2018年2月届高三数学暑假作业检测试卷(解析)新

江阴市2017-2018学年第二学期高三数学寒假作业检测试卷
卷面总分160分 考试时间120分钟
一、填空题 (本大题共14小题，每小题5分，共70分.请直接将答案填在答题纸的横线上) 1．已知复数z 满足(1-i )z=2i,其中i 为虚数单位,则z 的模为 ▲ ．
【解析】因为z ==-1+i ,所以|z |=
.(本题可由|1-i |·|z |=|2i |,解得|z |=
)
2．函数y ＝12sin(π4－2x
3
)的最小正周期为 ▲ ．
【解析】因为ω=2
3
，所以T=3π
3．过点P (2,1)且与圆x 2+y 2
=4相切的直线有 ▲ 条.
【答案】 2
【解析】 可以判断点P 在圆外,因此,过这点与圆相切的直线有两条. 4．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于 ▲ ． 解析：lg 2＋lg(2x ＋3)＝2lg(2x －1)，
2(2x ＋3)＝(2x －1)2，(2x )2－4·2x －5＝0,2x ＝5，x ＝log 25. 答案：log 25
5．若x >0，y >0，且log 3x +log 3y =2，则1x +1
y
的最小值是 ▲ ．
【答案】2
3
【解析】由log 3x +log 3y =2，得x ·
y =9，所以1x +1
y 11·x y
=23 6．若圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 .
【解析】因为母线长为5，所以圆锥的侧面积为5π 7.已知f (x )=
是奇函数,则f (g (-2))= ▲ ．
【解析】因为f (x )为奇函数,且x>0时,f (x )=2x -3,所以x<0时,f (x )=g (x )=-(2-x -3),所以g (-2)=-1,所以f (g (-2))=f (-1)=-f (1)=1.(本题可由f (g (-2))=f (f (-2))=-f (f (2))=-f (1)=1求得) 8.在ABC ∆中，已知3AB =3
C π
=，则CA CB ⋅uu r uu r
的最大值为 ▲ .
【答案】
3
2
【解析】
1cos 2CA CB ba C ab ⋅==uu r uu r ，由余弦定理得：2232cos 23
a b ab ab ab ab π
=+-≥-=，所以
3
2
CA CB ⋅≤uu r uu r ，当且仅当a b =时取等号.
9.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x ln x ，则不等式f (x )<-e 的解集为 ▲ .
【答案】(-∞，-e )
【解析】当x >0时，f (x )=x ln x ，f '(x )=ln x +1.当f '(x )>0时，x >1
e
，即f (x )在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
上单调递增，所以f (x )在(0，+∞)上的最小值为-1e .又因为f (x )为奇函数，所以f (x )在1-0e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递减，在1--e ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以f (x )在(-∞，0)上的最大值为1e ，即f (x )在1--e ∞⎛⎫ ⎪⎝
⎭，上单调递增，在
11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以f (x )<-e 在1-e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上无解.又f (-e )=-f (e )=-e ，所以f (x )<-e 的解集为(-∞，-e ).
10．若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －1
2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由
|－2k ＋1|4k 2＋4
＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ⎝⎛⎭⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2
＝b 2
＋c 2
＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2
4
＝1.
答案：x 25＋y 2
4
＝1
11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C
sin A 的值为
__ ▲ __．
【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B
，
即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C
sin A ＝3.
【答案】 3
12．若函数()2221f x x a x a ax =---+有且仅有3个零点，则实数a 的取值是 ▲ . 解法一：令t x a =-，则()22210y t at a t =-+-≥
则()22210y t at a t =-+->有两个零点，其中一个为0，一个大于0．
所以210a -=，解得1a =± 经验证，可知1a =
解法二：222210212x a x a ax x ax a x a ---+=⇔-+=-
