一笔画问题、欧拉回路与中国邮递员问题

一笔画问题、欧拉回路与中国邮递员问题
(不重复（重复）地行遍所有的边再回到终点)
欧拉定理
[学习目标]
1.会表述欧拉回路与中国邮递员问题的定义；
2.会用弗罗莱算法求解一些简单的中国邮递员问题．
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡, 那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

问：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？
这个例子是历史上非常有名的哥尼斯堡7桥问题。

哥尼斯堡现在是立陶宛共和国的一个城市，图1是当地奈发夫岛附近的地域图，此例子就是当地人民中间流传久远的一个难题。

直到1736年，数学家欧拉首次系统研究并完全解决了这类问题。

图 1 图 2
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？
一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

欧拉定理:如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

定义经过G的每条边的迹叫做G的Euler迹；闭的Euler迹叫做Euler
回路或E 回路；含Euler 回路的图叫做Euler 图。

直观地讲，Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。

定理: （i ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且每顶点皆偶次。

（ii ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且 d
i i C G 1
==，i C 是圈，
)()()(j i C E C E j i ≠Φ= 。

（iii ）G 中有Euler 迹的充要条件是G 连通且至多有两个奇次点。

另外一种表述：
定理：对连通图G （V ，E ），下列条件是相互等价的：
（1）G 是一个欧拉图；
（2）G 的每一个节点的度数都是偶数；
（3）G 的边集合E 可以分解为若干个回路的并．
如果一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”。

练习:
下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）
中国邮递员问题
一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题．
用图论的述语，在一个连通的赋权图G （V ，E ）中，要寻找一条回路，使该回路包含G 中的每条边至少一次，且该回路的权数最小．也就是说要从包含G
的每条边的回路中找一条权数最小的回路．
如果G是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是若G不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解决要困难得多．本节的主要目标是给出在有奇度数节点的连通图中寻找最小权数的回路的方法．
例：已知邮递员要投递的街道如图11-20所示，试求最优邮路．
练习：
1．证明，若图G为欧拉图，则G的边数不少于节点数．
2．一名邮递员的投邮区，如下图11-24所示，每条边（街道）都有邮件需投递，各边旁所注的数字为该街道的长度，试求该邮区的最短投递路径及其长度．3．求下列图11-25（a）(b)所示的投邮区的最佳邮路及其长度．
作业题：P220: 1,3。