相似三角形复习课件

∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
B
C
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
C
A
B
F
解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF
似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出
来.
A
解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA B （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
１ 2E C D
G
F
2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线 DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相 似，画出满足条件的图形.
DC
A
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
D
E
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形___4____组。 B
C
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB.
A
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
∴ △ADC ∽ △DEC
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB
C
分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
A
D
B
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD
∴
AC AB AD =AC
∴ AC2=AD·AB
式 AC AD
ED EC ，只需证DE、EO、EC EO =ED
所在的三角形相似。
O E
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB
A
F
B
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴
ED EO
=EEDC，即
ED2=EO ·EC
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
B
F
C
G
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： △ ADE∽ △ ABC （用两种方法证明）.
B
A E
D C
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°， F AD⊥BC,E是AC的中点，ED交 B D
AB的延长线于F.
求证: AB:AC=DF:AF.
A
E
C
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
A
F
D
E
B
C
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,
即M点(或作∠MCA= ∠AED).
证明：连结MC， ∵DE是△ABC的中位线，
A1
∴DE∥BC，AE＝EC， 又∵ME⊥AC,
43
D
E
∴AM＝CM，
∴ ∠1= ∠2 ，
B
∵∠B=90°，
∴ ∠4＝ ∠B= 90°，
∵AF ∥BC，AM ∥DE,
5. 如图，△ADE∽ △ACB,
A
2 D
3
则DE:BC=_1_:_3__ 。
7
E
3
6. 如图，D是△ABC一边BC B
C
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ D ）.
A. AC:BC=AD:BD
A
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
B
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
∴ ∠1= ∠2 ，
∴ ∠3= ∠2 ,
∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ，
∴ △ADE ∽△MEC．
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴ BD DF
AD AF
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD ∴ AB BD
AC AD
∴
AB DF AC AF
三、探索题
1、条件探索型
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
② AM2=MD ·ME
B
C
D
B
E
A D
M
C
D
C
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，
O
DF=FB，DF交AC于E，
E
求证：ED2=EO ·EC.
A
F
B
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直
A
D
线分别交对角线BD、边BC、边
E
DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF·EG .
AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用
两个角对应相等去判定两个三角形相
A 似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共
D
边，故是对应边MD、ME的比例中项。
B
M
C
证明：①∵∠BAC=90° M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
5. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。
2A D3
7
E
3
B
C
解: ∵ △ADE∽△ACB
且
AE AD 1 AB =AC =3
∴
DE BC
AE =AB
1 =3
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠BA）
时，△ ACP∽△ABC
P1
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， 4
2
△ ACP∽△ABC
B
C
⑶ ∵∠A= ∠A，
当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或 ∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.
a
时，即当 b
a2 b2
BD 时，
△ABC∽ △BDC， ∴ BD b a2 b2
a
答：略.
这类题型结论是明确的，而需要完备使
结论成立的条
件．
解题思路是：
从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论
成立的条件．
2、结论探索型
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，
假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相
2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
两三角形相似
A
a
C
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90° ∴当 AC BC 时，即当
a b
b BD
时，
BC BD
△ABC∽ △CDB,∴
BD b2 a
１b B
D
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
AB BD
分析：因△ABC∽△ABD，所以
F
AB BD ， 要证 AB DF
AC
AD
即证
BD AD
DF AF
AC
，
AF
BD
需证△BDF∽△DAF.
A
E
C
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
∵ △DEF∽△ABC
D
E ∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm
4. 等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
A
解: ∵ △ABC ∽△BDC =DC
B
C
即
18 6
6 =DC
∴ DC=2cm
D
则△ AED和△ ABC
A E
的相似比为＿＿＿.
B
C
2:5
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
5
4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上
取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=__2_c_m__.
一.填空选择题:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
DE =BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
则△ AED与△ ABC的相似比为__1_:_2__.
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
AD ()
DE =BC
A
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
D E
B
C
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
∴
AD AC
DE =BC
(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则△ ADE与△ ABC的相似比为______
AB =AC
，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD ·ME
E
分析：已知中与线段有关的条件仅有
一、复习：
1、相似三角形的定义是什么？ 答：对应角相等，对应边成比例
的两个三角形叫做相似三角形.
2、判定两个三角形相似有哪些方法？ 答：A、用定义；
B、用预备定理； C、用判定定理1、2、3. D、直角三角形相似的判定定理
3、相似三角形有哪些性质
1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对 应高线、对应周长的比都等于相似 比。 3、相似三角形面积的比等于相似 比的平方。
立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）. A
E3
证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO
2
解: ∵ DE∥BC
A
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
DE
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
B
C
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF·EG .
A
D
E
B
F
C
G
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED
∴
EA EG
AB =DG
∴
EA EG
EF =EA
EF BE AB EA =ED= DG
分析：要证明 EA2 = EF·EG ，
EA EF 即 证明 EG =EA 成
D B
A E C
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE∥BC，且AD AB
AE =AC
1 =2
∴ △ADE∽△ABC
即△ADE与△ABC的相似比为1:2
2. 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
A
解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
D
E
∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2
∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA
② ∵ △MAD∽ △MEA
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO ·EC.
分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： D
C
即
OB OC OE OD
又∵ ∠BOC= ∠EOD
∴ △BOC ∽△EOD
∴ ∠1= ∠2
∵ ∠1+ ∠BCD=90°，
∠2+ ∠3= ∠ 90°
∴ ∠ BCD= ∠3
又∵ ∠A= ∠A
∴ △ ADE∽ △ ABC
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
D
∠ BOE=∠COD
O
∴ △BOE ∽ △COD
1
B
C
证明一：
OB OE ∴ OC OD
∵BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90° ∴ ∠ABD= ∠ACE 又∵ ∠A= ∠A ∴△ ABD ∽ △ ACE
AD AB ∴ AE= AC
∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC
A
A
A
A
E
D
D
D
D
E
B
CB
CB E
CB
EC
这类题型的特征是有条件而无结论，要确定
这些条件下可能出现的结论． 解题思路是：
从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求
多种解法和结论，再进行证明.
3、存在探索型
如图, DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存 在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.