苏科版九年级数学下册7.6：锐角三角函数的应用 复习学案设计

锐角三角函数的应用
一、知识点梳理
1、测量底部可以到达的物体的高度。

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。

如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α。

（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l。

（3）量出测倾器的高度AC=a（即顶线成水平位置时，它与地面的距离）。

则物体MN=ME+EN=l tan α+a
2、测量底部不可以到达的物体的高度。

所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。

如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α。

（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上），测得此时M的仰角∠MDE=β。

（3）量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b。

则
α
-ββ
α==β-αtan tan tan tan b ME b tan ME tan ME ， a tan tan tan tan b a ME MN +α
-ββ
α=
+=∴
M
3、仰角与俯角
如图：OC 为水平线，OD 为铅垂线，OA,OB 为视线，我们把视线OA 与水平线OC 所形成的∠AOC 成为仰角；把视线OB 与水平线OC 所形成的∠BOC 称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.
知识拓展：仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.
4、方位角、方向角
方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫方位角.如图； ∠NOA ，∠NOB ，∠NOC 都是方位角.
如图；目标方向OA 表示的方位角为北偏东30；目标方向OB 表示的方位角为南偏东45；目标方向OC 表示的方位角为南偏西60.
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方向角.
知识拓展：解决实际问题时，可利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形来求解.
方向角(或方位角)
重点：解直角三角形的应用可解决的问题
（1）测量物体的高度；（2）测量河的宽度；（3）解决航海航空问题； （4）解决坡度问题；（5）解决实际生活中其它问题.
难点：通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解答。

坡度与坡角
如图；BC 表示水平面，BC 表示坡面，我们把水平面AB 与坡面BC 所形成的∠ABC 称为坡角.
︒
︒
︒
︒
坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝________ 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i ＝tanα
二、课前小测
1.如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，5
3
cos =
C .则AB 边的长为 .
【答案】
165
【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，
53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65
，85AD ==，在Rt △ADB 中，
∠ADB ＝90°，∠B ＝30°． ∵sin B=12
AD AB =，AB =2AD=16
5．
2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【解析】如图，连接BE ，交CD 于点F 。

∵四边形BCED 是正方形， ∴DF=CF=
21CD ，BF=2
1
BE ，CD=BE ，BE ⊥CD ，∴BF=CF 。

根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP 。

∴DP ：CP=BD ：AC=1：3。

∴DP=PF=
21CF=2
1
BF 。

在Rt △PBF 中，2PF
BF
BPF tan ==
∠. ∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=2。

