2-5均数的抽样误差和总体均数的估计

标准误与标准差是常用的统计指标，两者均为变异指标，但两者之 间既有区别又有联系 标准差 反映个体观察值的离散程度 对一个变量值是否在在正常 值范围作出估计 ±1.96S X 用来估计正态分布 用以计算标准误和变异系数 标准误 反映样本均数的离散程度 用来描述样本均数的可靠程 度 ± 可估计总体均数的可信区间 SX X 用来进行假设检验
n=100
X
μ
n=100 n=100
X X
全校女 生身高 n=800
n=100
n=100
X 1.59 X 1.62 X 1.57 X 1.61
1.6 m
n=100 n=100
2、均数的标准误
n=100
X X
μቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 抽样误差在抽样研究中不可 避免，但有规律可循。从一 个正态总体中，随机抽取许 多含量相等的样本，这些样 本均数的频数服从以总体均 数为中心的正态分布。即使 总体不呈正态分布,只要样本 含量足够大样本均数仍近似 于正态分布。若把样本均数 看成是变量值,就可用样本均 数的标准差来说明各样本均 数的变异程度，样本均数的 标准差称为均数的标准误， 用 σ表示。 X
3、标准误的应用
（1）表示样本均数的离散程度：
标准误小，表示抽样误差小，说明样本均数与总体均数越接近， 用样本均数代表总体均数的可靠性大。反之，标准误大，说明 抽样误差大，用样本均数推断总体均数的可靠性小。医学文献 S表示样本均数的可靠程度。如本例可写成： X 上常用 ± X 37.06± 0.0196℃ （2)估计总体均数的可信区间：结合样本均数可对总体均数做 区间估计 （3)用以进行假设检验（t检验）
五、均数的抽样误差和总体均数的估计
（一）均数的抽样误差和标准误
1、均数的抽样误差
• 概念 在一个总体均数为μ ,总 体标准差为σ的总体中，随机抽 取一个样本含量为n的样本，计 算其均数，由于总体中个体间存 在变异，则X不一定等于μ，这 种由于抽样引起样本均数与总体 均数的差异，称为均数的抽样误 差。
岁婴儿的血红蛋白平均值95％的可信区间。
• 95%的可信区间 • 为 123.7±2.064×2.38 ， 即 （ 118.79, 128.61）。故该地1岁婴儿血红蛋白平均值95 ％的可信区间为118.7～128.61（g/L）。
例3.2 上述某市120名12岁健康男孩身高均数为 143.07cm，标准误为0.52cm，试估计该市12岁康 男孩身高均数95%和99%的可信区间。
中心极限定理
总体 N（μσ2）
X -μ 变量变换 u = σ
n = 100
样本均数
N（μσ×2）
变量变换
标准正态分布 u ~ N (0,1)
X-μ u= σX

未知
X -μ =t sX
从总体N(4.83,0.522)中抽出100个样本的 X
、S、t 值与的95%的可信区间
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
（confidence interval，缩写为CI）。 1-α称为可信度，常取1-α为0.95和0.99，即总体均数的95% 可信区间和99%可信区间。 1-α（如95％）可信区间的含义是：总体均数被包含在该区间 内的可能性是1-α，即（95％），没有被包含的可能性为α， 即（5％）。
▲ 方法： (1) u 分布 法 (2) t 分布法
t分布曲线下面积规律
• t分布曲线下总面积仍为1或100%
• t分布曲线下面积以0为中心左右对称。
• 由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定 面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是 随自由度的大小而变化，如P261页附表9。
附表2，t分布表的特点
• • • •
,
附表2的横标目为自由度υ，纵标目为概率P，表中数值为其相应 的t界值，记作tα υ 。 附表2只列出正值，若计算的t值为负值时，可用其绝对值查表 附表2右上附图的阴影部分表示tα υ以外尾部面积的概率（p）
标准差、标准误与样本含量的关系：当样本含量不变时，标准差 与标准误成正比，标准差大，标准误也大，反之。当样本含量达200以 上时，标准差基本趋于稳定，而标准误随样本含量增多而减少。在标 准差不变时，标准误与样本含量平方根成反比。
（二）t分布
• t分布的由来
• t分布的特征
• t分布曲线下的面积
t分布的由来
（三）总体均数的估计
•
•
用样本指标估计总体指标称为参数估计，是统 计推断的一个重要方面。
总体均数估计的两种方法
点估计：是直接用统计量估计总体参数.
此法计算简便，但由于存在抽样误差，通过样本均数 不可能准确地估计出总体均数大小，也无法确知总体 均数的可靠程度 。 区间估计：由于抽样误差的客观存在，因而按一定的 概率(100(1-α)%)估计总体均数所在的范围(亦称可信 区间)。
2.计算总体均数的可信区间，如： （ X 1.96 S X ）。 3.可对总体均数的大小作出初步的判断。 4.用于进行假设检验。
正常值范围估计与可信区间估计
正常值范围
概念：绝大多数正常人的某指标 范围。（95%，99%, 指绝大多 数正常人）
可信区间
概念：总体均数所在的数值 范围（ 95%，99% 指可信度）
σX = σ n
实际工作中总体标准差是未知的，常用样本标准差代替，求得标准 误的估计值，于是公式可写成：
n 用102名女大学生体温值来说明， X ＝37.06，S＝0.198，求标准误， 代入公式： SX = S
S=
s
n
=
0.198 102
= 0.0196℃
• 即102名女大学生体温的标准误为标准误0.0196℃。
,
自 由度（υ）一定时，p 与 t 成反比; 概率（p） 一定时， υ 与 t 成反比
t 值表（附表2 ）
横坐标：自由度， υ 纵坐标：概率， p, 即曲线下阴影部分的面积; 表中的数值：相应的 |t | 界值。记作tα,υ
0.4
0.3
0.2
0.1
0 -4
-2
0
2
4
单侧t0.05,30=1.697
• 95%的可信区间为 143.07±1.96×0.52， 即（142.05，144.09）。 • 99%的可信区间为 143.07±2.58×0.52, 即（141.73，144.41）。
注 意 点
标准误愈小，估计总体均数可信区间的范围也愈 窄，说明样本均数与总体均数愈接近，对总体均 数的估计也愈精确； 反之，标准误愈大，估计总体均数可信区间的范 围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远，对总 体均数的估计也愈差。
100个样本均数的均数为4.828，与总体均数4.83接近； 样本均数的标准差为0.18 。 将上述100个样本均数看成新变量值，则构成一新分布，
样本均数的抽样分布有如下特点
• 1、各样本均数未必等于总体均数 • 2、各样本均数间存在差异 • 3、样本均数的分布很有规律 • 从正态分布N( μ,σ 2 )中，以固定n抽取样本，样本均数的分布 仍服从正态分布； • 即使是从偏态分布总体抽样，只要n足够大，样本均数的分布 也近似正态分布；
总体均数的可信区间的计算
• 1.未知σ且n较小(n<100) 按t分布 的原理
X t , S X

