB AC
⋅=可求出A
∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0
AB AC
BC
AB AC
⎛⎫
⎪
+⋅=
⎪
⎝⎭
，∴A
∠平分线所在的直线与BC垂直，∴ABC为等腰三角形.又
1
2
AB AC
AB AC
⋅=，∴1
cos
2
A=，∴
3
A
π
=，故ABC为等边三角形.
故选：C
【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

18．A
【分析】
根据题意得出
tan tan tan
A B C
a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出
A B C
==，从而可得知ABC
∆为等边三角形，进而可求得BC所对的ABC
∆外接圆的劣弧长.
【详解】
a OA
b OB
c OC
⋅+⋅+⋅=，
a b
OC OA OB
c c
∴=--，
同理可得
tan tan
tan tan
A B
OC OA OB
C C
=--，
tan
tan
tan
tan
a A
c C
b B
c C
⎧
-=-
⎪⎪
∴⎨
⎪-=-
⎪⎩
，
tan tan tan
A B C
a b c
∴==，
由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111
cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==，
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3
A B C π
===
， 设ABC ∆的外接圆半径为R
，则22
sin a
R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133
R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2
A B π
+=
，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2
A π
=，因此③正确；
④由正弦定理
sin sin a b A B =
得sin sin sin a B b A A
==， 因为三角形有两解，所以
2,332
A B A πππ
>>=≠
所以sin A ⎫
∈⎪⎪⎝⎭
，即)
b ∈
，故④错误.
故选：B 【点睛】
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 20．A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=⨯=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
120CBD
由正弦定理得：
sin120sin 45
BC
302sin 45203sin120
BC
3tan 30203
203
AB
BC
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 22．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得
()
0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
22
-=+⋅-=+⋅=⋅
AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC
2
()
∴⋅+-=
20
BC AC AB AM
()()0
⇒⋅-+-=⋅+=
BC AC AM AB AM BC MC MB
设E为BC中点，则2
+=
MC MB ME
20
∴⋅=BC ME
⇒⊥
BC ME
⇒为BC的垂直平分线
ME
∆的外心
M
∴轨迹必过ABC
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
23．D
【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
【详解】
∆，其中角B为直角，则垂心H与B重合，
解：如图所示的Rt ABC
∆的外心，OA OC
O为ABC
∴=，即O为斜边AC的中点，
又M为BC中点，∴2
=，
AH OM
M为BC中点，
∴22()2(2)
+==+=+．
AB AC AM AH HM OM HM
=+=-
4224
OM HM HM MO
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．
24．C
【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.
【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】
因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，
所以2
2
2
4424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．无
27．D 【详解】 由余弦定理得，
解得（
舍去），故选D.
【考点】 余弦定理 【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 28．D 【分析】
过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出
21312
AM n n
n AB n n ==
--+，再根据AM mAB =可得231n m n =
-，整理可得213m n
+=，
最后选出正确答案即可.
【详解】
如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n =，所以11AE AC EM
CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =
-， 整理可得213m n
+=.
故选：D .
【点睛】
本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
29．D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得2
23a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b b
θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=
， ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 30．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，133
4416
λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
31．D
【分析】
由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【详解】
∵22:tan :tan a b A B =， 由正弦定理可得，2
2sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos A
A A A
B B B B B B A
B
===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A
=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，
∴A B =或2A B π+=
，即三角形为等腰或直角三角形，
故选D ．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
32．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11sin 62222S ab C =
=⨯⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
33．C
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+
++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+
++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+
++- 2133
AB AD =-+ 故选：C .
【点睛】
本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.
34．D
【分析】
设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围.
【详解】
设CO yBC =，
则()
()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++,
因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
又因为()1AO xAB x AC =+-，
所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.
35．A
【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理
sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =
BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°4=
， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒
，
∴
12AE =，∴
AE =）， 故选:A ．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．。