苏教版高中数学选修2-1：椭圆的标准方程_课件5

θ
上的一点，∠F1PF2＝θ，则 S△PF1F2＝b2·tan 2 .
(3)本例中将 PF1·PF2 作为一个整体来求减少了运算量，这 种整体求解、整体代入的方法，值得领悟．
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【变式2】 如图，F1、F2 分别为椭圆xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，点 P 在椭圆上， △POF2 是面积为 3的正三角形，则 b2 的值为________． 解析 S△PF1F2＝2S△OPF2＝2 3， 又可求得∠F1PF2＝90°，故 S△PF1F2 ＝b2，∴b2＝2 3. 答案 2 3
＝3 3.
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规律方法 (1)解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分
利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．一般地，仅与
∠F1PF2有关的问题，应注意余弦定理的运用；若与
∠PF1F2或∠PF2F1有关的问题，则应注意正弦定理的运
用． (2)由本例可以得到一般的结论：设
P
是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)
答案 16 F1(－8，0)，F2(8，0) 40 课前探究学习
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题型二 求焦点三角形的面积
【例2】已知P为椭圆 1x62＋y92＝1上的一点，F1、F2是两个焦 点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [思路探索] 椭圆上的点P与椭圆的两个焦点F1、F2构成的 三角形PF1F2称为椭圆的焦点三角形，在涉及到有关椭圆 的焦点三角形问题时，我们经常利用椭圆的定义，除此之 外，还利用正弦定理、余弦定理及三角形面积的公式等．
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【示例】若实数x、y满足 x42＋y32＝1，求x＋2y的取值范围． [思路分析] 用三角代换设出x、y，则x＋2y转化为三角函
数，利用三角函数的图象与性质可求出其取值范围．
解 由题意，可设 x＝2cos α ，y＝ 3sin α ，
则
x＋2y＝2cos
α ＋2
3sin
α
＝4(
3 2
sin
α ＋12cos
α )＝4sin(α＋π6 )∈[－4，4]， 故所求 x＋2y 的取值范围为[－4，4]．
方法点评 利用三角代换可使椭圆的有些问题转化为三角
函数的问题，从而得到简捷的解法．
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题型三 与椭圆有关的最值问题
【例3】(14分)已知椭圆 xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、 F2，点P为椭圆上的任意一点，求PF1·PF2的最大值．
审题指导 由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a，设PF1＝
x，则PF2＝2a－x，于是有PF1·PF2＝x(2a－x)，再借助二
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【变式1】椭圆 1x020＋3y62＝1的焦距是__________，焦点坐标是 ________；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为
另一个焦点，则△ABF2的周长是______． 解析 比较方程1x020＋3y62 ＝1 与焦点在 x 轴上的椭圆的标
准方程xa22＋by22＝1(a>b>0)可知：a2＝100，b2＝36.
椭圆的标准方程
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【课标要求】 1．会用椭圆的定义、标准方程解决问题． 2．会求与椭圆有关的点的轨迹与方程． 【核心扫描】 1．用椭圆的定义、标准方程解决问题．(重点) 2．求与椭圆有关的点的轨迹与方程．(难点)
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题型一 椭圆定义的应用
【例1】椭圆 1x22＋y32＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线 段PF1的中点在y轴上，那么PF1是PF2的______倍． [思路探索] 由线段PF1的中点在y轴上及点O为F1F2的中点 知PF2平行于y轴，并可由中点坐标公式求得点P的横坐 标，从而点P坐标可求．
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解 在椭圆1x62＋y92＝1 中，a＝4，b＝3，所以 c＝ 7，点 P
在椭圆上，所以 PF1＋PF2＝8.且 F1F2＝2c＝2 7. ①
在△PF1F2 中，由余弦定理得
PF12＋PF22－2PF1·PF2cos 60°＝28.
②
由①2－②得 PF1·PF2＝12，所以 S＝12PF1·PF2·sin 60°
【题后反思】 求椭圆中某一量的最值，关键是通过椭圆的 几何性质建立起函数关系，使问题转化为函数的最值问题．
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【变式3】已知椭圆 x92＋y42＝1，求其内接矩形的最大面积． 解 如图所示．
设第一象限内矩形的顶点为 P(x0，y0)，
则 S 矩形＝4x0y0.
∵1＝x设 F1(－3，0)，F2(3，0)，由条件知 P(3，± 23)， 即 PF2＝ 23，由椭圆定义知 PF1＋PF2＝2a＝4 3，PF1＝723， PF2＝ 23，即 PF1＝7PF2. 答案 7 规律方法 由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个 焦点的距离之和为定值2a.利用这一性质，可使椭圆的有 些问题获得简捷的解法．
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∴c2＝a2－b2＝64，
∴c＝8，
∴2c＝16，
∴两焦点为F1(－8，0)，F2(8，0)． 不妨设F1为椭圆的左焦点，由图及椭圆的定义可知， △ABF2的周长为 |AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝2a＋2a＝4a＝40.
x02·y02 94
＝x03y0.
∴当x30＝y20＝ 22，即 x0＝322，y0＝ 2时， 等号成立，此时 S 矩形≤12. 故所求内接矩形的最大面积为 12.
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方法技巧 三角代换求与椭圆有关的范围问题
一般地，若设 x＝acos α ，y＝bsin α ，则xa22＋by22＝cos2 α ＋sin2 α ＝1.因此点(acos α ，bsin α )一定是椭圆xa22＋by22 ＝1 上的一点；反过来，对于椭圆xa22＋by22＝1 上任意一点， 一定存在一个 α，使得 x＝acos α ，y＝bsin α .故椭圆上 的任意一点的坐标可用三角代换设出．
次函数的性质研究最值．
[规范解答] 设PF1＝x，由椭圆的定义知，PF2＝2a－x.4分
∴PF1·PF2＝x(2a－x)＝－(x－a)2＋a2.…………………9分
∴当x＝a即PF1＝PF2＝a时，…………………………12分
PF1·PF2取得最大值a2.…………………………………14分
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