福建长泰县一中2019年秋学期高三数学文科期中考试卷附答案解析

福建长泰县一中2019年秋学期期中考
高三数学文科试卷
(考试时间：120分钟
总分：150分)
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.1.设全集{}{},|(3)0,|1,U R A x x x B x x ==+<=<-则图
中阴影部分表示的集合为（）A.(1,0)
- B.(3,1)
-- C.[1,0)
- D.(,1)-∞-2.设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，则8a 的值为（
）A．15
B．16
C ．49
D．64
3.向量(12)a →
=，
，(1)b x →
=，，2c a b →
→
→
=+，2d a b →
→
→
=-，，且//c d →
→
，则实数x 的值等于（）
A．2
1-B．6
1-
C．
6
1D．
2
14.“23πθ=
”是“tan 2cos 2πθθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，C a A c A b cos cos cos 3+=，则A tan 的
值是（）
A．2
2-B．2
-C．
2
2D．
2
6.定义运算⎩⎨
⎧>≤=⊗)
()(b a b
b a a b a ，则函数x x f 21)(⊗=的图像大致为（
）
A．B．C．D．
7.若函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2，直线
x ＝π
3
是其图象的一条对称轴，则它的一个解析式是
(
)
A ．y ＝4sin
4x ＋
π6B ．y ＝2sin
2x ＋
π
3＋2C．y ＝2sin
4x ＋
π3＋2D．y ＝2sin
4x ＋
π6＋28.若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为(
)A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
9.已知函数31()()log 5
x
f x x =-,若实数0x 是方程()0f x =的解,且100x x <<,则1()f x 的值为
()A.不小于0
B.恒为正值
C.恒为负值
D.不大于0
10.下列图象中，有一个是函数)0(1)1(3
1)(223
≠∈+-++=
a R a x a ax x x f ，的导函数()f x '的图象，则=
-)1(f ()
A.
3
1 B.
3
7 C.3
1-
D.31-
或3
511.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面命题中正确的是()
A.m n m ,,αα⊂⊂∥β，n ∥βα⇒∥β
B.α∥β，βα⊂⊂n m ,m ⇒∥n
C.n m m ⊥⊥,αn ⇒∥α
D.m ∥n ，⊥n αm ⇒α
⊥12.设)(x f 的定义在R 上以2为周期的偶函数，当]3,2[∈x 时，x x f =)(则]
0,2[-∈x 时，)(x f 的解析式为（）
A.|
1|2)(++=x x f B.x x f -=2)(B.
C.|
1|3)(+-=x x f D.4
)(+=x x f 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.
13.一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位：
x
o
y x
o
y
x
o
y
x
o
y
cm），则该组合体的体积为
cm 3。

A.设x 、y 满足约束条件,01⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+y x y y x y x Z 53-=的
最大值为___
__．
B.数列{}n a 中，)2(112,
1,21
121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为n a =．
C.已知以下四个命题：
①如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根，且12x x <，那么不等式2
0ax bx c ++<的
解集为{}12x x x x <<；
②“若2m >，则2
20x x m -+>的解集是实数集R ”的逆否命题；
③“
1
02
x x -≤-”是“(1)(2)0x x --≤”的充要条件；④直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是)
4
5,1(其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)(12*
N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .
18．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、BD 的
中点。

（1）求证：EF //平面11ABC D （2）求证：EF ⊥1B C
F
B 1
A
C
D
A 1
C 1
D 1
B
E
三．（本题满分12分）已知向量，(,1),(sin ,cos )a m b x x ==
，()f x a b =⋅ 且满足
()12
f π
=。

（1）求函数()y f x =的解析式；并求函数()y f x =的最小正周期和最值及其对应的x 值;（2）锐角ABC ∆中，若(
)2sin 12
f A π
=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．20．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R上的最小值为（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..
21.（本题满分12分）已知函数1
()ln 3()a f x x ax a R x
+=++
+∈（1）当1a =时，若关于x 的不等2()5f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）当1
2
a ≥-
时，讨论()f x 的单调性.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的方程为()2
cos sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴
建立直角坐标，直线l 的参数方程为2
22
212x t y t ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值
19．(10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()||||2f x x a x a =+--.(1)当1=a 时，求不等式()2>x f 的解集；
(2)若对任意R x ∈，不等式()332--≥a a x f 恒成立，求a 的取值范围．
一、选择题题号123456789101112答案
B
A
D
A
C
A
D
D
B
C
D
C
二、填空题13.
64
14.
3
15.
2n
16.
○
2○4三、解答题：
17．（本题满分12分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)(12*
N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .
解：（I）设等比数列}{n a 的公比为q
2a 是1a 和13-a 的等差中项3312)1(2a a a a =-+=∴……………………………………….2分22
3
==
∴a a q ………………………………………4分
)(2*111N n q a a n n n ∈==∴--…………………………………6分
（II）n
n a n b +-=12
)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S .
………8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………9分21212)12(1--+
⋅-+=n n n ……….11分1
22-+=n n ……12分
18．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、BD
的中点。

