2020版理科数学一轮复习高考帮试题：第3章第2讲 导数的应用(习思用.数学理) Word版含解析.docx

第二讲 导数的应用
考点1导数与函数的单调性
1.若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
2.已知m 是实数,函数f (x )=x 2(x -m ),若f '(-1)= -1,则函数f (x )的单调递增区间是 ( ) A.(-
,0) B.(0,
) C.(-∞,-
),(0,+∞) D.(-∞,-
)∪(0,+∞)
3.已知函数f (x )=sin(2x +
),f '(x )是f (x )的导函数,则函数y =2f (x )+f '(x )的一个单调递减区间是
( )
A.[ ,
] B.[- ,
] C.[- ,
]
D.[- ,
]
考点2导数与函数的极值、最值
4.[2018成都市高三摸底测试]已知函数y =f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示,则函数y =f (x )在区间(a,b )内的极小值点的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.[2017长春市高三第四次质量监测]已知函数f (x )=x
x
2
e -k (x
2
+ln x ),若x =2是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围为 ( )
A.(-∞,e]
B.[0,e]
C.(-∞,e)
D.[0,e)
6.若函数f (x )=m ln x +(m -1)x 存在最大值M ,且M >0,则实数m 的取值范围是
7.已知函数f (x )=
x 2-m ln x (m ∈R).
(1)当m =2时,求函数f (x )在[1,e]上的最大、最小值; (2)若函数f (x )在( ,+∞)上单调递增,求实数m 的取值范围.
考点3生活中的优化问题
8.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为 ( )
A.120 000 cm3
B.128 000 cm3
C.150 000 cm3
D.158 000 cm3
答案
1. D 因为f (x )=kx-ln x ,所以f '(x )=k-
x
1
.因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时 ,f '(x )=k-x 1≥0恒成立,即k ≥x 1在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<x
1
<1,所以k ≥1.故选D .
2.C ∵f '(x )=3x 2-2mx ,∴f '(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,
∴由f '(x )=3x 2+4x>0解得x<- 或x>0,即f (x )的单调递增区间为(-∞,-
),(0,+∞),故选C . 3.A 由题意,得f'(x )=2cos (2x+ ),所以y=2f (x )+f'(x )=2sin (2x+ )+2cos (2x+ )=2 sin (2x+ +
)
=2 sin (2x+ ).由2k π+ ≤2x+ ≤2k π+ (k ∈Z ),得 k π+ ≤x ≤k π+ (k ∈Z ),所以y=2f (x )+f'(x )的一个单调递减区间为[ , ],故选A .
4. A 如图,在区间(a ,b )内,f '(c )=0,且在x=c 附近的左侧f '(x )<0,右侧
f '(x )>0,所以在区间(a ,b )内只有1个极小值点,故选A.
5.A f (x )=
x
x
2
e
-k (x 2+ln x ),则f'(x )=x
x 32
-(e x -kx ),∵x=2是函数f (x )的唯一极值点,∴x=2是f'(x )=0的唯一根.∴e x -kx ≥0在(0,+∞)上恒成立.令g (x )=e x -kx (x ∈(0,+∞)),则g'(x )=e x -k.当k ≤
时,g'(x )>0恒成立,g (x )在(0,+∞)上单调递增,又g (0)=1,∴g (x )≥0恒成立.当k>0时,g'(x )=0的根为x=ln k ,当0<x<ln k 时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x>ln k 时,g'(x )>0,g (x )单调递增.∴g (x )的最小值为g (ln k )=k-k ln k ,∴k-k ln k ≥0,∴0<k ≤e ,综上所述,k ≤e.故选A .
6.( ,1) f '(x )=
x m +(m-1)=()x
m x m +-1
(x>0),当m ≤0或m ≥1时,f (x )在(0,+∞)上单调,此时函数f (x )无最大值.当0<m<1时,令f '(x )=0,则x=
m m -1,∴当0<m<1时,f (x )在(0,m
m
-1)上单调递增,在(
m m -1,+∞)上单调递减,∴当0<m<1时,函数f (x )有最大值,最大值M=f (m
m
-1)= m ln
m m -1-m.∵M>0,∴m ln m
m -1-m>0,解得m> ,∴m 的取值范围是(
,1). 7.(1)当m=2时,f '(x )=x-x
2=x x 22-,令f '(x )=0得x= .
当x ∈[1, ]时,f '(x )<0,
当x ∈[ ,e ]时,f '(x )>0,
故x= 是函数f (x )在[1,e ]上的唯一极小值点,
故f (x )min =f ( )=1-ln 2.
又f (1)= ,f (e )= e 2-2= - >
,故f (x )ma x =
- . (2)f '(x )=x-
x
m
(x>0), 若函数f (x )在( ,+∞)上单调递增, 则f '(x )≥0在( ,+∞)上恒成立,
即m ≤x 2在( ,+∞)上恒成立,即m ≤
, 所以实数m 的取值范围为(-∞,
]. 8.B 设水箱底长为x cm ,则高为
2
120x
- cm . 由⎪⎩⎪
⎨⎧〉〉-
002120x x
得0<x<120. 设容器的容积为y cm 3,则有y=-
x 3+60x 2. 求导数,有y'=-
x 2+120x. 令y'=0,解得x=80(x=0舍去).
当x ∈(0,80)时,y'>0;当x ∈(80,120)时,y'<0.
因此,x=80是函数
y=-
x 3+60x 2的极大值点,也是最大值点,此时y=128 000.故选B .。