高二数学上学期第二次段考试题 文含解析 试题

寻乌中学2021-2021学年高二数学上学期第二次段考试题 文〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题
p ：0x R ∃∈，200220x x ++≤，那么以下说法正确的选项是〔 〕
A. p ⌝：x R ∀∈，2220x x ++≤是假命题
B. p ⌝：x R ∀∈，2220x x ++>是真命题
C. p ⌝：0x R ∃∈，2
00220x x ++>是真命题
D. p ⌝：x R ∀∈，2220x x ++>是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用特称命题的否认是全称命题，写出结果判断命题的真假即可．
【详解】解：因为特称命题的否认是全称命题，所以p ⌝：x R ∀∈，2220x x ++>，因为
()2
222110x x x ++=++>对于一切x ∈R ，恒成立，
应选：B .
【点睛】此题考察命题的真假的判断，全称命题与特称命题的否认关系，属于根底题．
2.如下图的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，那么x ，y 的值是〔 〕
A. 2，4
B. 4，4
C. 5，6
D. 6，4
【答案】D 【解析】 【分析】
此题先读出茎叶图中的数据，再根据条件：甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，分别求出x 、y 值，得到此题结论．
【详解】解：根据题目中提供的茎叶图，可知：
甲同学在期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，80x +，90，93． 乙同学在期末考试中六科成绩分别为：74，75，80y +，84，95，98． 甲同学的平均成绩为85，
∴1(758284809093)856
x ++++++=，
6x ∴=，
乙同学的六科成绩的众数为84，
4y ∴=，
故x 、y 的值分别为：6，4． 应选：D ．
【点睛】此题考察了茎叶图、众数、平均数的知识，此题难度不大，属于根底题．
3.某校高三年级一共有800名学生，学号从1～800号，现用系统抽样抽出样本容量为n 的样本；从小号到大号抽出的第1个数为8号，第6个数为168，那么抽取的第3个数是多少号 A. 64 B. 72
C. 80
D. 88
【答案】B 【解析】
由系统抽样的特点得()861168,32k k +-⨯==．所以抽取的第3个数为8(31)3272+-⨯=，应选B
22
153
x y k k +=--表示椭圆，那么k 的取值范围是〔 〕 A. ()()3,44,5 B. ()()1,24,5 C. ()()3,44,7
D. ()
()1,23,5
【答案】A 【解析】 【分析】
由椭圆的HY 方程得到不等式组，解不等式可求k 的范围
【详解】解：由得503053k k k k ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
解得35k <<且4k ≠.
应选：A
【点睛】此题主要考察了椭圆的HY 方程的应用，属于根底题.
5.为理解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为〔 〕 万元万元万元万元 【答案】B
【解析】
试题分析：由题
，，所以
．
试题解析：由
，
又因为ˆˆˆy
bx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以
，即该家庭支出为
万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
6.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．假设从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，那么该项不小于8的概率是( ) A.
310
B.
25
C.
35
D.
710
【答案】B 【解析】
由题意可知1
2(2)n n a -=⋅-，故前10项中，不小于8的只有8,32,128,512，一共4项，故所求概率是
42
105
=，应选B. 7.执行如下图的程序框图,假设输出k 的值是8,那么判断框内可填入的条件是( )
A. s ≤
34? B. s ≤56
?
C. s ≤1112?
D. s ≤2524
?
【答案】C 【解析】
试题分析：模拟执行程序框图，k 的值依次为0,2,4,8,，因此11111
24612
s =++=〔此时6k =〕，因此可填11
12
s ≤
，应选C. 考点：程序框图及循环构造.
8.从一篮子鸡蛋中任取1个，假如其重量小于30克的概率为0.3，重量在[]30,40克的概率为0.5，那么重量大于40克的概率为〔 〕
【答案】D 【解析】 【分析】
利用互斥事件概率计算公式求解．
【详解】解：由互斥事件概率加法公式知， 重量大于40克的概率为10.30.50.2p =--=. 应选：D .