二、典型例题与分析
考点一 仰角与俯角
例1、 如图，一架无人机在点A 处悬停，从地面B 处观察无人机的仰角是α，从楼顶C 处观察无人机的仰角是β．已知B 、AE 、CD 在同一平面内，BD ＝115 m ，楼高CD ＝50 m ，求
无人机的高度AE ．（参考数据：2
tan 2,sin 0.89,tan ,sin 0.55
3ααββ=≈=≈．）
解：如图，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，
根据题意可得FC＝ED，EF＝CD＝50．在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠ACF＝β，∵tan AF
FC
β=，
∴AF＝FC·tanβ＝2
3 FC．
设FC＝3x，则AF＝2x，BE＝115－3x．
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝α，
∵tan AE
BE
α=，
∴AE＝BE·tanα＝2BE．
∴50＋2x＝2(115－3x)．
解得x＝22.5．
∴AE＝50＋45＝95．
答：无人机的高度AE为95 m．
例2、如图，某数学兴趣小组准备测量长江某处的宽度AB，他们在AB延长线上选择了一座与B距离为200 m的大楼，在大楼楼顶的观测点C处分别观测点A和点B，利用测角仪测得俯角（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）分别为8°和46°．求该处长江的宽度AB．（参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.16，sin46°≈0.72，
cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【答案】在Rt△CAD中根据tan∠CAD＝CD
AD
计算得到CD的高度，然后在Rt△CAD中根
据AD＝
tan CD
CAD
∠
可求出AD的长度，相减即可求出AB.
【详解】解：如图，连接AC，BC．.
根据题意，得∠CAD＝8°，∠CBD＝46°．在Rt△CBD中，
∵tan∠CBD＝CD BD
，
∴CD＝BD·tan∠CBD＝200×1.04＝208（m）．在Rt△CAD中，
∵tan∠CAD＝CD AD
，
∴AD＝
208
tan0.16
CD
CAD
=
∠
＝1300（m）．
∴AB＝AD－BD＝1300－200＝1100（m）．答：该处长江的宽度是1100 m．
【练习1】如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．(参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
解：过点D作DF AB交AB于点F，
由已知，BC=D
在Rt△ADF中，∠ADF=45°，则AF=DF
在Rt△DFE中，∠EDF=37°，则EF=DF·tan37°
又因为AF＋EF=AE
所以DF＋DF·tan37°=35
解得DF=BC=20（m）
答:两建筑物间的距离BC为20m
【练习2】如图，在A处有一艘潜艇，并测得在俯视角为30°的方向有黑匣子，此时潜艇距海平面500米，继续在同一深度沿直线航行3000米后再次在B点出测得俯视角为60°正前方的海底黑匣子，求海底黑匣子所处位置C点出距离海面的深度．（保留根号）
【参考答案】解：作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图所示，
设CE＝x米，
在Rt△ACE中，∠A＝30°，
∴AE＝x，
在Rt△BEC中，∠EBC＝60°，
∴BE＝x，
∵AE＝AB+EB，
∴3000+x＝x，
解得：x＝1500，
则点C距离海面的深度为（1500+500）m．
考点二方向角
例1、如图，海中有一灯塔P ，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【答案】
【答案】解：过P 作PD ⊥AB ． AB=12海里，
∵∠PAB=30°，∠PBD=60° ∴∠PAB=∠APB ∴AB=BP=12海里．
在直角△PBD 中，PD=BP•sin ∠PBD=12×2
3
=63 ∵63＞8
∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．
【练习1】如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航
行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）
【解析】解：（1）如答图，过点C作CD⊥AB于点D
依题意得：∠ACD=∠CAE=42°，∠BCD=∠CBF=55°，
设CD的长为x海里，
在Rt△ACD中，tan42°=AD
DC
，则AD=x•tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°=BD
CD
，则BD=x•tan55°，
∵AB=80，∴AD+BD=80. ∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4.
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里.
（2）在Rt△BCD中，cos55°=CD
BC ，∴BC=CD
cos55°
≈60海里.
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
【练习2】一艘救生船在码头A 接到小岛C 处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东67°方向航行10海里到达小岛C 处，将人员撤离到位于码头A 正东方向的码头B ，测得小岛C 位于码头B 的北偏西53°方向，求码头A 与码头B 的距离．
【参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】
解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，由题意得∠CAD ＝23°，
∠CBD ＝37°，
在Rt △ACD 中，∵sin ∠CAD ＝CD
AC
∴CD ＝sin ∠CAD ·AC ＝0.39×10＝3.9 ∵cos ∠CAD ＝AD
AC
∴AD ＝cos ∠CAD ·AC ＝0.92×10＝9.2 在Rt △CDB 中，∵tan ∠CBD ＝
CD DB ，∴DB ＝CD tan ∠CBD ＝3.90.75
＝5.2…6分 ∴AB ＝AD ＋BD ＝9.2＋5.2＝14.4 答：码头A 与码头B 相距14.4海里．
考点三 解决坡度问题
例1、如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
A B C
67°
53°
北 北 C 67°
53°
北 北
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分
析： 过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，根据三角函数可得AE ，BE ，在Rt △ADE 中，根据三角函数可得DE ，再根据DB=DC ﹣BE 即可求解． 解
答： 解：过A 点作AE ⊥CD 于E ．
在Rt △ABE 中，∠ABE=62°．
∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米， BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt △ADE 中，∠ADB=50°， ∴DE=
=18米，
∴DB=DC ﹣BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
【练习1】已知一个斜坡的坡度i=1:3，那么该斜坡的坡角的度数是 度． 【答案】30°．
【练习1】一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A ．斜坡A
B 的坡度是10°
B ．斜坡AB 的坡度是tan10°
C ．AC=1.2tan10°米
D ．AB=
10cos 12
米
【解析】解：斜坡AB 的坡度是tan10°=BC
AC ，故B 正确；
四、能力提升
1．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图①，四边形 ABCD 内接于⊙O ，点E 在CD 的延长线上，且AE ＝AD ． 证明：四边形ABCE 是“等对角四边形”．
（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB ＝∠BCD ＝53°，∠B ＝90°， AB ＝17，BC ＝18，求 CD 的长．（参考数据：sin53°≈
45，cos53°≈35，tan53°≈4
3
）
【参考答案】（1）证明：∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O ，
∴∠B＋∠ADC＝180°．
∵∠ADE＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADE．
∵ AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE．
∴∠B＝∠E．
∴四边形ABCE 是“等对角四边形”．
（2）解：过点D 分别作DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，
得∠BED＝∠BFD＝90°．
又∠B＝90°，
∴四边形EBFD 为矩形．
∴ BE＝DF，DE＝BF．
五、课后练习
1、如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（）
A ．200tan20°米
B ．
20sin 200
米
C ．200sin20°米
D ．200cos20°米
【答案】C ．
【解析】解：∵sin ∠C=AB
AC ，∴AB=AC•sin ∠C=200sin20°，故选：C ．
2、已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为
210km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行74km 到达C 处，测得C 处位
于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．
A ．38
B ．39
C ．36
D ．37
【答案】A ．
【解析】解：∵∠MAB=45°，BM=10
，
∴AB=√BM 2+MA 2=√(10√2)2+(10√2)2=20km ， 过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，
在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°， tan ∠BAD=BD
AD =
√33
， ∴AD=√3BD ，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+（√3BD ）2=202， ∴BD=10，∴AD=10√3，
在Rt △BCH 中，BD 2+CD 2=BC 2，BC=4√7， ∴CD=2√3，∴AC=AD ﹣CD=10√3﹣2√3=8√3km ， 故选：A ．
3、如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于（ ） A ．8（13+）m
B ．8（13-）m
C ．16（13+）m
D ．16（13-）m
第5题 【答案】A ．
【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中， ∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x ， 在Rt △AMN 中，tan ∠MAN=MN AN
，
∴tan30°=x
16+x =
√3
3
， 解得：x=8（√3+1），
则建筑物MN 的高度等于8（√3+1）m ；故选A ．
4、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度是多少？
【答案】160√3m．
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×√3
=40√3（m），
3
在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×√3=120√3（m），
∴BC=BD+CD=160√3（m）．
5、如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：√3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
【答案】20.9km．
【解析】解：如图，
在Rt△BDF中，∵∠DBF=60°，BD=4km，
∴BF=BD
=8km，
cos60°
∵AB=20km，
∴AF=12km，
∵∠AEF=∠BDF，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△BDF，
∴AE AF =BD
BF
，
∴AE=6km，
在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km．
故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．
6、如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
【分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．
【解答】解：延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，
由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，
∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，
∴DH＝AH＝153，
∴HF＝DH﹣DF＝103，
∴EF＝EH+FH＝323，
答：隧道EF的长度为323m．
7、如图，河对岸有一铁塔AB 。