等价于2()21g x x ax =-+，()2h x a x a =-恰有三个公共点，结合图象可得210a -=，且0a >，所以1a = 13．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 ▲ .
解：由2a b c ++=得2b c a +=-
又a b c >>，故32a >，即23a >
又2224a b c ++=，所以()2
224b c bc a +-=-
所以22bc a a =-
所以,b c 是方程()()
22220x a x a a --+-=的两个小于a 不等实根
所以()()()()222
2
222420220a a a a a a a a a a -⎧<⎪⎪⎪
---≥⎨⎪--+->⎪⎪⎩
，解得423a <<
14．在平面直角坐标系xOy 中,已知B ,C 为圆x 2+y 2=4上两点,点A (1,1),且AB ⊥AC ,则线段BC 的长的取值范围为_____▲____． 【解析】如图,取BC 的中点M ,设M (x ,y ),由AM=BC=,知AM 2+OM 2=4,
所以(x-1)2+(y-1)2+x 2+y 2=4,整理得+
=,所以点M 在以
为圆心,为半径的圆上,所以AM ∈
,所以BC=2AM ∈[-,+
].
(第14题)
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）
如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,所有棱长都相等,且∠ABB 1=60°,D 为AC 的中点. (1) 求证:B 1C ∥平面A 1BD;
(2) 求证:AB ⊥B 1C. 【解答】
(1) 连接AB 1交A 1B 于点E,连接DE. 因为D,E 分别为AC,AB 1的中点,
所以DE ∥B 1C. ……………………………………………………3分
因为DE ⊂平面A 1BD,B 1C ⊄平面A 1BD,
所以B 1C ∥平面A 1BD. …………………………………………………6分
(2) 取AB 的中点O,连接OC,OB 1. 因为BA=BB 1,且∠ABB 1=60°
,
所以△ABB 1为正三角形. …………………………………………………8分 而O 为AB 的中点,
所以OB 1⊥AB. 在正三角形ABC 中,O 为AB 的中点,
所以OC ⊥AB. …………………………………………………11分 因为OB 1∩OC=O,且OB 1⊂平面OB 1C,OC ⊂平面OB 1C, 所以AB ⊥平面OB 1C. 又因为B 1C ⊂平面OB 1C,
所以AB ⊥B 1C. …………………………………………………14分
▲ ▲ ▲ 16．（本题满分14分）
已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为
3π
4
，且m ·n =-1. (1) 求向量n ；
(2) 若向量n 与q =(1，0)共线，向量p =2
2cos cos 2C A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，其中A ，C 为△ABC的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，求|n +p |的取值范围.
【解答】(1) 设n =(x ，y )，由m ·n =-1，
得x +y =-1. ①又因为向量n 与m 的夹角为
3π4
， 所以x 2
+y 2
=1. ② ………………………………………3分 由①②解得-100-1.
x x y y ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩，，
或
所以n =(-1，0)或n =(0，-1). ………………………………………5分
(2) 由向量n 与q =(1，0)共线知n =(-1，0). ………………………………………7分
由2B=A+C ，知B=
π3， 所以A+C=2π3，0<A<
2π3.n +p =2-12cos cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，=(cos C ，cos A)， 所以|n +p |2
=cos 2
C+cos 2
A
=1cos22A ++1cos22C +=1+14πcos2cos -223A A ⎡⎤
⎛⎫+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=1+12cos π23A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.………………10分 因为0<A<2π3，所以π3<2A+π3<5π
3
，
所以-1≤cos π23A ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭<12，
得12≤1+12cos π23A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<54，即|n +p |2
∈1524⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，所以|n +p |∈252⎣⎭
，.………………14分
▲ ▲ ▲
17．（本题满分14分）
如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠P AB =θ，tanθ=t . (1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值；
