高三数学-【数学】湖北省夷陵中学、钟祥一中2018届高

湖北省夷陵中学．钟祥一中 2018届高三年级第二次联考
数学（文）试题
考试时间：2018年12月10日下午3：00－5：00 试卷满分：150分
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．函数y ＝)-2(log 3
1x 的定义域为
（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（－∞，2）
C ．（1，2）
D ．[1，2）
2．等差数列{a n }，｛b n ｝的前n 项和分别为S n ，T n ，若
1
32+=
n n
T S n n ，则n n b a 等于（ ） A ．
3
2
B ．
1
31
2--n n C ．
131
2++n n D ．
4
31
2+-n n
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若m ＝（a －b,1）和n ＝（b －
c,1）平行，且sinB ＝
54，当△ABC 的面积为2
3
时，则b 等于 （ ）
A ．
2
3
1+ B ．2
C ．4
D ．2＋3
4．对于非空集合 A ．B ，定义运算A ○＋B ＝{x | x ∈A ∪B ，且x ∉A∩B}，已知两个开
区间M ＝（a ，b ），N ＝（c ，d ），其中a ．b ．c ．d 满足a ＋b ＜c ＋d ，ab ＝cd ＜0，则M ○＋N 等于 （ ） A ．（a ，b ）∪（c ，d ） B ．（a ，c ）∪（b ，d ）
C ．（a ，d ）∪（b ，c ）
D ．（c ，a ）∪（d ，b ）
5．已知f （x ）＝x 2－2x ，则满足条件⎩
⎨⎧≥-≤+0)()(0
)()(y f x f y f x f 的点（x ，y ）所形成区域的面积为
（ ）
A ．π
B ．
2
3
π C ．2π
D ．4π
6．已知A ．B ．C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足
3
]
)21()1(1[(OP λλλ++-+-=
）（λ∈R ，）， 则P 的轨迹一定过△ABC
的
（ ）
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．AC 边的中点
7．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P （x 0，y 0）在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上
存在点Q ，使∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是 （ ） A ．[－1，1] B ．[0，1] C ．[－2，2] D ．[0，2]
8．已知函数f （x ）＝－x 2－x 4－x 6 ，x 1 ，x 2 ，x 3∈R 且x 1＋x 2 ＜ 0，x 2＋x 3 ＜ 0，x 3＋x 1
＜0，则f ′（x 1）＋f ′（x 2）＋f ′（x 3）的值是（f ′（x ）是f （x ）的导数） （ ） A ．一定小于零 B ．等于零 C ．一定大于零 D ．正负均有可能 9．已知函数f （x ）＝（
3
1）x
－log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0，若实数d 是方程f （x ）＝0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a;②d ＞b;③d ＜c;④d ＞c 。

其中有可能成立的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．若函数f （x ）对于任意的x 都有f （x ＋2）＝f （x ＋1）－f （x ）且f （1）＝lg 3－lg 2，
f （2）＝l
g 3＋lg 5，则f （2018）＝ （ ） A ．1 B ．－2 C ．lg 3－lg 2 D ．－1 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．已知sin （α＋
6π）＝31，则cos （3
2π－2α）的值为 12．已知函数f （x ） 的导数f ′（x ）＝a （x ＋1）（x －a ），
若f （x ）在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是 13．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的
中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则·的最大值为
14．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧-≥+0
2022
2
x ＜x x x x x ，，，若f （2－a 2
）＞f （a ），则实数a 的取值范围是
15．已知：A （－2，0），Ｂ（2，0），C （0，2），E （－1，
0），F （1，0），一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为
三、解答题（共75分） 16．（12分）在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝
bc ＋a 2
（1）求∠A ； （2）若a ＝3，求b 2＋c 2的取值范围。

B C D
M
X
17．（12分）如图，从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，
再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t ，问：x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？
18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC
的中点。

（1）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；
（2）在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断
平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由。

x x x x x x x x A
C1
B1 A1
D
C B
19．（12分）已知三次曲线C：f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象关于点A（1，0）中心对称。

