第三次作业

第三次作业
第三次作业
1、设R 是交换环，证明：
(1) R 中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。

(2) R 中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。

(3) R 中可逆元与幂零元的和是可逆元。

证明：（1）设()0,0,m
n
a b a b R ==∈，则()
0m n
m n
r m n r r
n r a b C a b +++-=+=∑，当m n r m +-≥时，即r n ≤时，0m n r
a +-=。

当r n >时，0r
b =。

0r m n ?≤≤+，0r
m n r
r
n
C a
b +-=，所以()
0m n
m n
r m n r r
n r a b C a b +++-=+==∑，所以a b +是幂零元。

（2）,a R b R ?∈∈，且b 是幂零元，则0n
b =。

()()
()
0n n
n
ab a b ==Q ，ab ∴是幂
零元。

（3）设a R ∈为可逆元，b R ∈为幂零元，且0n
b =。

因为
()()()()()11111111111n n n n n a b a b a b a b a b --------+-++-=--=--=??
L 所以()1
111a
b a b ----=+可逆。

故有，()11a a b a b -+=+也可逆。

2、设R 是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，R 不能构成环。

证：设{}12,,,n R a a a =L 是数集，1n >为自然数。

不妨设10a ≠，于是对任意自然数m ，如果R 是环，则111m ma a a R =++∈L 14243
个。

因此存在12,m m ，使得1122m a m a =，即存在自然
数m 使得10ma =，这与数集矛盾，因此R 不构成环。

3、在6Z 中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算：
f (x )=2
342x x ++, g (x )=3
2
2455x x x +-- 解
：
2323232()()342245527323
f x
g x x x x x x x x x x x x +=++++--=+--=+--()()2325432()()34224556205273010
f x
g x x x x x x x x x x x =+++--=++---4322532x x x =+++
4、求出4[]Z x 中次数不超过2的所有可逆多项式。

解：零次可
逆多项式：1,3 一次可逆多项式：21,23x x ++
二次可逆多项式2222
21,23,223,221x x x x x x ++++++ 5、在环29Z 中，求元素1
18-。

解：设()1
18128a a -=≤≤，则181a =g
，从而18291a k +=。

对18，29 用辗转相除法29181011=?+ 181117=?+ 11714=?+ 7413=?+ 4311=?+，所以
1434(74)427(117)2711273112(1811)3=-=--=?-=-?-=?-?=?--? 115183(2918)5183295188=?-?=-?-?=?-?，所以821a =-=，故1 1821-=
6、在整数环Z 中，求生成元a, b 使得=<24>+<36>, =<24>I <36>. 解：因为<24>+<36>=<（24，36）>=<12>，所以a=12。

因为<24>I <36>=<[24,36]>= <72>,所以b=72.
7、设1I 、2I 、3I 、L 都是环R 的理想，如果
1I ?2I ?3I ?L
证明这些理想的并集
1
k
k I
∞
=U 是R 的理想。

证明：（1）
1
,k
k a b I
∞
=?∈U ，则存在,m n N +
∈,使得m a I ∈，n b I ∈，不妨设m n ≤，则m n I I ?，
,n a b I ∴∈。

因为n I 是环R 的理想，则n a b I -∈，因而1
k k a b I ∞=-∈U ，1
k k I ∞
=∴U 对减法封闭。

（2）
1
,k
k a I
r R ∞
=?∈∈U ，则存在m N +
∈,使得m a I ∈。

因为m I 是环R 的理想，则,m ar ra I ∈，
1
,k k ar ra I ∞
=∈U ，1
k k I ∞
=∴U 具有左右吸收性。

综合（1）（2）知，
1
k
k I
∞
=U 是R 的理想。

8、设f ：R →R '是环的满同态，证明：
(1) 如果R 是交换环，则R '也是交换环。

(2) 举例说明：R '是交换环，但R 未必是交换环。

证明：（1）''',a b R ?∈，由于f ：R →R '是环的满同态，则,a b R ?∈，使得'
()f a a =，
'()f b b =，因而''()()()f ab f a f b a b ==，''()()()f ba f b f a b a ==。

因为R 是交换环，
则ab ba =，则()()f ab f ba =，所以''
''
a b b a =。

由交换群的定义知，R '也是交换环。

（2）设R 是元素为整数的一切2阶方阵关于方阵的加法与乘法形成的环，则显然R
不是交换环。

但
'f:R R 0
A →a 是环满同态。

9、设R 是有单位元1的环，证明2
[]R x 是多项式环[]R x 的真子环（即不等于[]R x 的子
环），并且有环同构：[]R x ?2
[]R x 。

证明：显然2
[]R x 是[]R x 的子环。

又因为[]()f x x R x =∈，但2
()f x x R x ??=，所以2
[]R x 是多项式环[]R x 的真子环。

令2
:[][]F R x R x →，使得()[]2
()(),()F f x f x f x R x =?∈。

显然F 是一个映射。

若()2
()()0F f x f x ==，则()0f x =，故F 是单射。

2
20
()n k
k k g x a x =?=∑，0
()n
k k k f x a x =?=∑，使得()2()()F f x g x =，故F 是满射。

