2022年高中统考数学理科人教版一轮课后限时集训73 直接证明与间接证明、数学归纳法

课后限时集训七十三直接证明与间接证明、数学归纳法
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一、选择题
1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°〞时，应假设
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
B[至少有一个包含“一个、两个和三个〞，故其对立面三个内角都大于60°，应选B．]
2．分析法又称执果索因法，>0，用分析法证明错误!错误!1
B．2>4
C．2>0 D．2>1
C[因为>0，所以要证错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 0i＝1,2,3，…，n，我们知道1＋2·错误!≥4成立．
1求证：1＋2＋3错误!≥9
2同理我们也可以证明出1＋2＋3＋4·错误!≥16由上述几个不等式，请你猜测一个与1＋2＋…＋n和错误!＋错误!＋…＋错误!n≥2，n∈N*有关的不等式，并用数学归纳法证明．
[解]1证明：法一：1＋2＋3错误!
≥3错误!·3错误!＝9当且仅当1＝2＝3时，等号成立．
法二：1＋2＋3错误!
＝3＋错误!＋错误!＋错误!
≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当1＝2＝3时，等号成立．
2猜测：1＋2＋…＋n错误!≥n2n≥2，n∈N*．
证明如下：
①当n＝2时，由得猜测成立；
②假设当n＝≥2，∈N＋时，猜测成立，
即1＋2＋…＋错误!≥2，
那么当n＝＋1时，
1＋2＋…＋＋＋1错误!
＝1＋2＋…＋错误!＋1＋2＋…＋错误!＋＋1错误!＋1
≥2＋1＋2＋…＋错误!＋＋1错误!＋1＝2＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋1≥2＋＝2＋2＋1＝＋12，所以当n＝＋1时不等式成立．
综合①②可知，猜测成立．。