（1）求常数b的值及c与d的关系；
（2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求c的取值范围。

20．（13分）已知，A是抛物线y2＝2x上的一动点，过A作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点
（1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；
（3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

21．（14分）设｛a n ｝是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和 （1）若S n ＝20，S 2n ＝40，求S 3n 的值； （2）若互不相等正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明：不等式S p S q ＜S 2m 成立；
（3）是否存在常数k 和等差数列｛a n ｝，使ka 2n
－1＝S 2n －S n+1恒成立（n ∈N *），若存在，试求出常数k 和数列｛a n ｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：
1－5 DBBBA 6－10 CDCDD 二．填空题： 11．－
9
7
12．（－1，0） 13．6 14．（－2，1） 15．（4，＋∞） 三．解答题
16．①由余弦定理知：cosA ＝bc
a c
b 2222-+＝21
∴∠A ＝
3
π
…………………………………………………5分 ②由正弦定理得：
2sin sin sin ===C
c
B b A a ∴b ＝2sinB ，c ＝2sinC
∴b 2＋c 2＝4（sin 2B ＋sin 2C ）＝2（1－cos2B ＋1－cos2C ）
＝4－2cos2B －2cos2（32π
－B ） ＝4－2cos2B －2cos （3
4π
－2B ）
＝4－2cos2B －2（－
21cos2B －2
3sin2B ） ＝4－cos2B ＋3sin2B
＝4＋2sin （2B －
6
π） 又∵6
π＜∠B ＜2π
∴6π＜2B －6π＜65π
∴1＜2sin （2B －6
π
）≤2
∴5＜b 2＋c 2≤6…………………………………………………12分 17．长方体的体积V ＝4x （x －a ）2，（o ＜x ＜a ）由
x
a x
22-≤ t 得 0＜x≤t ta 212+
而V′＝12（x －
3a
）（x －a ） ∴V 在（0，3a ）增，在（3a
，a ）递减……………………………………………6分
∴若t ta 212+≥3a 即 t≥41，当x ＝3
a 时，
V 取最大值27
16a 3
若t ta 212+＜3a 即 0＜t ＜41，当x ＝t
ta 212+时， V 取最大值3
3)
21(8t ta +………12分 18．（1）∵AB ＝B 1B
∴四边形ABB 1A 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1
又∵AC 1⊥面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B ，
∴A 1B ⊥面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1
又在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1，
∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1…………………………………………6分 （2）证明：设AB ＝BB 1＝a ，CE ＝x ， ∵D 为AC 的中点，且AC 1⊥A 1D ，
∴A 1B ＝A 1C 1＝2a
又∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，B 1C 1⊥A 1B 1 ∴B 1C 1＝a ，BE ＝22x a +，
A 1E ＝ax x a x a a 23)(2222
2-+=
-+，
在△A 1BE 中，由余弦定理得 BE 2＝A 1B 2＋A 1E 2－2A 1B·A 1E·cos45°，
即a 2＋x 2＝2a 2＋3a 2＋x 2－2a x －2ax x a 2322-+·2a ·2
2， ∴ax x a 2322-+＝2a －x ，解得x ＝
2
1
a ，即E 是C 1C 的中点 ∵ D ．E 分别为A C ．C 1C 的中点，∴DE ∥AC 1 ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD
又∵PE ⊂平面BDE ，∴平面ABD ⊥平面BDE…………………………12分 19．（1）由图象关于A （1，0）对称得f （x ）＋f （2－x ）＝0恒成立
