2016届高考数学(理)一轮复习单元检测第9单元三角函数与平面向量综合测试(解析版)

第九单元三角函数与平面向量综合测试
(120分钟150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,若定点A(-1,2)与动点P(1,y)满足⊥,则y等于
A.B.2 C.-D.-2
解析:由题意知-1×1+2y=0,∴y=.
答案:A
2.已知cos α=,α∈(0,π),则tan α等于
A.-
B.
C.
D.-
解析:cos α=,α∈(0,π),∴sin α=,∴tan α=.
答案:C
3.已知点M(2,-4)和向量a=(1,-2),若=2a,则点N的坐标为
A.(2,0)
B.(-3,6)
C.(6,2)
D.(4,-8)
解析:=2a=2(1,-2)=(2,-4).
设N(x,y),则=(x-2,y-(-4))=(2,-4),
所以即
答案:D
4.已知sin(+α)=,则cos(π+2α)的值为
A.-
B.
C.
D.-
解析:由sin(+α)=,得cos α=-,
所以cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α=.
答案:B
5.已知向量a,b夹角为60°,且|a|=2,|b|=4,则|2a+b|等于
A.2
B.2
C.3
D.4
解析:因为|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=16+4×2×4×+16=48,得|2a+b|=4.
答案:D
6.设向量a=(cos α,-1),b=(2,sin α),若a⊥b,则tan(2α-)等于
A.-
B.
C.-3
D.7
解析:因为a⊥b,所以a·b=2cos α-sin α=0,即tan α=2,则tan 2α===-,
故tan(2α-)===7.
答案:D
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C,则角B为
A.B.C.πD.π
解析:由正弦定理可得a2+c2-b2=ac,所以cos B===,所以B=.
答案:A
8.设向量m=(x,y),b=(2,-1),且向量m,b夹角为45°,若|m|=2,则|x+2y|等于
A.B.2C.5D.6
解析:设c=(1,2),则c⊥b,又向量m,b夹角为45°,∴c与m夹角为45°或135°.
∵|m|=2,∴|x+2y|=|m·c|=|m||c|×|cos<m,c>|=2××=.
答案:A
9.矩形ABCD的边AB、AD的长分别为3、2.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足
==,则·的值是
A.6
B.5
C.10
D.12
解析:令=,则=,在矩形ABCD中,=+,=+,
所以·=(+)·(+)=+=×32+×(2)2=10.
答案:C
10.已知α,β∈(,π),满足tan(α-β)+2tan β=0,则tan α的最大值是
A.B.C.D.
解析:由tan(α-β)+2tan β=0,得tan(α-β)=-2tan β,得=-2tan β,得tan α=,因为
β∈(,π),所以tan β<0,所以tan α==
≤=,当且仅当-=-2tan β,即tan2β=,tan β=-时取等号,
所以tan α的最大值是.
答案:B
11.已知|a|=1,|b|=2,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=,则|c|的最大值为
A.-1
B.
C.2
D.+
解析:由题可知a·b=0,则a⊥b,又|a|=1,|b|=2,且|c-a-b|=,不妨令c=(x,y),a=(1,0),b=(0,2),则(x-1)2+(y-2)2=5.
又|c|=,故根据几何关系可知|c|max=+=2.
答案:C
12.设函数f(x)=sin θ+x2cos θ+cos θ,其中θ∈[0,],则导数f'(1)的取值范围是
A.[-2,2]
B.[,]
C.[,2]
D.[,2]
解析:f'(x)=x2sin θ+x cos θ,所以f'(1)=sin θ+cos θ=2(sin θ+cos θ)=2sin(θ+),因为θ∈[0,],所以
≤θ+≤,所以≤2sin(θ+)≤2,
即导数f'(1)的取值范围是[,2].
答案:C
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.若非零向量a,b满足|a|=5,b=(3,0),|2a-b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.
解析:由题意|a|=5,|b|=3,将|2a-b|=|a+2b|,两边平方得4a2-4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,即3a2-8a·b-3b2=0,得75-120cos<a,b>-27=0,则120cos<a,b>=48,解得cos<a,b>=.
答案:
14.已知sin θ+cos θ=,且<θ<,则cos θ-sin θ=.
解析:由sin θ+cos θ=平方,得sin θ·cos θ=,当<θ<时,sin θ>cos θ,
所以cos θ-sin θ<0,又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-=,所以cos θ-sin θ=-.
答案:-
15.已知点A(3,0),=(2,1),=(1,2),若P(2,0)满足=λ+μ,则λ+μ=.
解析:由A(3,0),=(2,1),可得E(1,-1),∴=(1,1),∵=λ+μ,
∴解得∴λ+μ=.
答案:
16.已知函数f(x)=2sin2(+x)-cos 2x+2,且≤x≤,则f(x)的最大值为.
解析:f(x)=2sin2(+x)-cos 2x+2=1-cos[2(+x)]-cos 2x+2
=3-cos(+2x)-cos 2x=sin 2x-cos 2x+3=2sin(2x-)+3,
因为≤x≤,所以≤2x-≤,所以sin≤sin(2x-)≤sin,
即≤sin(2x-)≤1,所以1≤2sin(2x-)≤2,
即4≤f(x)≤5,所以f(x)的最大值为5.
