人教课标版高中数学必修2《平面》名师课件2

确定一平面还有哪些方法？
公理2.不共线的三点确定一个平面。
B
A
C
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2.两条相交直线确定一个平面。 推论3.两条平行直线确定一个平面。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？
B
在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
情境导入
生 活 与 数 学
生活中有哪些事物给我们以平面的形象？
平整的纸张
教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面
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学习目标：
1、掌握平面的表示法，点、直线、平面的关系，有关平 面的三个公理；
2、会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系；
3、通过共同讨论，增强对平面的感性认识，认识到我们 所处的世界是一个三维空间。
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
D
O
B A
错误
C1 D1
B1 A1
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平 面有没有公共直线吗？
D A
C B
D
C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这两个平面 A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线。
另一方面，相邻两个平面有一个公共 点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有 一个公共点B’，经过点B有且只有一条 过该点的公共直线B’C’。
桌面α
B
A
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内。
在生产、生活中，人
A
l B
们经过长期观察与实践， 总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理。这些公理是进
A l , B l , A , B l 一步推理的基础。
作用： 判定直线是否在平面内。
自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
必定有无数多个公共点 因为M∈FD1，M∈DA，FD1⊂平面BED1F，DA⊂平
，且这些点恰好组成一 条直线．同时要注意， 找到两个平面的一个公
面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD. 又B∈平面BED1F∩平面ABCD，连接MB.
共点，交线的具体位置 还无法判定，只有找到 两个公共点，才能确定
素养提炼：
4．平面的画法 (1)水平的平面的画法：画表示水平的平面的平行四边形，通常把 锐角α画成45°，横边画成邻边的2倍． (2)直立的平面的画法：画表示直立的平面的平行四边形，要有一 组对边为铅垂线． (3)非水平非直立的平面的面法：画表示非水平非直立平面的平行 四边形，只要将锐角α画成不等于45°就可以．
例题讲解： 探共点的三条直线在同一平面内．
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 法二：(辅助平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
A
BC
A
B C
思考:过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？
存在性
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个
平面。
B
A C
唯一性
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的 平面，可以记成“平面ABC”。
作用： 确定平面的主要依据。
下列条件，哪些能确定一个平面？ 1、一直线和直线外一点 2、两条平行直线 3、两条相交直线
注意：
证明点、线共面的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内； (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证 明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
例题讲解： 探究点三 点共线、线共点问题
例3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱 C三D点、共A线B、．DD1、AA1上的点，若MN(①1与)首证E先明F找三交出点于两共点个线Q平的，面方求，法然证后：证D明、这A三、点Q都是这
如果直线 l与平面α有一个公共点，直线 l是
否在平面α内？如果直线 l与平面α有两个公共点
呢？
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平 面α内？
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上。
例题讲解：
探究点四 平面交线问题
例4、如图所示，E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1和AA1
解的决中此类点问，题画，出必平须面注BED1F与平面ABCD的交线．
意两个平面不存在只有 一个公共点的情形．如 果有一个公共点，那么
[解] 如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行， 分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
学习重点：
1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、 图形语言及符号语言。
学习难点：
平面基本性质的掌握与运用。
思考1:将一条线段向两端无限伸展得到 的图形是什么？将课桌面、平静的水面 向四周无限伸展得到的图形是什么？
思考2:直线是否有长短、粗细之分？ 平面是否有大小、厚薄之别？
则直线MB＝平面BED1F∩平面ABCD， 即直线MB即为所求两平面的交线．
这两个平面的交线，这
是做几何体截面时确定
交线经常用到的方法．
素养提炼：
1．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分，可以度量． (2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无 限延展，没有边界． (3)立体几何中的平面是理想的，绝对平的．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P l,且 P l
l
P
作用： ①判断两个平面相交的依据。
②判断点在直线上。
例题讲解：
探究点一 三种语言的相互转化
例1、(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. (2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以 表示． α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
C
B
A
D
C1 D1
B1 A1
小竞赛
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列说法是否 正确，并说明理由：
②设正方形 A与BCD 的A1B中1C心1D分1 别为 、 ， O 则O1平
面 与A平A1C面1C 的交B线B1D为1D ；
OO1
CO
AB
正确
D
C1
B1
D1
O1
A1
小竞赛
在正方体 ABCD 中A1B，1C判1D1断下列说法是否正 确，并说明理由：
自主探究
一.平面
平面是从日常见到的具体平面抽象出来的理想 化模型。它具有无限延展，不计大小，不计厚薄 的特征。
二.平面的画法及表示方法
（1）水平放置的平面：
（2）竖直放置的平面：
平 面
A
D 平 面 ABCD
平 面AC
B
C 平 面BD
平 面
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45
三. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
2．符号语言的理解 立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线(平面)为点的集合． 点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系，用符号“∈”或“∉ ”． 直线与平面的关系是包含或不包含关系，用符号“⊂”或“⊄ ”表示．
素养提炼：
3．对公理2的理解 (1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只 有一个平面”．条件中的“三点”是骨干，一般不会被忽视，但“ 不在一条直线上”这一附加条件则易被遗忘，若无，结论就不成立 了．同时要注意经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个 平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面． (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是 说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．
例题讲解： 探究点二 点、线共面问题
例2、证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：(纳入平面法) 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α. 又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
l
A
B
C
内
语
a
P
b
容 言 文字语言 位置关系
图形语言
符号语言
点与直线的位
点在直 线上
l
A
置关系
点在直
C
线外
l
Al
C l
内
语
容言 位置关系
点与平面的 位置关系
直线与平面的 位置关系
文字语言
点在平 面内
点不在 平面内 直线在 平面内 直线在 平面外
图形语言
符号语言
αA
B α
l
α
l
α
A B
l l
合作探究
总结反思 小结
1. 平面、平面的画法及表示法； 2. 点、线、面之间的位置关系； 3. 平面的基本性质：
(1)如何判定直线在平面内？ (2)哪些图形可以确定一个平面？ (3)如何判定两个平面相交？
小竞赛
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列说法是否 正确，并说明理由：
错误 ①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；
[证明] 因为MN∩EF＝两Q个，平面的公共点，根据公理3可知，这些点都 在两个平面的交线上．
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又因为M∈直线CD，N∈②直选线择A其B中，两点确定一条直线，然后证明另一
点也在此直线上． CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. 所以M、N∈平面ABCD，(2)证明三线共点的步骤 所以MN⊂平面ABCD.所以①Q说∈明平两面条A直BC线D共. 面且交于一点． 同理，可得EF⊂平面ADD②1A说1.明所这以个Q∈点平在面另A两D个D1平A1面. 上，并且这两个 又因为平面ABCD∩平面平AD面D相1A交1＝．AD， 所以Q∈直线AD，即D、③A、得Q到三交点线共也线过．此点，从而得到三线共点．
[解] (1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面 ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示：(如图所示)．
例题讲解：
(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上 ，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如 图所示．
注意：
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面 、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语 言表示． (2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．