2022年新高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

2022年新高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．
过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2．
3．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．
4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12
l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2． 5．过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2．( √ )
(4)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P 132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，
则|AB |＝．
[解析] 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝(5)2，
又圆心(1,2)到直线l 的距离为
102， ∴|AB |＝25－⎝⎛⎭
⎫1022＝10． 题组三 走向高考
3．(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ．若直线2x －y ＋3＝0
与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝__－2__，r ＝．
[解析] 解法一：设直线2x －y ＋3＝0为l ，
则AC ⊥l ，又k l ＝2，∴k AC ＝m ＋10＋2
＝－12， 解得m ＝－2，∴C (0，－2)，
∴r ＝|AC |＝(0＋2)2＋(－2＋1)2＝5．
解法二：由题知点C 到直线的距离为|－m ＋3|5， r ＝|AC |＝22＋(m ＋1)2，
由直线与圆C 相切得22＋(m ＋1)2＝|－m ＋3|5
， 解得m ＝－2，∴r ＝22＋(－2＋1)2＝5．
4．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A )
A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0
B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0
C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0
D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0
[解析] 设直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0，则由题意知|c |5
＝5，∴c ＝±5， ∴所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0．故选A ．
5．(2020·高考全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 圆x 2＋y 2－6x ＝0化为(x －3)2＋y 2＝9，∴圆心C 坐标为C (3,0)，半径为3，设P (1,2)，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为29－|CP |2＝29－8＝2，故选B ．。