2.已知σ或n较大(n≥100)
按u分布的原理
X u S X
例3.1 为了了解某地1岁婴儿的血红蛋白浓度，从 该地随机抽取了1岁婴儿25人，测得其血红蛋白的 平均数为123.7g/L，标准差为11.9g/L。试求该地1
• 4、样本均数的总体均数仍为，样本均数的标准差比原个体变 量值的标准差要小。
• 如果抽取例数n=5的样本k个，每个样本又都可 以按公式（7-21）计算出一个t值，可将k个t值 编制成频数表，作出直方图，当k无限增大时， 则可得到一条光滑的曲线。
X -μ X -μ t= = sX s n
（式7-21）
表3-1 标准差和标准误的区别
标 准 差（S） 标 准 误( S X )
1.表示个体变量值的变异度大小，即原始变量值的 离散程度。公式为： S
1.表示样本均数抽样误差的大小， 即样本均数的离散程 度。公式为： S X
( X X ) n 1
2
S n
2.计算变量值的频数分布范围，如： （ X 1.96S ）。 3.可对某一个变量值是否在正常值范围内作出初步 判断。 4.用于计算标准误。
•
υ
= n-限制条件的个数
t分布的特征
•
• •
t分布是一簇单峰分布曲线。
t分布以0为中心，左右对称且均匀下降。 其形态变化与自由度 的大小有关。自由度 越 小，则t值越分散，曲线越低平；自由度逐渐增 大时，t分布逐渐逼近u分布(标准正态分布)；当 =∞时，t分布即为u分布，单侧α和双侧2α的t 值相同；在相同自由度下α越小， tα , υ 值越大， 反之相反；而当α相同，自由度越小，则 t α , υ 值越大，反之相反。
1.点估计
例1：11名18岁男大学生身高均数资料得， X =172.25cm，s=3.31cm，试估计该地18岁 男大学生身高总体均数 ？ 答：该地18岁男大学生身高总体均数为 172.25cm
2、区间估计
▲ 概念：根据样本均数，是按一定的概率（1-α）估计包含总体
均数可能的范围，该范围亦称总体均数的可信区间
计算公式：正态时95%正常 计算公式：见前述 值范围双侧界值为 X ±1.96S 用途：判断观察对象的某项 用途：估计总体均数 指标是否正常.
X 4.58 4.90 4.76 4.66 4.90 4.92 4.63 4.96 4.83
S 0.38 0.45 0.49 0.49 0.39 0.30 0.43 0.65 0.45
t值 -2.01 0.59 -0.39 -1.00 0.62 1.05 -1.37 0.66 0.05
95%可信区间 4.31~4.85 4.58~5.22 4.41~5.11 4.31~5.02 4.62~5.17 4.71~5.13 4.32~4.94 4.49~5.42 4.50~5.15
σX
n=100 n=100 n=100
X X
全校女 生身高 n=800
n=100
X = 1.59
n=100 n=100
μ 1.6 m
X = 1.62 X = 1.57
n=100
X = 1.61
标准误
标准误是表示抽样误差大小的指标，数理统计已证明，标准误的大 小与标准差呈正比，与样本含量的平方根成反比，即：
同理，如果抽取例数n=15时，仍能得到一 条t分布曲线，因此，当n变化时，就可以得到不 同的t分布曲线，如图7-5：
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -5
γ=∞
γ=5
γ=1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
图7.5 自由度分别为1、5、∞的t分布
自由度 υ
• 随机变量能够自由取值的个数