2020年春九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质(第5课时)课件(新版)湘教版

三 二次函数的图象与系数的关系
例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 23，y2）是抛物线上两
点，则y1>y2.其中正确的是
（ B）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
－x2＋2bx＋c的对称轴 x


2b 2 (1)

b
，即b≤1，故选择
5. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶 点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞ 0；③ b ＞0；④abc＞0.其中正确的结论是_①__②__③___．
2a
6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图 所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2 （x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上 的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是 （D） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1


b 2a
2

c

a

x

b 2a
2

b2 4a

c
归纳总结
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成
y=a(x-h)2+k的形式，即
y ax2 bx c a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
练一练
将函数
y
2a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O
x
(1)
如果a>0,当x< b 时，y随x
2a
的增大而减小；当x> b
2a
时，y随x的增大而增大；当
x=
时b ，函数达到最小值，
2a
最小值为
4ac. b2
4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
如果a<0,当x< b 时，y随x


1 2
x2

2x
1
化为y=a(x-h)2+k的形式.
解 配方： y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x 22 22 1 2
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
问题2：我们已经知道 y 1 x2 6x 21 1 (x 6)2 3，
2
2
那么现在你会画这个二次函数的图象吗?
根据顶点式
y

1 (x 6)2 2
3
确定对称轴,顶点坐标.
对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).
列表:自变量x从顶点的横坐标6开始取值.
x
…6 7 8 9…
y 1 x 62 3 …
2
3
3.5
5 7.5 …
描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，即得.
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
x
问题3：从图看出，当x等于多少时，函数
y

1 2
x2

6x

21
的值最小？这个最小值是多少？
当x等于顶点的横坐标6时，函数值最小，这个最小值 等于顶点的纵坐标3.
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； 2.会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的 顶点坐标、对称轴与最值，并掌握其性质；(重点) 3.二次函数性质的综合应用．(难点)
例2 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝ mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0， 即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下， 对称轴为 x 2 1 ＞0 ，则对称轴应在y轴右侧，
2m m
故A、B选项错误；
y 1 (x 6)2 3 2
温馨提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成 顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax²+bx+c

a

x2

b a
x


c

a
x2

b a
x


b 2a
2

x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧，而抛物线y=
1 x2 12x 36 36 42 2
1 x 62 6 2
1 x 62 3.
2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配方的吗？
2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
,

9 8

(4) y x 12 x.
直线x= 0.5

1 2
,
9 4
2.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2
－3x＋5，则( A )
A．b＝3，c＝7
B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5
问题4：这个函数的增减性是怎样的？
当x<6时，函数值随x的增大而
减小；当x>6时，函数值随x的
增大而增大.
5
（6,3）
O 5 10 x
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
(
b
4ac b2
,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b .
D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ 3 )2＋11.将y＝ (位x－长32度)2，＋即141向为左y＝平x2移＋3b个x＋单c位.则长y＝度x，2＋再b向x＋上c2平＝移(x＋24 个3)单2
2
＋ 19，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.
4
3.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a
的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
∴a＞0，y最小值＝
4ac 4a
b2
＝ 4a(a 1) 42 ＝2，
4a
整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4.故选C.
4.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随
2a
的增大而增大；当x>
b 2a
时，
y随x的增大而减小;当x= b
2a
O
x 时，函数达到最大值，最大
(2)
值为
4ac b2 4a
.
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6) 3
对称轴
x=1 y轴
直线x=
1 3
y

1 2
x2

6x

21的图象呢?
我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象，
因此，只需要把 1 x2 6x 21配
方成
1（x

h)
2 k
的形式就可以了.
2
配方法
y 1 x2 6x 21 2
提取二次项系数
1 x2 12x 42 2
配方 整理 化简:去掉中括号
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7.
如图，已知二次函数y＝－
1 2
x2＋bx＋c的图象经过
A(2，0) ，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y
＝－1
2
x2＋bx＋c
得
-2+2b c 6,
c

0,
解得
b 4, c 6,
∴这个二次函数的解析式为y＝－
1 2
x2＋4x－6；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连
接BA、BC，求△ABC的面积．
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝
4 2 (
1)
＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
2
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝
1 2
×AC×OB＝
1 2
×2×6＝6.
导入新课
情境引入
我们已经知道形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象的画 法，可在生活和学习中，很多二次函数是用一般形式 y=ax2+bx+c表示的,如图.
用一般式表示
y=ax2+bx+c
？根据一般式画图象
讲授新课
一 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
探究
问题1：如何画出
C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝ mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为 x 2 1
2m m
＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；
D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝ mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为 x 2 1
2m m
＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故选D．
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
典例精析
例1 若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线 y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( C )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为x＝2. ∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小． 又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧， 而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.
O 2x x=-1
当堂练习
1.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3
3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8
8, 1
(3)
y

2

x

1 2


xLeabharlann 2;直线x=1.25

5 4