()()()[]22()()()()()(),(),()F f x g x f x g x F f x F g x f x g x R x ==?∈ ()()()[]22()()()()()(),(),()F f x g x f x g x F f x F g x f x g x R x +=+=+?∈
故由环同构的定义知F 是环同构。

所以[]R x ?2
[]R x 。

10、设[]Z i ={a+bi | a, b ∈Z },2
1i =-,证明：
(1) 按复数的通常运算，[]Z i 是一个整环。

（通常称[]Z i 是高斯整环） (2) 如果p 是一个素数，证明
2[]
[]
,1Z i Z x p p x ?<>
<+>。

证：（1）[],a bi c di Z i ?++∈，有()()()a bi c di a c b d i +++=+++，
()()()c di a bi a c b d i +++=+++，所以()()()()c di a bi a bi c di +++=+++，故加
法满足交换律。

[],,a bi c di e fi Z i ?+++∈，有
()()()()()()()a bi c di e fi a c b d i e fi a c e b d f i +++++=+++++=+++++
()()()()()()()()a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i
+++++=+++++=+++++所以()()()a bi c di e fi +++++()()()a bi c di e fi =+++++，故加法满足结合律。

[]a bi Z i ?+∈，有[]0Z i ∈，使得()()00a bi a bi a bi ++=++=+，故存在零元。

[]a bi Z i ?+∈，有[]a bi Z i --∈，使得()()()()0a bi a bi a bi a bi ++--=--++=，故逆元存在。

[],,a bi c di e fi Z i ?+++∈，有
()()()()()()a bi c di e fi ac bd ad bc i e fi +++=-+++= ()()()()()()a bi ce df cf de i a bi c di e fi +-++=+++，故乘法满足结合律。

[],,a bi c di e fi Z i ?+++∈，有
()()()()()()()a bi c di e fi a bi c di a bi e fi ++++=+++++
()()()()()()()c di e fi a bi c di a bi e fi a bi ++++=+++++，故乘法对加法满足左右分配律。

综上可知，[]Z i 是一个环。

有单位元：[]a bi Z i ?+∈，有[]1Z i ∈，使得()()11a bi a bi a bi +?=?+=+，故1是单位元。

乘法满足交换律：[],a bi c di Z i ?++∈，有()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++，
()()()()c di a bi ac bd bc ad i ++=-++，所以()()()()c di a bi a bi c di ++=++，故乘
法满足交换律。

[]Z i 没有零因子：000a bi a b +≠?≠≠或，
因此中任意两个非零元乘积非零。

，故[]Z i 是整环。

（2）令[][][]
Z i Z x Z i p
η
→??→，其中()()
()f x f i ?=，η是自然同态，于
是[][]
:Z i Z x p
ρη?=→
是环的满同态。

因为Ker p η=，
()1221,1p p x p x ?-=++=+，所以，2,1Ker Ker p x ρη?==+，由环的第一
同态定理知：
2[]
[]
,1Z i Z x p p x ?<>
<+>
11、有理系数多项式环Q [x ]中，证明：是极大理想，也是素理想。

证明：
[]
Q x Q x
，所以x 是极大理想，也是素理想。

12、设p 是素数，在偶数环2Z 中，证明主理想<2p >是极大理想，但<2p >是素理想的充分且
必要条件：p 是不等于2的素数。

证明：如果理想2H P ?，则有2n H ∈,但22n p ?，于是n 与p 互质,从而存在整数,s t 使得222ns pt +=。

从而2H ∈。

故2H Z =。

这表明2p 是2Z 的极大理想。

必要性：（反证法）如果2p =，则4224=?∈，但24?，因此4不是素理想。

充分性：如果2p ≠，并且222n m p ∈g ，则p nm 。

于是p n 或p m ，从而22n p ∈或22m p ∈，因此2p 是素理想。

13、设R ={a+3bi | a, b ∈Z },2
1i =-
(1) 按通常数的运算，证明：R 是整环。

(2) 求R 的所有可逆元。

证明：（1）证：（1）3,3a bi c di R ?++∈，有()()()333a bi c di a c b d i +++=+++，
()()()333c di a bi a c b d i +++=+++，所以
()()()()3333c di a bi a bi c di +++=+++，故加法满足交换律。

