2020-2021初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析

2020-2021初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析
一、选择题
1．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）
A ．21313
B ．31313
C ．23
D 13 【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面
积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到
12
•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，
∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，
∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EAD ，
在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DEA （AAS ），
∴BF ＝AE ；
设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，
∵四边形ABED 的面积为6， ∴
111622
x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF 中，222313BE +
∴3313cos 1313
BF EBF BE ∠=
==． 故选B ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．33
【答案】D
【解析】
【分析】 连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．
【详解】
如图，连接OA ．
∵AE EB =，
∴CD AB ⊥，
∴»»AD BD
=， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ，
∴60AOB ∠=o ，
∵OA OB =，
∴AOB ∆是等边三角形，
∵3AE =，
∴tan 6033OE AE =⋅=o
故选D ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）
A 2
B 22
C 42
D 32 【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．
【详解】
∵AD ⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90︒
在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒
∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒
∴BD=33AD=263
． ∵BE 平分∠ABC ，
∴∠EBD=30°．
在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD −DE=222242 故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75
B ．15或30
C ．75或15
D ．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD=3222AE =， ．
sin ∠AOD=
32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22
，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
5．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）
A ．﹣5
B ．﹣4
C ．﹣3
D ．﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=，
∴BO=，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为（−，），
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得，k=-3，
故选C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）
A．3B．23C．3
2
D．
23
【答案】A 【解析】连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°=3，
故选A
7．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()
A．4 B．83C．6 D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3
∴光盘的直径为3
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶DC BC
端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ）
（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）
A ．65.8米
B ．71.8米
C ．73.8米
D ．119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，
∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，
∴设DG x =，则 2.4 CG x =．
在Rt CDG ∆中，
∵222DG CG DC +=，即222
(2.4)52x x +=，解得20x =，
∴20DG =米，48CG =米，
∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．
∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，
∴四边形EGBM 是矩形，
∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．
在Rt AEM ∆中，
∵27AEM ︒∠=，
∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米，
∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b +++的值为（ ）
A ．12
B ．22
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=
，cos60°=12,可求13,,2DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°，
∴13,,22
DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ，
∴()()
2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b ++++++++++====++++++++++ 故选C ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）
A ．3(2,3)--
B ．33(2,2)---
C ．3(3,2)--
D ．(3,3)- 【答案】D
【解析】
【分析】 过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.
【详解】
解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，
∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，
∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，
∴'0'6M B A ∠=︒，
在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2
2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M ='1A M =，
∴OM=2+1=3，
∴'B 的坐标为(3)-.
故选：D.
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈︒≈,，
370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（ ）
A ．23.0米
B ．23.6米
C ．26.7米
D ．28.9米
【答案】C
【解析】
【分析】 如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，根据坡度及AB 的长可求出BN 的长，进而可求出CN 的长，即可得出ME 的长，利用∠MBE 的正切可求出CM 的长，利用∠DCM 的正切可求出DM 的长，根据DE=DM+ME 即可得答案．
【详解】
如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，
∵沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，
∴
BN 1AN 2.4
=， ∴AN=2.4BN ， ∴BN 2+（2.4BN ）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM=
ME tan 30︒3 ∵∠DCM=37°， ∴DM=CM·
tan37°3， ∴3（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
12．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A．AF＝1
2 CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD
3
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE=1
2
AD=
1
2
BC，又AD∥BC，所以
1
2
AE AF
BC FC
==，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1
2
BC，得到
CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
【详解】
解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE BC ＝AF FC ， ∵AE ＝12AD ＝12BC ， ∴AF FC ＝12
，故A 正确，不符合题意； B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，
∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，
∴四边形BMDE 是平行四边形，
∴BM ＝DE ＝12
BC ， ∴BM ＝CM ，
∴CN ＝NF ，
∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，
∴DN ⊥CF ，
∴DF ＝DC ，
∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；
C 、图中与△AEF 相似的三角形有△AC
D ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△AB
E 共有5个，故C 正确，不符合题意．
D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BA
E ∽△ADC ，有
b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝
CD AD ＝b a ＝22
，故D 错误，符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和3OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE 32，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC 23即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．
【详解】
解：连接OB 、OC
∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=
12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12
∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒
∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE
∴∠BOD=∠COE
在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ODB ≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，
∴ODE V 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH
∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·
sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠OED=3OE ∴DE=2EH=3OE ∴S △ODE =12DE·OH=34
OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，
过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE ′=
12BC=12
a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=
12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC
∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤
14
S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；
∵△ODB ≌△OEC
∴DB=EC
∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE
∴DE 最小时BDE V 的周长最小
∵DE=3OE ∴OE 最小时，DE 最小 而OE 的最小值为OE′=3a ∴DE 的最小值为3×3a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋
12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，
故选A ．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
14．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）
A ．14
B ．16
C ．26
D ．310
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF=12
x ，CF=x ．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，
∴BC ＝AD ，
设AB ＝2x ，则BC ＝x ．
如图，过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ． ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形BOCE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB ＝OC ，
∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝1
2
AD＝
1
2
x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB＝2x，
∴CF＝
1
2
OE＝x．
∴tan∠EDC＝
EF
DF
＝
1
2
2
x
x x
+
＝
1
6
．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
15．已知在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AC= 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（）
A．
8
sin
17
A=B．cosA=
8
15
C．tan A =
8
17
D．cot A=
8
15
【答案】D
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的定义进行作答.
【详解】
由勾股定理知，AB=17；A.
15
sin
17
BC
A
AB
== ,所以A错误；B.
8
cos
17
AC
A
AB
==，所以，B 错误；C.
15
tan
8
BC
A
AC
==，所以，C错误；D.cot
AC
A
BC
==
8
15
，所以选D.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=
4
3
，⑤S△DOC=S四边形EOFB
中，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．
详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．
在△EBC和△FCD中，
BC CD
B DCF
BE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；
连接DE，如图所示，若OC=OE．
∵DF⊥EC，∴CD=DE．
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠
DFC=
DC
FC
=
4
3
，故④正确；
∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；
故正确的有：①③④⑤．
故选D．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
17．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．
A ．83
B ．93
C ．63
D ．73
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵∠MAB=45°，BM=102，
∴AB=22BM MA +=22(102)(102)+=20km ，
过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，
在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，
tan ∠BAD=BD
AD =3
，
∴AD=3BD ，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+（3BD ）2=202，
∴BD=10，∴AD=103，
在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，BC=43，∴CD=23，
∴AC=AD ﹣CD=103﹣23=83km ，
答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为83km ．
故选A ．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题．
18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．23D．43
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
，故点P、Q的速度比为3：3，
故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，
PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
19．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）
A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的
13
C ．扩大为原来的9倍
D ．不变 【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A 的大小不变，
∴锐角A 的余弦值不变，
故选：D ．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
20．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )
A ．asinα+asinβ
B ．acosα+acosβ
C ．atanα+atanβ
D ．tan tan a a αβ+ 【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可．
【详解】
在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝BC
AB
，tanβ＝
BD
AB
，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，
故选C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．。