【点睛】此题考察概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．
9.命题“对任意[)1,2x ∈，2
0x
a -≤〞为真命题的一个充分不必要条件可以是〔 〕
A. 1a ≥
B. 1a >
C. 4a ≥
D. 4a >
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称命题为真命题，求出a 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进展判断即可． 【详解】解：对任意[)1,2x ∈，2
0x
a -〞为真命题，
那么对任意[)1,2x ∈，2
x
a 〞，
当[)1,2x ∈
，[)21,4x ∈，
4a ∴，
那么命题“对任意[)1,2x ∈，2
0x
a -〞为真命题的一个充分不必要条件可以是4a >，
应选：D ．
【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出a 的取值范围是解决此题的关键．
10.某几何体的三视图如下图，其中侧视图的下半局部曲线为半圆弧，那么该几何体的外表积为〔 〕.
A. 41643π++
B. 51643π++
C. 41623π++
D. 51623π++
【答案】D 【解析】
试题分析：解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体， 三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，
两个底面面积之和为1
223232
⨯⨯= ；
半圆柱的侧面积为144ππ⨯⨯=，两个底面面积之和为2
1212
ππ⨯⨯⨯=，
所以几何体的外表积为51623π++ ， 此题选择D 选项.
3l y x m ：=+与圆22 (3)6C x y +-=：相交于,A B 两点，假设22AB =，那么实数m 的值等于( )
A. 7-或者1-
B. 1或者7
C. 1-或者7
D. 7-或者1
【答案】C 【解析】
由圆()2
2:36C x y +-=可知，圆心坐标为()0,3，圆半径为6,22,22
AB r AB =
=∴
=，由
勾股定理可知，圆心到直线:3l y x m =+的间隔 为362213
m --==
+，解得1m =-或者7m =.
应选C ．
12.如图，A 、B 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，45MBA ∠=︒，1
tan 3
MAB ∠=，那么椭圆的离心率为〔 〕
A.
22 336 【答案】D 【解析】 【分析】
由条件求出M 的坐标，然后求解离心率即可．
【详解】解：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，
可设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
那么直线MA ，MB 的方程分别为()1
3
y x a =
+，y x a =-+. 联立解得M 的坐标为,22a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以2
2
22
221a a a b ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 化简得(
)2
2
22
33a b a c
==-，
所以2223
c a =，所以6c a =应选：D .
【点睛】此题考察椭圆的简单性质的应用，是根本知识的考察． 二、填空题
13.在区间(0，1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋
1
2
＝0有两个相异实根的概率为________． 【答案】
22
2
-
【解析】 【分析】
由根的判别式求出a 的取值范围，再由几何概型计算公式求出概率即可.
【详解】由方程有两不等实根可得：2
14402a ∆=-⨯
>，解得：212
a <<， 由几何概型公式：
2
122212
P --=
=. 【点睛】此题考察取值范围型几何概型，求出范围长度，代入几何概型公式即可求解.
24y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)B ，那么||||PB PF +的最小值为_____．
【答案】4 【解析】 【分析】
过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ，那么||||PB PF +的最小值为||AB ，由此能求出||||PB PF +的最小值． 【详解】
抛物线2
4y x =的焦点是F ，∴焦点(1,0)F ，准线方程1x =-，
如图，过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ，
||||PB PF ∴+的最小值为||AB ， (||||)||134min PB PF AB ∴+==+=．
故答案为：4．
【点睛】此题考察两线段和的最小值的求法，考察抛物线、直线方程等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 15.有以下四个命题：①“假设1xy
=，那么x ，y 互为倒数〞的逆命题；②“面积相等的三角形全等〞
的否命题；③“假设1m ，那么2x 2x m 0-+=有实数解〞的逆否命题；④“假设A
B B =，那么
A B ⊆〞的逆否命题．其中真命题为________〔填写上所有真命题的序号〕．
【答案】①②③ 【解析】 【分析】
结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性一样，分别判断各个结论的真假，可得答案． 【详解】解：①“假设1xy
=，那么x ，y 互为倒数〞的逆命题是“假设x ，y 互为倒数，那么1xy =〞，
显然是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等〞的否命题是“面积不相等的三角形不全等〞，显然是真命题，故②正确； ③假设2x 2x m 0-+=有实数解，那么440m ∆=-≥，解得1m ，所以“假设1m ，那么
2x 2x m 0-+=有实数解〞是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；
④假设A
B B =，那么B A ⊆，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
故真命题有①②③ 故答案为：①②③
【点睛】此题以命题的真假判断与应用为载体，考察的知识点是四种命题，难度中档．
16.12,F F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12
PF PF ⊥．假设12PF F ∆的面积为9，那么b =_____．
【答案】3 【解析】
【分析】
由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 由面积得12
|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b 的值.
