2022年广东省广州市洛溪新城中学高三数学文模拟试题含解析

2022年广东省广州市洛溪新城中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若满足条件，,的有两个，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为
天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为最小则每批生产产品（）
A、60件
B、80件
C、100件
D、120件
参考答案：
B
3. 为等差数列的前n项和，，等比数列中，，则等于（）
A. B. C. D. 32
参考答案：
C
4. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当
时，（其中是f(x)的导函数），若
,,，则a、b、c的大小关系是（）
A B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在
上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数
的奇偶性与单调性可得结果.
【详解】，，
，，
当时，；
当时，，
即在上递增，
的图象关于对称，
向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，
即为偶函数，，
，
，
即，
，
即.
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难
题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
.
5. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A．2B．4C．2 D．4
参考答案：
D
【考点】定积分．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是，
而=（2x2﹣x4）＝8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．6. 复数z满足1+i=（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：由1+i=，得=，
∴z在复平面内对应的点的坐标为（，﹣1），位于第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7. 若函数，则函数是
(A) 周期为的偶函数(B) 周期为2的偶函数
(C) 周期为2的奇函数(D) 周期为的奇函数
参考答案：
D
略
8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）
A．4 B． C. D．2
参考答案：
B
由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2
的直三棱柱，所以该几何体
的表面积为，故选B.
9. 已知函数f （x ）=
，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则
a+b+c 的取值范围是（ ）
A ．（1，2014）
B ．（1，2015）
C ．（2，2015）
D ．[2，2015]
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据题意，在坐标系里作出函数f （x ）的图象，根据f （a ）=f （b ）=f （c ），确定a ，b ，c 的大小，即可得出a+b+c 的取值范围． 【解答】解：作出函数的图象如图，
直线y=m 交函数图象于如图， 不妨设a ＜b ＜c ，
由正弦曲线的对称性，可得（a ，m ）与（b ，m ）关于直线x=对称， 因此a+b=1，
当直线y=m=1时，由log 2014x=1， 解得x=2014，即x=2014，
∴若满足f （a ）=f （b ）=f （c ），（a 、b 、c 互不相等）， 由a ＜b ＜c 可得1＜c ＜2014， 因此可得2＜a+b+c ＜2015， 即a+b+c∈（2，2015）． 故选：C ．
10. 已知实数x ，y 满足约束条件
，则z ＝x+4y 的取值范围是
A 、［－6,4］
B 、［2,4］
C 、［2，+∞）
D 、［4，+∞）
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若点 P （x ，y ）满足线性约束条件，O 为坐标原点，则
的最大值_________ 参考答案：
12. 如图，l 1，l 2，l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 3与l 2间的距离是2，正△ABC 的三顶点分别在l 1，l 2，l 3上，则△ABC 的边长是 ．
参考答案：
略
13. 复数
对应的复平面上的点在第
象限．
参考答案：
略
14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中： ①|BM|是定值；
②点M 在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
其中正确的命题是．
参考答案：
①②④
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】取A1D的中点N，连结MN，EN，则可证明四边形MNEB是平行四边形，从而BM EN，于是BM∥平面A1DE，从而可判断①②④一定成立，假设③成立，则可推出DE⊥A1E，得出矛盾．【解答】解：取A1D的中点N，连结MN，EN，
则MN为△A1CD的中位线，∴MN CD，
∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE CD，
∴MN BE，
∴四边形MNEB是平行四边形，
∴BM EN，
∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；
又NE?平面A1DE，BM?平面A1DE，
∴BM∥平面A1DE，故④正确；
由勾股定理可得DE=CE=2，∴DE2+CE2=CD2，
∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，
∴DE⊥平面A1CE，又A1E?平面A1CE，
∴DE⊥A1E，而这与∠AED=45°矛盾．故③错误．
故答案为：①②④．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．
15. （4分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）等于= ．参考答案：
5+5i
【考点】：复数代数形式的乘除运算．
【专题】：数系的扩充和复数．
【分析】：利用复数的运算法则即可得出．
解：（2+i）（3+i）=6﹣1+5i=5+5i．
故答案为：5+5i．
【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
16. 函数
的定义域为
．
参考答案：
17. 在中，，,．设的外心为，若
，则．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M．
（1）求证：面ABM⊥面PCD；
（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．
参考答案：
【分析】（1）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥面PAD，进而AM⊥CD，再求出AM⊥MC，从而AM⊥面PCD，由此能证明面ABM⊥面PCD．
（2）三棱锥P﹣AMC的体积V P﹣AMC=V C﹣PAM，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥面PAD，∵AM?面PAD，∴AM⊥CD，
∵AC为直径的球面交PD于M，∴AM⊥MC，
∵CD与MC是面PCD内两条相交直线，
∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，∴面ABM⊥面PCD．…6（分）
解：（2）∵PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面积为S=8，CD=2
∴三棱锥P﹣AMC的体积：
V P﹣AMC=V C﹣PAM=V C﹣PAD=?S?CD=…12（分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．
19. （12分）
已知向量，（，）.函数
，
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间。

参考答案：
解析：
（Ⅰ）
…………3′
由题意得周期，故.…………4′
又图象过点，∴
即，而，∴，∴………6′
（Ⅱ）当时，
∴当时，即时，是减函数
当时，即时，是增函数
∴函数的单调减区间是，单调增区间是…………12′
20. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足且．
（1）求角B；
（2）求△ABC周长L的最大值．
参考答案：
（1）（2）9
【分析】
（1）用正弦定理将已知等式化为正弦，余弦角的关系，化简整理可得角B。

（2）三角形周长L=a+b+c，已知b=3，根据余弦定理建立a，b，c三边的关系，由不等式性质可得周长最大值。

【详解】解：（1），由正弦定理得
，
即，
又，
所以，又，得
（2）在中，由余弦定理得，
所以，
即，所以，
当时，的周长L最大值为9．
【点睛】本题考查正，余弦定理和用均值不等式求最大值，是常见考点。

21. （本小题14分）已知椭圆：，
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围；
（3）过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆：相交于四点，设原点到四边形的一边距离为，试求时满足的条件.
参考答案：
（2）如图，依题意，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，消去整理得，
由韦达定理，，，
,
因为直线与椭圆相交，则，
即，解得或，
当为锐角时，向量，则，
即，解得，
故当为锐角时，.
（3）如图，
依题意，直线的斜率存在，设其方程为，，，由于，，即，又，
①
联立方程组，消去得，
由韦达定理得，，代入①得
，
令点到直线的距离为1，则，即，
，
整理得.
22. 设数列{a n}的前n项和为S n
（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使S n=ma n+t对一切大于零的自然数n都成立．
（2）若数列{a n}是首项为a1，公差d≠0的等差数列，证明：存在常数m，t，b使得S n=ma n2+ta n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=．
（3）若数列{a n}满足S n=ma n2+ta n+b，n∈N+，m、t、b（m≠0）为常数，且S n≠0，证明：当t=时，数列{a n}为等差数列．
参考答案：
考点：数列的应用；数列的求和．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用等比数列的求和公式，即可求常数m，t的值；（2）确定，利用S n=ma n2+ta n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=，即可得出结论；
（3）由题知S n﹣S n﹣1=a n，可得，即可证明结论．
解答：解：（1）
所以m=2，t=﹣1（4分）
（2）在等差数列{a n}中，a n=a1+（n﹣1）d，所以
所以存在，，使得命题成立（6分）
（3）由题知S n﹣S n﹣1=a n，
∴，
∴
若a n+a n﹣1=0，则S2=0，与题设矛盾
所以，m≠0，得
所以数列{a n}为等差数列（6分）
点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。