(2) 问：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少(平方百米)?
【解答】(1) 由题设得，BP =t ，CP =1-t ，0≤t ≤1. ……………………………2分 ∠DAQ =45°-θ，DQ =tan (45°-θ)=
1-1t
t
+， CQ =1-1-1t t +=21t t +，所以PQ 22CP CQ +2
2
2(1-)1t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭
211t t ++， 所以l =CP +CQ +PQ =1-t +21t t ++2
11t t
++=1-t +1+t =2. ……………………………6分
(2) S =S 正方形ABCD -S △ABP -S △ADQ =1×1-12×1×t -12×1×1-1t t +=1-2t -12×1-1t
t
+
=1-2t -12×2-(1)1t t ++=1-2t -12×2-11t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=1+12-2t -11t +=2-112
1t t +⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭，……………9分 因为1+t >0，所以S =2-1121t t +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≤211
21
t t +⨯+2 当且仅当
12t +=1
1
t +，即t 2时等号成立. ……………12分 答：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2平方百米. ……………14分 ▲ ▲ ▲
18．（本题满分16分） ．
如图,已知椭圆C :+=1(a>b>0)过点(0,1)和,圆O :x 2+y 2=b 2.
(1) 求椭圆C 的标准方程;
(2) 若直线l 与圆O 相切,切点在第一象限内,且直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,△OAB 的面积为时,求直线l 的方程.
(第18
题)
【解答】
(1) 因为椭圆C 过点(0,1)和
,代入椭圆方程,得
解得
所以椭圆C 的标准方程是
+y 2=1. ……………………………………4分
(2) 因为切点在第一象限,可设直线l为y=kx+m(k<0,m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,所以………………………8分
因为直线l与圆O相切,圆心O到直线l的距离d==1,所以m2=1+k2.………………10分=·=·=·,
线段AB的长为l
所以△OAB的面积S=l AB·d=·1··=,
即=,所以16(1+k2)·k2=3(1+2k2)2, …………………………14分
即(2k2+3)(2k2-1)=0,所以k2=,k=-,
所以m=,直线l的方程为y=-x+. …………………………16分
▲▲▲
19．（本题满分16分）
已知常数p>0,数列{a n}满足a n+1=|p-a n|+2a n+p,n∈N*.
(1)若a1=-1,p=1.
①求a4的值;
②求数列{a n}的前n项和S n.
(2)若数列{a n}中存在三项a r,a s,a t(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,求的取值范围.
【解答】(1)因为p=1,所以a n+1=|1-a n|+2a n+1.
①因为a1=-1,所以
a2=|1-a1|+2a1+1=1,
a3=|1-a2|+2a2+1=3,
a4=|1-a3|+2a3+1=9.……………………2分
②因为a2=1,a n+1=|1-a n|+2a n+1,
所以当n≥2时,a n≥1.
从而a n+1=|1-a n|+2a n+1=a n-1+2a n+1=3a n,
于是有a n=3n-2(n≥2).
当n=1时,S1=-1;
当n≥2时,S n=-1+a2+a3+…+a n=-1+=.
又n=1时,S n=-1满足上式,
所以S n=,n∈N*.………………………………5分
(2) 因为a n+1-a n=|p-a n|+a n+p≥p-a n+a n+p=2p>0,
所以a n+1>a n,即数列{a n}单调递增. ……………………………7分
①当≥1时,有a1≥p,
于是a n≥a1≥p,
所以a n+1=|p-a n|+2a n+p=a n-p+2a n+p=3a n,所以a n=3n-1a1.
若{a n}中存在三项a r,a s,a t(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,则有2a s=a r+a t,
即2×3s-1=3r-1+3t-1.(*)
因为s≤t-1,所以2×3s-1=×3s<3t-1<3r-1+3t-1,
即(*)不成立.
故此时数列{a n}中不存在三项依次成等差数列.……………………………10分
②当-1<<1时,有-p<a1<p.
此时a2=|p-a1|+2a1+p=p-a1+2a1+p=a1+2p>p,
于是当n≥2时,a n≥a2>p,
从而a n+1=|p-a n|+2a n+p=a n-p+2a n+p=3a n.
故a n=3n-2a2=3n-2(a1+2p)(n≥2).
若{a n}中存在三项a r,a s,a t(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,
