高中数学复习方略配套课件：2.10导数与导数的运算(北师大 理 通用)

1
x ln x2
,
3
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
(A)2(x2－a2)
(B)2(x2＋a2)
(C)3(x2－a2)
(D)3(x2＋a2)
【解析】选C.f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)［2(x－a)］
＝3(x2－a2)．
3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为
x0
x
简称为导数.
导函数
3.基本初等函数的导数公式
原函数 y＝c(c为常数) y＝xα(α是实数)
y＝sin x y＝cos x
导函数 y′＝_0_ y′＝__α_xα_－_1 __ y′＝__co_s_x__ y′＝__－_s_in_x__
原函数
导函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
y′＝__ax_ln_a__ 特别地（ex）′=ex
(4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点，但是y=0不是抛物线y2=x的 切线. (5)错误.求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.在这里自变量是x而 不是a，故f′(x)=-2x+2a. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
1．下列函数求导运算正确的个数为( )
y＝logax(a>0，且a≠1) y=tan x
1
y′＝_x_ln_a__
特别地（ln x）′=1
x 1
y′=_c_o_s2_x__
y=cot x
y′=__s_in1_2_x __
4.导数四则运算法则 若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则有： (1)［f(x)+g(x)］′＝______________. (2)［f(x)-g(x)］′=f′(x)-g′(x).
【解析】(1)错误.f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导 数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量， 其导数一定为0，即(f(x0))′=0. (2)错误.应先求f′(x)，再求f′(x0）. (3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线，但其交点个数有无数个.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) （2）求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( ) （3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) （4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) （5）若f(x)=a3+2ax-x2，则f′(x)=3a2+2x.( )
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
（2）函数f(x)的导函数 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导
数，导数值记为f′(x):f′(x)=____________________,则
f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的_______li，m通f 常x也 x f x
f′(x0)=_________________=__________________.
lim f x1 f x0
x1 x0 x1 x0
lim f x0 x f x0
x0
x
②几何意义 函数y=f（x）在x0处的导数，是曲线y=f（x）在点（x0， f（x0））处的切线的斜率.相应地，切线方程为 _____________________.
示成平均变化率的形式再求解.(2)先求Δy, 再求出当
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝
③
④
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
1；
【解析】选A.由求导公式可判断①②;③ 为x一gl常n2数，所以
(sin④3 )＝cos
； 3
( 1 )＝x. 求导l运n 算x 正确的
只有②.
(sin ) 0; 3
sin
（ 1 ) 数的运算
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为_________,若Δx=x2-x1，
Δy=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表示为___. f(x2 )-f(x1 ) x2 -x1 y
x
2.导数的定义及几何意义 （1）函数f(x)在x=x0处的导数 ①定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点 x0的导数，通常用f′(x0)表示,记作
(3)［f(x)·g(x)］′＝_______________________.
f′(x)+g′(x) (4) ＝_______________________（g(x)≠0).
［gf xx］
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
fxgx f xgx
g2(x)
5．复合函数的导数 复 合 函 数 y=f(φ(x)) 的 导 数 和 函 数 y=f(u),u=φ(x) 的 导 数 间 的 关 系 为 y′x= ［f(φ(x))］′=f′(u)φ′(x).
考向 1 导数的概念及应用
【典例1】（1）若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 的值为( )
（A）f′(x0)
（B）2f′(x0)
（C）-2f′(x0)
（D）0
（2）利用定义求函数 的导数.
f lim
x0 h
f
x0 h
h0
h
y
4 x2
【思路点拨】(1)根据导数的定义，将极限符号内的表达式表
【解析】选A.函数的定4义域为（0，+∞），
2
又
由
得x2-x-6=0，
解得x=3或x=-2（舍去），因此切点的横坐标为3.
1
2
y 1 x 3 , 2x
y x 3 1 2x 2
5．若函数y＝(2x+1)4，则函数在点(0,1)处的切线的斜率 是_________. 【解析】y′=4·(2x+1)3·(2x+1)′=8(2x+1)3， 故y′|x=0=8.即所求切线的斜率是8. 答案：8
那么速率为零的时刻是( )
(A)0秒
(B)1秒末
(【Cs解)＝2秒析1 末】t3－选3Dt.s2＋′(t2()D＝t，)1t2秒－末3t和＋22秒，末令s′(t)＝0，则t＝1或
t＝2.3 2
4．已知曲线 (A)3 (B)2
(yC)1的x2一条(3Dl切)n 线x 的斜率为 则切点的横坐标1为，( )