函数的解析式、定义域【精华】

龙文教育个性化辅导授课案
教师: 学生: 年级： 日期: 星期: 六 时段: 8—10 学情分析
函数是高中数学学习的一个重要内容，在高考中的比重也最大，从函数的基本性质几种常见的初等函数都要充分的认识到它的重要性。

课 题
函数的解析式、定义域 学习目标与
考点分析
1、了解构成函数的要素，会求函数的定义域；
2、根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
3、会用不同的方法求函数的解析式、定义域。

学习重点
求函数解析式、定义域、的方法 学习方法 总结归纳法
学习内容与过程
【知识梳理】
1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：)(x f y =.
函数D x x f y ∈=),(，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做定义域，和x 值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
2、定义域的解法：
主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函
数x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且1≠a ；（5）零
次幂0x 的底数0≠x ； （6）函数tan y x =的定义域是}2|{z k k x x ∈+≠π
π；（7）由实际问题确
定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。

注意：函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。

3、函数解析式的求法：
○
1换元法 ○2 解方程组法 ○3待定系数法 ○4特殊值法 考点一：求函数解析式
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
例2、设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式.
2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例3 、 已知221)1(x
x x x f +=+
)0(>x ，求 ()f x 的解析式
3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例4、 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例5、已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例6、 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
例7、 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例8、 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
例9、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。

考点二:求函数的定义域的方法
两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f,对于集合A 中任何一个数X ，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f 叫做定义在集合A 上的函数，记作f:A →B ，或者y=f(x),x ∈A 。

此时，x 叫做自变量，集合｛f(x)x ∈A ｝叫做函数值域，集合A 叫作函数的定义域，即函数中自变量的取值范围，它和函数的值域及对应法则构成函数的三要素．在三要素中，对应法则是核心，定义域是关键，而值域是受定义域与对应法则共同制约的.因此，正确求出函数的定义域是一项非常基本的数学能力.
例1、求下列分式的定义域。

2 、求函数y ＝23-x ＋
30323-+x x ）（的定义域
例2、（1）已知f(x)的定义域为［0，2］，求函数f(2x-1)的定义域。

（2）已知f(2x-1)的定义域为（-1，5］，求函数f(x)的定义域。

（3）已知f(2x-5)的定义域为（-1，5］，求函数f(2-5x)的定义域。

评注：已知f(x)的定义域为D ，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D ；而已知f[g(x)]定义域为D ，求f(x)定义域，是根据x ∈D ，求g(x)的取值范围。

此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x 还是别的。

的定义域、求函数265)(12-+-=x x x x f
例3、已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数).
（1）写出函数f(x)的定义域和值域；
（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围;
（3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围.
例4、 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y +1()4
f x -的定义域
【课堂作业】
1．（1）函数)13lg(13)(2++-=
x x x x f 的定义域是（ ） A ．（∞-，31-） B ．(31-，31） C ．(31-，1） D ．(3
1-，∞+） （2）已知()f x =
11+x ，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠- C ．{|12}x x x ≠-≠-且 D ．{|12}x x x ≠-≠-或
（3）函数＝268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）
A.09k k ≥≤-或
B.1k ≥
C.91k -≤≤
D. 01k <≤
（4）下列函数中,最小值是2的是__ _(正确的序号都填上).
①(12)y x x x =+>；②2232
x y x +=+；③914x y x =+-；④x x y cot tan +=． （5）若的最大值是则y x y x 43,122-=+____ ____
2．（1）求下列函数的定义域：x x x x x x f +-++-=0
2)1(65)(的定义域．
（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．
3．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值．
解：
4 . 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x
解：
【基础精练】
1.下列是映射的是（ ）
图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5
2.已知1{0,1,2,4},{,0,1,2,6,8}2A B ==,下列对应关系能构成从A 到B 的映射的是( )
A . 3:1f x x →- B. 2:(1)f x x →- C . 1:2
x f x -→ D. :2f x x →
3.下列与函数y=x 是同一函数的是（ ） (A)2
x y = (B)x x y 2= (C)x a a y log = (D)x a a y log = 4.已知函数x y -=2的定义域为M ，集合)}1lg(|{-==x y x N ，则)(=N M
（A ）)2,0[ （B ）)2,0( （C ）)2,1{ （D ）]2,1(
5.⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果3)(=a f ，那么实数a = 。

a b c e a b c e f a b c e f g a b c e f a b e f g
6.求下列函数的定义域02)23(3
|3|)lg(-+-+-=x x x x y ；
【拓展提高】
1.如果函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
课内练习与训练
你这次课一定有不少收获吧，请写下来： 教学反思
本次课后作业
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字：
学科组长签字：。