答案:5
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).
(1)若∥,求y=f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,若⊥,求x与y的值以及四边形ABCD的面积.
解析:(1)=-(++)=(-x-4,2-y),又∵∥,
∴x(2-y)-(-4-x)y=0,整理得x+2y=0,∴y=-x.5分
(2)∵=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),
又∵⊥,∴·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
由(1)知x=-2y,将其代入上式,整理得y2-2y-3=0.
解得y1=3,y2=-1,
当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),||=4,||=8,
∴S ABCD=||||=16.
当y=-1时,x=2,于是=(2,-1),||=8,||=4,
∴S ABCD=||||=×8×4=16.10分
18.(本小题满分12分)
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,且b<a<c,满足=,函数
f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减.
(1)证明:b,a,c成等差数列;
(2)若f()=cos A,且a=2,求△ABC的面积.
解析:(1)∵=,
∴sin B cos A+sin C cos A=2sin A-cos B sin A-cos C sin A,
∴sin B cos A+cos B sin A+sin C cos A+cos C sin A=2sin A,
sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,
sin C+sin B=2sin A,
∴b+c=2a,即b,a,c成等差数列.6分
(2)由题意知:=,解得ω=,
∵f()=sin==cos A,A∈(0,π),∴A=,
由余弦定理知:cos A==,
∴b2+c2-a2=bc,∵b+c=2a,∴b2+c2-()2=bc,
即b2+c2-2bc=0,∴b=c,又A=,∴△ABC为等边三角形,
故△ABC面积为S=a2sin=.12分
19.(本小题满分12分)
已知向量a=(cos λθ,cos[(10-λ)θ]),b=(sin[(10-λ)θ],sin λθ),λ∈R,θ∈(0,).
(1)求a2+b2的值;
(2)若a⊥b,求θ取值构成的集合M;
(3)若θ=,求证:a∥b.
解析:(1)∵|a|=,|b|=,
∴a2+b2=|a|2+|b|2=2.4分
(2)∵a⊥b,∴cos λθ·sin[(10-λ)θ]+cos[(10-λ)θ]·sin λθ=0,
∴sin[(10-λ)θ+λθ]=0,∴sin 10θ=0,
∴10θ=kπ,k∈Z,∵θ∈(0,),∴k=1,2,3,4时,得θ=,,,,
故θ值的集合M={,,,}.8分
(3)∵θ=,∴cos λθ·sin λθ-cos[(10-λ)θ]·sin[(10-λ)θ]
=cos·sin-cos(-)·sin(-)
=cos·sin-sin·cos=0,∴a∥b.12分
20.(本小题满分12分)
如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角,前进4 km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角,已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险?
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁危险?
解析:(1)作MC⊥AB,垂足为C,
由已知α=60°,β=30°,所以∠ABM=120°,∠AMB=30°,
所以BM=AB=4,∠MBC=60°,
所以MC=BM·sin 60°=2<3.5,
所以该船有触礁的危险.
设该船自B向东航行至点D有触礁危险,则MD=3.5.
在△MDC中,CD==0.5,又BC=BM·cos 60°=2,
所以BD=1.5 km.
所以,该船自B向东航行1.5 km会有触礁危险.6分
(2)设CM=x,在△MAB中,由正弦定理得=,
即=,BM=,
而x=BM·sin∠MBC=BM·cos β=,
所以,当x>3.5时,即>,
即>时,该船没有触礁危险.12分
21.(本小题满分12分)
已知向量a=(cos x,-),b=(2sin x,2cos 2x),x∈[,],设函数f(x)=a·b+5.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解析:由已知得f(x)=a·b+5=(cos x,-)·(2sin x,2cos 2x)+5
=2cos x sin x-cos 2x+5=2(sin 2x-cos 2x)+5
=2(cos sin 2x-sin cos 2x)+5=2sin(2x-)+5.2分
(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ,(k∈Z),取k=0,
得-≤x≤,又x∈[,],所以f(x)的单调增区间为[,].7分
(2)∵x∈[,],∴≤2x-≤,由正弦函数的性质知,
当2x-=,即x=时,sin(2x-)取得最大值1,f(x)取得最大值7.
当2x-=π,即x=时,sin(2x-)=,∴f(x)的最小值为6,
因此,f(x)在[,]上最大值是7,最小值是6.12分
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin ωx cos ωx+cos2ωx-(ω>0),其最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0,在区间[0,]上有且只有两个实数解,求实数k的取值范围.
解析:(1)f(x)=sin ωx cos ωx+cos2ωx-
=sin 2ωx+-=sin(2ωx+)-1,
由题意知f(x)的最小正周期T=,T===,所以ω=2,
所以f(x)=sin(4x+)-1.6分
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=sin(4x-)-1的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来
的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(2x-)-1的图象,
所以g(x)=sin(2x-)-1,
因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,
g(x)+k=0在区间[0,]上有且只有两个实数解,即函数y=g(x)与y=-k在区间[0,]上有且只有两个交点,由正弦
函数的图象可知-1≤-k<1-1,所以0<k≤1-.12分。