（1）求证：EF //平面11ABC D （2）求证：EF ⊥1B C 证明;（Ⅰ）连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，
DB 的中点，则EF//D 1B 。

.
1111111//,,D ABC EF D ABC EF D ABC B D 平面平面平面又∴⊄⊂ （Ⅱ）∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，
AB ⊂平面ABC 1D 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，AB∩BC 1=B ，
∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1。

又∵BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，
而EF//BD 1，∴EF ⊥B 1C 。

19．（本题满分12分）已知向量，(,1),(sin ,cos )a m b x x ==
，()f x a b =⋅ 且满足()12
f π=。

（1）求函数()y f x =的解析式；并求函数()y f x =的最小正周期和最值及其对应的x 值;
（2）锐角ABC ∆中，若(
)2sin 12
f A π
=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．解：（1） (,1),(sin ,cos )a m b x x ==
且()f x a b
=⋅ ∴()sin cos f x m x x =+,又()1
2
f π=sin
cos 122
m ππ∴+=1
m ∴=………….2分
F
B 1
A
C
D
A 1
C 1
D 1
B
E
()sin cos 2sin()
4f x x x x π
∴=+=+…………….4分∴函数的最小正周期2T π
= (5)
分
当2()4
x k k Z π
π=+∈时，()f x 的最大值为2，当52()4
x k k Z π
π=
+∈时，()f x 最小值为2-…………….7分
（2）因为(
)2sin 12
f A π
=即(
)2sin 2sin 123
f A ππ
==∴sin sin
3
A π=……….8分
∵A 是锐角ABC ∆的内角，∴3
A π
=
……….9分
∵2AB =，AC=3
由余弦定理得：222
2cos 7
BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅=……….10分∴7
BC =……….12分
20．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R上的最小值为
（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..
解：解析:解（1）依题意得：二次函数且，.................3分
解得..............................................4分
故()x ,f =2x+2切点（0,0），k =()x ,f =2........5分
所求切线方程为：y =2x....................................6分
（2）
.................7分
.................8分
令
得
（舍去）......................9分
在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分
.......................12分
21.（本题满分12分）已知函数1
()ln 3()a f x x ax a R x
+=++
+∈（1）当1a =时，若关于x 的不等2()5f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）当1
2
a ≥-
时，讨论()f x 的单调性.解：（1）当1a =时，222
'
122
()1,(0,)x x f x x x x x +-∴=+-=
∈+∞……1分令'()0f x =得：2
20x x +-=解得：12x =-（舍）21
x =……2分
当(0,1)x ∈时，'()0f x <此时函数()f x 单调递减当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >此时函数()f x 单调递增
因此函数()f x 在1x =处取得极小值，又因为函数()f x 在(0,)+∞只有唯一的极小值点故函数()f x 在1x =处取得最小值min ()(1)6
f x f ==……4分
2()5f x m m ≥-恒成立2min ()5f x m m ⇔≥-即：256m m -≤解得：16
m -≤≤故所求m 的取值范围是16
m -≤≤……5分
（2）2'
22
11(1)
(),(0,)a ax x a f x a x x x x ++-+=+-=
∈+∞ 令2()(1),(0,)g x ax x a x =+-+∈+∞当0a =时，()1,(0,)
g x x x =-∈+∞此时：当(0,1)x ∈时，()0g x <',()0f x <函数()f x 单调递减
当(1,)x ∈+∞时，()0g x >',()0f x >函数()f x 单调递增
……7分
当0a ≠时，由'()0f x =，即2(1)0ax x a +-+=解得：11,x =21
1x a
=--①当1
2
a =-
时，12x x =,()0g x ≤恒成立，此时：'()0,f x ≤函数()f x 在(0,)+∞递减……8分
②当1
02
a -
<<时，1110
a -->>此时：当(0,1)x ∈时，()0g x <',()0f x <函数()f x 单调递减
当1
(1,1)x a
∈-
-时，()0g x >',()0f x >函数()f x 单调递增当
1(1,)x a
∈--+∞时，()0g x <',()0f x <函数()f x 单调递减……10分
③当0a >时，1
10a
-
-<此时：当(0,1)x ∈时，()0g x <',()0f x <函数()f x 单调递减
当(1,)x ∈+∞时，()0g x >',()0f x >函数()f x 单调递增
……11分
综上所述：
当0a ≥时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增当1
2
a =-时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减当1
02
a -
<<时，函数()f x 在(0,1)和1(1,)a --+∞上单调递减
函数()f x 在1
(1,1)a
-
-上单调递增……12分。