在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ， 在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。

解：在Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°， ∴BD=AB 。

在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30 ，∴BC=3AB 。

设AB=x （米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=3x
(
)
16
83131
x ⇒=
=+-。

即铁塔AB 的高为(
)
8
31+米。

另解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°，∴BC=ABcot30°
在 Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°，∴BD=ABcot45° ∵CD=BC-BD=16，∴ ABcot30°- ABcot45°=16 ∴(
)
001616
8
31cot 30cot 4531
AB =
==+--
即铁塔AB 的高为 (
)
831+米
8、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60
海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？ （参考数据：sin21.3°≈925
，tan21.3°≈
2
5， sin63.5°≈
910
，tan63.5°≈2）
A
B D C
A B
C
北
东
B
C
D
A
解：过C作AB的垂线，交直线
AB
于点D
，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD
BD
，
∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝CD
AD
，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．
∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即()
2
260
5
x x
=+．
解得，x＝15．
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近
9、如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40o方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30o方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）
友情提示：以下数据可以选用（sin400.6428
o≈，cos400.7660
o≈，tan400.8391
o≈，
3 1.732
≈．）
解：过B点作BE AP
⊥，垂足为点E；过C点分别作CD AP
⊥，
CF BE
⊥，垂足分别为点D F
，，则四边形CDEF为矩形．
CD EF DE CF
∴==
，，
30
QBC
∠=o
Q，
60
CBF
∴∠=o．
2040
AB BAD
=∠=
o
Q ，，
cos40200.766015.3
AE AB
∴=⨯
o
g≈≈；
sin40200.642812.85612.9
BE AB
=⨯=
o
g≈≈．
1060
BC CBF
=∠=o
Q，，
sin60100.8668.668.7
CF BC
∴=⨯=
o
g≈≈；
cos60100.55
BF BC
==⨯=
o
g．
12.957.9
CD EF BE BF
∴==-=-=．
8.7
DE CF
=
Q≈，
15.38.724.0
AD DE AE
∴=++=
≈．
∴由勾股定理，得2222
24.07.9638.4125
AC AD CD
=++=
≈≈．即此时小船距港口A约25海。