同①可知,r=1,
于是有2×3s-2(a1+2p)=a1+3t-2(a1+2p).
因为2≤s≤t-1,
所以=2×3s-2-3t-2=×3s-×3t-1<0.
因为2×3s-2-3t-2是整数,所以≤-1,
于是a1≤-a1-2p,即a1≤-p,与-p<a1<p相矛盾.
故此时数列{a n}中不存在三项依次成等差数列.……………………………13分
③当≤-1时,则有a1≤-p<p,a1+p≤0,
于是a2=|p-a1|+2a1+p=p-a1+2a1+p=a1+2p,
a3=|p-a2|+2a2+p=|p+a1|+2a1+5p=-p-a1+2a1+5p=a1+4p,
此时有a1,a2,a3成等差数列.
综上可知:≤-1.……………………………………16分
▲▲▲
20．（本题满分16分）
已知函数f(x)=ax2-x-ln x,a∈R.
(1) 当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2) 若-1≤a≤0,求证:函数f(x)有且只有一个零点;
(3) 若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
▲▲▲
【解答】
(1) 当a=时,f(x)=x2-x-ln x,所以f'(x)=x-1-=(x>0).
令f'(x)=0,得x=2,
当x∈(0,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以当x=2时,f(x)有最小值f(2)=--ln 2.……………………3分(2) 由f(x)=ax2-x-ln x,得f'(x)=2ax-1-=,x>0,
所以当a≤0时,f'(x)=<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点.
因为当-1≤a≤0时,f(1)=a-1<0,f=>0,
所以当-1≤a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上有零点.
综上,当-1≤a≤0时,函数f(x)有且只有一个零点.……………………6分(3) 方法一:由(2)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点.
因为函数f (x )有两个零点,所以a>0.
由f (x )=ax 2-x-ln x ,得f'(x )=(x>0),令g (x )=2ax 2-x-1,因为g (0)=-1<0,2a>0,
所以函数g (x )在(0,+∞)上只有一个零点,设为x 0.
当x ∈(0,x 0)时,g (x )<0,f'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,所以函数f (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增.故f (x )至多存在两个零点…………………9分
如果要使函数f (x )在(0,+∞)上有两个零点,则函数f (x )的最小值f (x 0)<0,即a -x 0-ln x 0<0. 又因为g (x 0)=2a -x 0-1=0, 所以2ln x 0+x 0-1>0,
又因为函数h (x )=2ln x+x-1在(0,+∞)上是增函数,且h (1)=0, 所以x 0>1,得0<<1.
又由2a -x 0-1=0,得2a=
+=（+）2--,所以0<a<1. ……………………12分
以下验证当0<a<1时,函数f (x )有两个零点. 当0<a<1时,
f (1) = a －1<0，f (1
e ) = -+1=>0，
f (2
a
)=--ln ≥-=1>0(证明如下)
证明:ln x ≤x-1.
设t (x )=x-1-ln x ,所以t'(x )=1-=(x>0), 令t'(x )=0,得x=1.
当x ∈(0,1)时,t'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,t'(x )>0,
所以函数t (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时,t (x )有最小值t (1)=0,
所以t (x )=x-1-ln x ≥0,得ln x ≤x-1成立. ……………………15分 所以当0<a<1时,由函数f (x )的单调性知其存在两个零点.
综上,实数a 的取值范围为(0,1). ……………………16分 方法二:由(2)知,当a ≤0时,函数f (x )在(0,+∞)上最多有一个零点. 因为函数f (x )有两个零点,所以a>0.
由f (x )=ax 2-x-ln x=0,得关于x 的方程a=(x>0)有两个不相等的实数解. 又因为ln x ≤x-1,(证明同解法1) ……………………8分 所以a=
≤
=-+1(x>0). 因为x>0时,-
+1≤1,所以a ≤1.
又当a=1时,x=1,即关于x 的方程a=
有且只有一个实数解,
所以0<a<1. ……………………………13分
(以下解法同方法一)
1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。

——谢觉哉
2、人若勇敢就是自己最好的朋友。

3、尺有所短；寸有所长。

物有所不足；智有所不明。

——屈原
4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。

——宋濂
5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。

6、游手好闲会使人心智生锈。