一阶微分方程习题课

sin
2y
2 sin
y cos
y, d
tan dy
y
1 cos2
. y
对方程做恒等变形得，
1 cos2
y
dy dx
x( 2 sin y cos y
x2)
0.
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自然做变化
z tan y, 原方程化为：
dz 2xz x3. dx
求解上面的线性方程得：
tan y 1 (x2 1) Cex2 . 2
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
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F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
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( z z)dx (x2 x)dz 0
这是一个变量可分离方程，求解得
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1 1 C(1 z )2. x
故原方程的通解为
1 1 C(1 y )2.
x
x
例 3 求方程
dy x x2 y
（3）
dx
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解：该方程求解的困难在于右端的根号，
我们希望去根号，因此，做变化
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
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例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
例如： 对微分方程
dy xy2 sin x
,
dx
2y
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通过引进新的变量 z y2 ，就将方程变换为
线性方程：
dz xz sin x. dx 下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。 2.4.1 形如 yf (xy)dx xg(xy)dy 0 方程
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引进变量
x 0 时，y 1 y 2 y
xx
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 ,
化为
用线性方程通解公式求解 .
xu 1 u2 dx 2x y2, dy
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(4)
y
6x3 3x 2
3xy2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y
方法 2 化为微分形式
z xy ，则
y z , dy xdz zdx ,
x
x2
原方程可化为
z [ f (z) g(z)]dx g(z)dz 0 x
这是一个变量可分离的方程。
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例 1 求方程
( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0 （1） 解： 令 z xy, 则 dz xdy ydx,
代入（ 1 ） 整理得
z(1 z)dx (1 z)(xdz zdx) 0
对上式分离变量得：
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2dx x
1 z z2
dz
0
积分得
ln x2 1 ln z C z
代入原变量得到（2.4.3）的通解为：
ln x 1 C. y xy
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2.4.3 其它变化法
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0, f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
精选2021版课件10精选2021版课件11前面三节我们介绍了线性方程变量可分离方程和全微分方程的求解问题同时还介绍了一些可以通过适当变化化为这三类方程的方法
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 一阶线性线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
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(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
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z2 x2 y
因为 2zdz 2xdx dy, 代入（3）
dz
2z x z
dx
这是一个齐次方程：
dz x z , 求解得
dx 2z
(x x2 y)2(x 2 x2 y) C.
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例 4 求方程
(x y)(xdy ydx) xy(dx dy)
解：根据经验，仔细观察该方程的特征：
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
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变量替换法
前面三节我们介绍了线性方程、变量可分 离方程和全微分方程的求解问题，同时还 介绍了一些可以通过适当变化化为这三类 方程的方法。事实上，还有许多方程可以 通过变量变化方法化为已知类型来求解。
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的 经验。
例 2 求方程
( y y)dx (x 1)dy 0 x

解：将此方程改写为：
对上式分离变量得：
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（2 ）
y dx ydx xdy dy 0 x
做变化 y xz 。因为dy xdz zdx,
代入方程后得：
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(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx d t dx d t d y 3t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty
令y=ut
可分离变量方程求解
2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
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例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3 x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
.
提示: (1) 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
通解
1ey3 ex C 3
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(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
d (x y) dx dy, d (xy) xdy ydx.
故我们做变化
x y u, xy v.
代人原方程得：udv vdu. 因此得到原方程的解：
xy C(x y).
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例 5 求解方程
dy x(sin 2 y x2 cos2 y) 0. dx
解：仔细观察该方程的特征：