北师版数学九年级下册《2.2 二次函数的图象与性质》第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性

顶点坐标 对称轴
(1,1)
x=1
(0,-1)
y轴
(
1 3
,-6)
直线
x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1 最小值-6
二次函数的图象与系数的关系
合作探究
问题1 一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据
一次函数图象的性质填空：
y
y
k1 _＜__ 0 k2 _＞__ 0
k3 _＞__ 0
b1 _＞__ 0 b2 _＞__ 0
2
？x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 2
…
7.5
5
3.5
3 3.5
5 7.5 …
y
解：先利用图形的对称性列表 10
然后描点画图，得到图象
如右图.
5
O
5
10 x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21的图象
，说出其增减性.
2
y
x=6
10
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
北师版数学九下课件
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
导入新课
复习引入
y = a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标
a>0 向上
(h ,k)
a<0 向下 (h ,k)
对称轴 增减性 最值
x=h
x=h
当 x<h 时，y 随着 x 的 当x<h时,y 随着 x 的 增大而减小；当x>h时，增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而增大. y 随着 x 的增大而减小.
想一想：配方的 方法及步骤是什么？
1 (x 6)2 3. 2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配方的吗？
2
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
配
(3)“化”：化成顶点式.
方
提示：配方后的表达
式通常称为配方式或
y 1 (x 6)2 3 2
顶点式.
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
x=h 时,y最小=k
x=h 时,y最大=k
抛物线 y = a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴
y = -2x2 y = -2x2-5 y = -2(x+2)2 y = -2(x+2)2-4 y = (x-4)2+3 y = -x2+2x y = 3x2+x-6
O (1)
如果
a
>
0，当x<
b 2a
时，y
随
x 的增大而减小；当 x > b
2a
时，y 随 x 的增大而增大；当
x
x=
b 2a
时，函数达到最小值，
最小值为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
y x b
2a
O
x
(2)
如果 a < 0，当 x < b 时，y 随 x
b 2a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
因此，二次函数 y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：
( b , 4ac b2 ). 对称轴是：直线 x b .
2a 4a
2a
要点归纳 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 的可以通过配方化成
2a
的增大而增大；当 x > b 时，y
2a
随 x 的增大而减小；当 x = b 时，
2a
函数值达到最大，最大值
为 4ac b2 .
4a
例3 已知二次函数 y = －x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的
值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( D )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 解析：由题设可知，
ห้องสมุดไป่ตู้
D. b≤1
当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x=1 的左 侧而抛物线 y = －x2＋2bx＋c 的对称轴 x 2b b ，
2 (1)
即 b≤1，故选D .
填一填
y = -x2+2x y = -2x2-1
y = 9x2+6x-5
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 (x2 12x 42)
2
2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
y =a(x -h)2+k 的形式，即
y ax2 bx c a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是( b , 4ac b2 ).
2a 4a
对称轴是直线 x b .
2a
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
x b
y 2a
因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2， 顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x＞2时，y 随 x 的增大而增大.
例2 求二次函数 y = ax2+bx+c 图象的对称轴、顶点坐标.
y=ax²+bx+c
a
x2
b a
x
c
a x2 2
(0 , 0 )
y轴
(0 ,-5)
y轴
(-2 , 0) 直线 x=-2
(-2 ,-4) 直线 x=-2 (4 , 3 ) 直线 x=4
?
?
?
?
最值
0 -5 0 -4 3 ?
?
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
合作探究
我们已经知道 y = a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用 这些知识来讨论 y 1 x2 6x 21的图象和性质？
2
答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数y 1 (x 6)2 3 2
可以看作是由y 1 x2 2
怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6
个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个
单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. 5
试一试
O
5
10 x
你能用上面的方法讨论二次函数 y=2x2-8x+7 的图象和
性质吗？
典例精析 例1 求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴、顶点坐 标和增减性.
解： y 2x2 8x 7 2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7 2(x 2)2 1.