3,3,3a bi c di e fi R ?+++∈，有
()()()()()33333()3()a bi c di e fi a c b d i e fi a c e b d f i
+++++=+++++=+++++()()()()()()33333()3()a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i
+++++=+++++=+++++所以()()()333a bi c di e fi +++++()()()333a bi c di e fi =+++++，故加法满足结合律。

3a bi R ?+∈，有0R ∈，使得()()30033a bi a bi a bi
++=++=+，故存在零元。

3a bi R ?+∈，有3a bi R --∈，使得()()()()33330a bi a bi a bi a bi ++--=--++=，故逆元存在。

3,3,3a bi c di e fi R ?+++∈，有
()()()()()()33333a bi c di e fi ac bd ad bc i e fi +++=-+++=
()()()()()()33333a bi ce df cf de i a bi c di e fi +-++=+++，故乘法满足结合
律。

3,3,3a bi c di e fi R ?+++∈，有
()()()()()()()3333333a bi c di e fi a bi c di a bi e fi ++++=+++++
()()()()()()()3333333c di e fi a bi c di a bi e fi a bi ++++=+++++，故乘法对加法满足左右分配律。

综上可知，R 是一个环。

有单位元：3a bi R ?+∈，有1R ∈，使得()()31133a bi a bi a bi +?=?+=+，故1是单位元。

乘法满足交换律：3,3a bi c d i R ?++∈，有
()()()()333a bi c di ac bd bc ad i ++=-++，()()()()333c di a bi ac bd bc ad i ++=-++，所以
()()()()3333c di a bi a bi c di ++=++，故乘法满足交换律。

R 没有零因子：3000a bi a b +≠?≠≠或，因此中任意两个非零元乘积非零。

故R 是整环。

（2）如果()()331a bi c di ++=,则()()331a bi c di --=
于是()()22
2
2991a b c
d ++=，故1a =±，1c =±，即R 中可逆元只有1±。

14、在高斯整环[]Z i 中，证明3是素元，但2不是素元。

证：设()()3a bi c di =++，则()()3a bi c di =--，于是(
)()2
2
2
29a b
c
d =++。

只有
3,a =±0b =或3,c =±0d =或3,b =±0a =或3,d =±0c =。

所以3是[]Z i 的素元。

但
()()211i i =+-，所以2不是素元。

15、在高斯整环[]Z i 中将元素15进行既约元因子分解。

解：()()1531212i i =?+-
只须验证3,12,12i i +-都是既约元。

证明3是既约元：设()()3a bi c di =++
则()()3a bi c di =--，于是()()22
2
29a b c
d =++
又22
3x y +=无整数解，故221a b +=或22
1c d +=
从而a bi +为可逆元，或c di +为可逆。

同理可证12,12i i +-是既约元。

16、证明：按数的通常运算，[]Q i ={a + bi | a, b ∈Q } 是一个域。

(2
1i =-)
证：[],a bi c di Q i ?++∈，有()()()a bi c di a c b d i +++=+++，
()()()c di a bi a c b d i +++=+++，所以()()()()c di a bi a bi c di +++=+++，故加
法满足交换律。

[],,a bi c di e fi Q i ?+++∈，有
()()()()()()()a bi c di e fi a c b d i e fi a c e b d f i +++++=+++++=+++++
()()()()()()()()a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i
+++++=+++++=+++++所以()()()a bi c di e fi +++++()()()a bi c di e fi =+++++，故加法满足结合律。

[]a bi Q i ?+∈，有[]0Q i ∈，使得()()00a bi a bi a bi ++=++=+，故存在零元。

[]a bi Q i ?+∈，有[]a bi Q i --∈，使得()()()()0a bi a bi a bi a bi ++--=--++=，故逆元存在。

[],,a bi c di e fi Q i ?+++∈，有
()()()()()()a bi c di e fi ac bd ad bc i e fi +++=-+++= ()()()()()()a bi ce df cf de i a bi c di e fi +-++=+++，故乘法满足结合律。

[],,a bi c di e fi Q i ?+++∈，有
()()()()()()()a bi c di e fi a bi c di a bi e fi ++++=+++++ ()()()()()()()c di e fi a bi c di a bi e fi a bi ++++=+++++，故乘法对加法满足左右分配律。

综上可知，[]Q i 是一个环。

[]a bi Q i ?+∈,其中,a b 不同时为0，有[]1Q i ∈，使得()()11a bi a bi a bi +?=?+=+ []a bi Q i ?+∈,其中,a b 不同时为0，存在[]2222
a b
i Q i a b a b -∈++，使得 ()22221a b a bi i a b a b ??
+-=
++??。

[],a bi c di Q i ?++∈，()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++，
()()()()c di a bi ac bd bc ad i ++=-++，所以()()()()a bi c di
c di a bi ++=++，乘法
交换律成立。

综上可知，[]Q i 是一个域。