即：（2b ＋b ）x 2－4（b ＋3）x ＋2d ＋2c ＋4b ＋8＝0恒成立
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++=+=+0842203062b c d b b ∴⎩⎨
⎧=+-=2
3
c d b ………………………………………………………………………6分
（2）f （x ）＞0得
x 3－3x 2＋cx ＋2－c ＞0恒成立 x 3－3x 2＋2＋（x －1）c ＞0 ∴x 2－2x －2＋c ＞0恒成立
而x ＞1时 x 2－2x －2＋c ＞－3＋c≥0
∴c≥3………………………………………………………………………………12分 20．（1）∵DEFA 四点共圆
EF 是圆（x －1）2＋y 2＝1及（x －1）（x －8）＋y （y －4）＝０的公共弦 ∴EF 的方程为7x ＋4y －8＝0………………………………………………4分 （2）设AM 的方程为y －2＝k （x －2）
即kx －y ＋2－2k ＝0与圆（x －1）2+y 2＝1相切得
2
1|-2|k
k +＝1
∴k ＝
4
3 把y －2＝
43（x －2）代入y 2＝2x 得M （92，3
2），而N （2，－2） ∴MN 的方程为3x ＋2y －2＝0………………………………………………8分
（3）设P （x 0，y 0），B （0，b ），C （0，c ），不妨设b ＞c ， 直线PB 的方程为y －b ＝
x x b
y 0
0-， 即（y 0－b ）x －x 0y ＋x 0b ＝0
又圆心（1，0）到PB 的距离为1，所以
20
2
000)(|-|x
b y b x b y +-+＝1，故
（y 0－b ）2＋x 20＝（y 0－b ）2＋2x 0b （y 0－b ）+ x 20b 2
又x 0＞2，上式化简得（x 0－2）b 2＋2y 0b －x 0＝0 同理有（x 0－2）c 2＋2y 0c －x 0＝0
故b ，c 是方程（x 0－2）t 2＋2y 0t －x 0＝0的两个实数根
所以b ＋c ＝2-2-00x y ，bc ＝2-x -00x ，则（b －c ）2
＝2
002
020)2-(8x -4y 4x x +
因为P （x 0，y 0）是抛物线上的点，所以有y 2
0＝2x 0，则 （b －c ）2
＝2
02
)2-(4x x ，b －c ＝2-200x x ，
∴S △PBC ＝21（b －c ）x 0＝2
-x 02
x ＝x 0－2＋2-40x ＋4≥24＋4＝8
当（x 0－2）2＝4时，上式取等号，此时x 0＝4，y ＝±22
因此S △PBC 的最小值为8…………………………………………………………13分
21．（1）在等差数列｛a n ｝中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列，
∴S n ＋（S 3n －S 2n ）＝2（S 2n －S n ）
∴S 3n ＝3 S 2n －3 S n ＝60…………………………………………………………………4分
（2）S p S q ＝4
1
pq （a 1＋a p ）（a 1＋a q ） ＝
4
1pq ［a 2
1＋a 1（a p ＋a q ）＋a p a q ］ ＝
41pq （a 2
1＋2a 1a m ＋a p a q ）＜41（2q p +）2［a 21＋2a 1a m ＋（2q p a a +）2］ ＝
41m 2（a 21＋2a 1a m ＋a 2m ）＝［2
1m （a 1+a m ）］2 ＝S 2m ………………………………………………………………………8分
（3）设a n ＝pn ＋q （p ，q 为常数），则k a 2n －1＝kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1
S n+1＝
21p （n ＋1）2＋2
2q
p +（n ＋1） S 2n ＝2pn 2＋（p ＋2q ）n
∴S 2n －S n+1＝
23pn 2＋2
-2p
q n －（p ＋q ）， 依题意有kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1＝23 pn 2＋2
-2p
q n －（p ＋q ）对一切正整数n 成立，
∴⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+-=--==③q p kq ②p q kpq ①p kp )(1,222,23
22
由①得，p ＝0或kp ＝
2
3； 若p ＝0代入②有q ＝0，而p ＝q ＝0不满足③， ∴p≠0
由kp ＝
23
代入②， ∴3q ＝2-2p q ，q ＝－4
p 代入③得，
16
2
kp －1＝－（p －4p ），将kp ＝23代入得，∴ p ＝2732，
解得q ＝－
278，k ＝64
81
故存在常数k ＝6481及等差数列a n ＝2732n －27
8
使其满足题意…………………14分。