【详解】∵F 1、F 2是椭圆C ：22
221x y a b
+=〔a ＞b ＞0〕的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，
12|PF 1||PF 2|＝9，∴〔|PF 1|+|PF 2|〕2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4〔a 2-c 2〕=4b 2，∴b=3．
故答案为3．
【点睛】主要考察椭圆的定义、根本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于根底题.
三、解答题
17.0c >，且1c ≠，设:P 函数x
y c =在R 上单调递减，:Q 函数2()21f x x cx =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，P Q ∧为假，P Q ∨为真，务实数c 的取值范围. 【答案】112
c << 【解析】
【分析】
当命题,P Q 分别为真时，分别求出c 的范围，由条件得到,P Q 为一真一假，再根据集合运算务实数c 的取值范围.
【详解】当P 真时，01c <<；当Q 为真时，012c <≤
， 因为P Q ∧为假，P Q ∨为真，所以P Q ⎧⎨⎩真，假，或者P Q ⎧⎨⎩
假，真， 所以011112c c c <<⎧⎪⎨<⎪⎩，或，或者1102c c >⎧⎪⎨<≤⎪⎩
，， 所以112
c <<.
【点睛】此题考察复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数性质的灵敏运用.
18.2021年“十一〞期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一效劳区从七座以下小型汽车中按进效劳区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进展询问调查，将他们在某段高速公路的车速〔/km h 〕分成六段： [)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80， [)80,85， [)85,90，后得到如图的频率分布直方图．
〔1〕求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；
〔2〕假设从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率．
【答案】〔1〕众数的估计值等于77．5 中位数的估计值为77．5〔2〕
815
【解析】
试题分析; 〔1〕选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开场小矩形的面积和为对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数． 〔2〕从图中可知，车速在[6065，） 的车辆数和车速在[6570，） 的车辆数．从车速在6070（，）
的车辆中任抽取2辆，设车速在[6065，） 的车辆设为a b ，， 车速在[6570，） 的车辆设为c d e f ，，，， 列出各自
的根本领件数，从而求出相应的概率即可．
试题解析：
〔1〕众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，
设图中虚线所对应的车速为x ，那么中位数的估计值为：
()0.0150.0250.0450.06750.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =．
即中位数的估计值为77.5．
〔2〕从图中可知，车速在[)60,65的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=〔辆〕，
车速在[)65,70的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=〔辆〕，
设车速在[)60,65的车辆设为a ，b ，车速在[
)65,70的车辆设为c ，d ，e ，f ，那么所有根本领件有： (),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f 一共15种，
其中车速在[
)65,70的车辆恰有一辆的事件有：(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f 一共8种．
所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815
P =． 【点睛】此题考察率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识．此题把统计和概率结合在一起，比拟新颖，也是高考的方向，应引起重视．
19.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.
〔1〕求证：AD CE ⊥；
〔2〕求证：//BF 平面CDE ．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.
【分析】
〔1〕易证AD⊥平面CDE ，从而AD⊥CE；〔2〕先证平面ABF∥平面CDE ，可得BF∥平面CDE.
