2019最新九年级数学下册 第27章 圆 27.4 正多边形和圆同步练习 (新版)华东师大版

圆
27.4 正多边形和圆
知|识|目|标
1．了解正多边形的概念，而且知道正多边形与圆的关系．
2．在理解正多边形与圆的关系的基础上，通过例题和练习的学习，能够进行正多边形的有关计算．
3．通过阅读教材，能借助等分圆周的方法画圆内接正多边形和圆外切正多边形．
目标一了解正多边形的概念
例1 教材补充例题已知：如图27－4－1所示，正方形ABCD的四个顶点都在大⊙O上，连结AC和BD，那么OA，OB，OC，OD都是大⊙O的________，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝
________°，以点O为圆心，作小⊙O与AB相切，那么AD，DC，AB和BC都与小⊙O________，四边形ABCD是小⊙O的____________．
图27－4－1
例2 教材补充例题下列结论中正确的有( )
(1)各边都相等的多边形是正多边形；
(2)各角都相等的多边形是正多边形；
(3)正七边形有7条对称轴；
(4)任何正多边形只有一个外接圆和一个内切圆；
(5)一个圆有无数个内接正多边形和外切正多边形；
(6)边数为奇数的正多边形一定是轴对称图形；
(7)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是正十边形；
(8)若正方形的边长为6，则其内切圆的半径为3.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【归纳总结】各边相等、各角相等是正多边形的两个基本特征，边数为n(n＞3)的多边形必须同时满足这两个特征才是正多边形，否则就不一定是正多边形．
目标二能进行正多边形的有关计算
例3 教材补充例题如图27－4－2，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A＝36°，弦BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB.
(1)求证：五边形ADBCE是正五边形；
(2)指出正五边形的中心；
(3)求正五边形的中心角；
(4)如果正五边形的半径是r，边长是a，求正五边形的边心距d、周长P和面积S.
图27－4－2
【归纳总结】正多边形的有关计算：
(1)正多边形满足以下两个条件：各边相等、各角相等．
(2)正多边形中各元素间的关系：
设正n (n ≥3，且n 为整数)边形的边长为a n ，半径为R ，边心距为r n ，中心角为αn ，周长为
C n ，面积为S n ，则R 2＝r n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22
，αn ＝360°n ，C n ＝na n ，S n ＝12nr n a n ＝12C n r n . 从以上关系式可以看出，正多边形的有关计算都可以转化到由半径、中心到边的垂线段和边长的一半组成的直角三角形中解决．
(3)正三角形中，边心距∶半径∶高＝1∶2∶3；正方形中，正方形的对角线长等于其半径的2倍，边心距等于其边长的一半；正六边形中，正六边形的边长等于其半径．
目标三 会画正多边形
例4 教材例题针对训练 如图27－4－3，已知A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 的五等分点，过点A 画出⊙O 的内接正五边形和外切正五边形．
图27－4－3
【归纳总结】等分圆周画圆内接正多边形的工具和方法：
(1)只用量角器：用量角器把360°的圆心角n (n >2，且n 为整数)等分，相应圆周也被n 等分，顺次连结各分点即可得到圆内接正n 边形.
(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的1n
(n >2，且n 为整数)，相应地可得到圆周的1n
；再用圆规顺次截取，便得到圆周的n 等分点，顺次连结各分点即可得到圆内接正n 边形.
(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊的圆内接正多边形．
知识点一 正多边形与圆的关系
正多边形：____________、____________的多边形叫做正多边形．
任何一个正多边形都有一个________和一个________，并且这两个圆是同心圆． 知识点二 正多边形的有关概念
正多边形的中心：正多边形的________(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形的半径：外接圆的________叫做正多边形的半径．
正多边形的边心距：________的半径叫做正多边形的边心距．
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．正n (n ≥3，且n 为整数)边形的每个中心角都等于________．
知识点三 正多边形的画法
基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，从而画正多边形．
把圆分成n (n ≥3，且n 为整数)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接________；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切________．
等分圆周的常用方法：(1)用________等分；(2)用________等分．
知识点四 正多边形与圆的有关计算
解决正多边形的相关计算问题，关键在于添加辅助线，将其转化为直角三角形，然后运用勾股定理来解决．
学习了正多边形与圆后，三名同学有下列结论：
张东：正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；李艳：边数相同的正多边形都相似；
刘浩：正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．他们的说法正确吗？
教师详解详析
【目标突破】
例1 [答案] 半径 90 相切 外切正四边形
例2 [解析] B 菱形的四条边都相等，但它不是正四边形，所以(1)不正确；矩形的四个角都相等，但它不是正四边形，所以(2)不正确；其余六个结论都正确．
例3 [解析] (1)要证明五边形ADBCE 是正五边形，只需要证明AD ︵＝DB ︵＝BC ︵＝CE ︵＝EA ︵即可；
(2)正多边形的中心就是其外接圆的圆心；
(3)正n 边形的中心角为360°n
； (4)连结OB ，OC ，过点O 作BC 的垂线，垂线段的长度就是边心距，根据勾股定理即可求出． 解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.
又∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，
∴∠ABE ＝∠EBC ＝∠ACD ＝∠DCB ＝36°，
即∠ABE ＝∠EBC ＝∠ACD ＝∠DCB ＝∠BAC ，
∴AE ︵＝EC ︵＝AD ︵＝DB ︵＝BC ︵，
∴A ，D ，B ，C ，E 是⊙O 的五等分点，
∴五边形ADBCE 是正五边形．
(2)∵正多边形的中心是其外接圆的圆心，
∴正五边形的中心是点O.
(3)∵AD ︵＝DB ︵＝BC ︵＝EC ︵＝AE ︵，
∴正五边形的中心角是360°5
＝72°. (4)如图，连结OB ，OC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F.
∵OB ＝r ，BF ＝12BC ＝12
a ， ∴正五边形的边心距d ＝OB 2－BF 2＝
r 2－a 2
4； 正五边形的周长P ＝5a ；
正五边形的面积S ＝5S △OBC ＝5×12ad ＝5a 2 r 2－a 24. 例4 [解析] 依次连结圆的五等分点，所得的五边形是圆内接正五边形；经过圆的五等分点作圆的切线，相邻切线相交成的五边形是圆外切正五边形．
解：(1)如图，依次连结AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，就得到⊙O 的内接正五边形ABCDE.
(2)如图，分别过点A ，B ，C ，D ，E 作⊙O 的切线，所得的五边形FGHMN 是⊙O 的外切正五边
形．
【总结反思】
[小结] 知识点一各条边相等各个角也相等外接圆内切圆
知识点二外接圆半径内切圆360°n
知识点三正n边形正n边形量角器圆规
[反思] 正多边形内切圆的半径与正多边形的边心距相等，所以张东的说法不正确；
根据相似形的定义可知边数相同的正多边形都相似，所以李艳的说法正确．
正多边形都是轴对称图形，但不一定是中心对称图形，比如正五边形不是中心对称图形，所以刘浩的说法不正确．。