2019版高考数学(5年高考+3年模拟)B版精品课件浙江专用 5.3 正弦、余弦定理及解三角形
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a sin A b sin B
b a
21 7
考点二
解三角形及其综合应用
1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= 答案
a2 (2)若△ABC的面积S= ,求角A的大小. 4
解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.
解析 (1)由tan , A =2,得tan A=
4
评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
6.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c= 3 ,cos2A-cos2B=
3 sin Acos A- 3 sin Bcos B.
又因为sin B=sin(A+C)=sin C ,所以sin B= . 4
3 10 10
2 5 5
5 5
由正弦定理得c= b,
1 , 又因为A= bcsin A=3,所以bc=6 2 ,故b=3.
2 2 3
4 2
评析 本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
高考数学(浙江专用)
§5.3
正弦、余弦定理及解三角形
五年高考
A组
考点一
,c = 答案
21 7 ;3
自主命题·浙江卷题组
正弦、余弦定理
.
(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= 7 ,b=2,A=60°,则sin B=
解析 本小题考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).
(1)求角C的大小;
(2)若sin A= ,求△ABC的面积.
4 5
解析 (1)由题意得
3 3 1 cos 2 A 1 cos 2 B - = sin 2A- sin 2B, 2 2 2 2 1 1 3 3 即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2
sin 2 A =sin 2B . 6 6
3 3 2
.
解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=6× ×1×1×sin 60°= .
1 2
3 3 2
2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则
△BDC的面积是
答案
15 10 ; 2 4
,cos∠BDC=
15 4
1 2
15 415 4源自15 2∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC= ,
1 5 ∴2cos2∠BDC-1= ,得cos2∠BDC= , 4 8
1 4
10 . 又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC= 4
3.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;
.
解析 本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解 能力.
AB 2 BC 2 AC 2 1 ∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC= = , 4 2 AB BC
∵∠ABC为三角形的内角,∴sin∠ABC= , ∴sin∠CBD= ,故S△CBD= ×2×2× = .
5.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan A =2.
sin 2 A 的值; sin 2 A cos 2 A (2)若B= ,a=3,求△ABC的面积. 4
4
(1)求
1 3 2 2 tan A sin 2 A 所以 = = . sin 2 A cos 2 A 2 tan A 1 5 1 (2)由tan A= ,A∈(0,π),得 3 3 10 10 sin A= ,cos A= . 10 10 a b 又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得b=3 5 . sin A sin B 4 2 5 由sin C=sin(A+B)=sin . A 得sin C= 5 4 1 absin C=9. 设△ABC的面积为S,则S= 2
1 1 1 2 2 2 3 又由A= ,即B+C= π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 4 4
4
1 2
解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C= ,cos C= .
a2 4 a2 4
(2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B,
因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C= ±B.
时,A= ; 当B+C=
2 2 时,A= . 当C-B= 2 4 或A= . 综上,A= 2 4
1 2
1 2
2
评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查 运算求解能力.
4.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值.
b a
21 7
考点二
解三角形及其综合应用
1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= 答案
a2 (2)若△ABC的面积S= ,求角A的大小. 4
解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.
解析 (1)由tan , A =2,得tan A=
4
评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
6.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c= 3 ,cos2A-cos2B=
3 sin Acos A- 3 sin Bcos B.
又因为sin B=sin(A+C)=sin C ,所以sin B= . 4
3 10 10
2 5 5
5 5
由正弦定理得c= b,
1 , 又因为A= bcsin A=3,所以bc=6 2 ,故b=3.
2 2 3
4 2
评析 本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
高考数学(浙江专用)
§5.3
正弦、余弦定理及解三角形
五年高考
A组
考点一
,c = 答案
21 7 ;3
自主命题·浙江卷题组
正弦、余弦定理
.
(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= 7 ,b=2,A=60°,则sin B=
解析 本小题考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).
(1)求角C的大小;
(2)若sin A= ,求△ABC的面积.
4 5
解析 (1)由题意得
3 3 1 cos 2 A 1 cos 2 B - = sin 2A- sin 2B, 2 2 2 2 1 1 3 3 即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2
sin 2 A =sin 2B . 6 6
3 3 2
.
解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=6× ×1×1×sin 60°= .
1 2
3 3 2
2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则
△BDC的面积是
答案
15 10 ; 2 4
,cos∠BDC=
15 4
1 2
15 415 4源自15 2∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC= ,
1 5 ∴2cos2∠BDC-1= ,得cos2∠BDC= , 4 8
1 4
10 . 又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC= 4
3.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;
.
解析 本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解 能力.
AB 2 BC 2 AC 2 1 ∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC= = , 4 2 AB BC
∵∠ABC为三角形的内角,∴sin∠ABC= , ∴sin∠CBD= ,故S△CBD= ×2×2× = .
5.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan A =2.
sin 2 A 的值; sin 2 A cos 2 A (2)若B= ,a=3,求△ABC的面积. 4
4
(1)求
1 3 2 2 tan A sin 2 A 所以 = = . sin 2 A cos 2 A 2 tan A 1 5 1 (2)由tan A= ,A∈(0,π),得 3 3 10 10 sin A= ,cos A= . 10 10 a b 又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得b=3 5 . sin A sin B 4 2 5 由sin C=sin(A+B)=sin . A 得sin C= 5 4 1 absin C=9. 设△ABC的面积为S,则S= 2
1 1 1 2 2 2 3 又由A= ,即B+C= π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 4 4
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1 2
解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C= ,cos C= .
a2 4 a2 4
(2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B,
因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C= ±B.
时,A= ; 当B+C=
2 2 时,A= . 当C-B= 2 4 或A= . 综上,A= 2 4
1 2
1 2
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评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查 运算求解能力.
4.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值.