【详解】证明：〔1〕因为矩形ABCD
所以AD⊥CD
又因为DE⊥AD，且CD DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE
所以AD⊥平面CDE
又因为CE ⊂平面CDE
所以AD⊥CE
〔2〕因为AB∥CD，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE
所以AB∥平面CDE
又因为AF∥DE，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE
所以AF∥平面CDE
又因为AB AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF
所以平面ABF∥平面CDE
又因为BF ⊂平面ABF
所以BF∥平面CDE
【点睛】此题考察了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其断定定理，也可先证面面平行再得线面平行.
C 的半径为1，圆心既在直线24y x =-上又在直线1y x =-上.
〔1〕求圆C 的HY 方程
〔2〕过做()2,0A 圆C 的切线，求切线方程．
【答案】〔1〕()()22
321x y -+-= ；〔2〕2x =和3460x y --=
【分析】
(1)由圆心既在直线24y x =-上又在直线1y x =-上，所以条直线的交点即为圆心．〔2〕分别讨论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的间隔 等于半径即可．
【详解】〔1〕联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32
x y =⎧⎨=⎩，那么圆C 的圆C 坐标为(3,2)． 因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=．
〔2〕假如k 不存在，那么方程为2x =，是圆的切线；假如斜率存在，设切线方程为：(2)y k x =-，即20kx y k --=．运用间隔 公式211d k ==+，解得34
k =．方程为34120x y +-=． 综上所述切线方程为：2x =和3460x y --=．
【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程，以及直线与圆的位置关系．属于中等题．
21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上一点．
〔1〕证明：平面ADE ⊥平面PAB ．
〔2〕假设4PE EC =，O 为点E 在平面PAB 上的投影，3AD =
，22AB AP CD ===，求四棱
锥P ADEO -的体积． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕123P ADEO V -=
【解析】
〔1〕利用线面垂直的断定定理可得AD ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的断定定理即可证明；〔2〕取AB 中点F ，由平面的根本性质可得C,E,O,F 确定一个平面，且点O 在PF 上，利用相似比可得4PO OF =，由95
AOED AOE S S =△，将四棱锥P ADEO -的体积转化为求解三棱锥D-AOP 的体积，利用等体积转化法即可求解.
【详解】〔1〕证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥．
又AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ．
又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PAB ．
〔2〕解：取AB 的中点F ，所以CF AD ，那么CF AB ⊥．
又PA CF ⊥，PA AB A =，所以CF ⊥平面PAB ， 那么EO CF ，即O 点在线段PF 上．
又4PE EC =，所以4PO OF =，4455OE CF AD =
=， 那么9955
P ADEO P AOD D AOP V V V ---==， 4455
PAO PAF S S ==， 143315D AOP AOP V AD S -=⋅=，325
P ADEO V -=． 【点睛】空间几何体体积问题的3种类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．假设所给的几何体为柱体、锥体或者台体，那么可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．假设所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，那么常用转换法、分割
法、补形法等进展求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
M ：()222210y x a b a b
+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. 〔1〕求椭圆M 的方程；
〔2
〕假设直线y m =
+交椭圆M 于A ，B
两点，(P 为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值． 【答案】〔1〕22
142
y x += 〔2
【解析】
【分析】
〔1〕求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a ，b ，即可得到椭圆方程；
〔2〕联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合根本不等式，即可得到最大值．
【详解】〔1〕由题可知，
那么椭圆的离心率c e a ==，由24a =
，c a =，222b a c =-，得2a =
，c =
b =M 的方程为22
142
y x +=. 〔2〕不妨设()11,A x y ，()22,B x y
，联立方程组2212
4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
，得22440x m ++-=，
由()()221640m ∆=-->
，得m -<<
且122124
4x x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
所以12AB x =-
=
=
=
又P到直线AB的间隔
为d=
所以
1
22
PAB
S AB d
∆
=⋅=
==
(
)
22
8
2
m m
+-
≤
=
当且仅当(2
m=±∈-
时取等号，所以()max
PAB
S
∆
=.
【点睛】此题考察椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考察直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考察运算才能，属于中档题．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。