2024-2025学年湖南省邵阳二中高三(上)月考数学试卷(8月份)(含答案)

2024-2025学年湖南省邵阳二中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若非空集合A ，B 满足A ⊂B ，U 为全集，则下列集合中表示空集的是( )A. A ∩B
B. −
A ∩−
B
C. −
A ∩B
D. A ∩−
B
2.sin40°(tan10°−
3)=( )
A. −1
2
B. −1
C. −
32
D. −
33
3.已知函数y =f(1
2x +1)的定义域是[2,4]，则函数g(x)=f(x)
ln (x−2)的定义域为( )A. (2,3)
B. (2,3]
C. (2,3)∪(3,6]
D. (2,3)∪(3,4]
4.下列求导数计算错误的是( )A. (1
x )′=−1
x 2
B. (x 2
e x )′=
x 2−2x e x
C. (xlnx)′=1+lnx
D. (tanx)′=1
cos 2x
5.苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550−1617)发明的对数及对数表(如表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成N =a ×10n (1≤a <10,n ∈Z)，则lgN =n +lga(0≤lga <1)，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数M 31是35位数，则M 的值为( ) N
2
3
4
5
1112131415
lgN 0.300.480.600.701.041.081.111.151.18
A. 3
B. 12
C. 13
D. 14
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m 1L 1=m 2L 2，其中m 1，m 2分别为左右盘中物体质量，L 1，L 2分别为左右横梁臂长．A. 等于10g
B. 小于10g
C. 大于10g
D. 不确定
7.如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =5，∠BAC =60°，BC 、AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，则∠MPN 的余弦值为( )
A.
4 9191 B.
2 9191
C.
9191 D. −
4 9191
8.已知直线y =kx +b 是曲线y =x 2−(a +1)的切线，也是曲线y =a ln x−1的切线，则k 的最大值是( )A. 2
e
B. 4
e
C. 2e
D. 4e
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)=1
3x 3−x−1，则( )A. f(x)有一个零点B. f(x)的极小值为−53C. f(x)的对称中心为(0,1)
D. 直线y =−x−1是曲线y =f(x)的切线
10.设点D 是△ABC 所在平面内一点，O 是平面上一个定点，则下列说法正确的有( )A. 若AD =(2
3AB +13AC )，则D 是BC 边上靠近B 的三等分点B. 若AD =λ(
AB |AB |cos B AC
|AC |cos C
)，(λ∈R 且λ≠0)，则直线AD 经过△ABC 的垂心
C. 若AD =xAB +yAC ，且x ，y ∈R ，x +y =1
2，则△BCD 是△ABC 面积的一半D. 若平面内一动点P 满足OP =OA +λ(AB |AB |
AC |AC |
)，(λ∈R 且λ≠0)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外
心
11.设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( )A. f(x)的图象关于直线x =π
2对称
B. 在(0,2π)上，方程f(x)=1的根有3个，方程f(x)= −1的根有2个
C. f(x)在(0,π
10)上单调递增D. ω的取值范围是[125,29
10)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC =b ，BC =a (b ≥a )，AB =c ，图中两个阴影三角形的周长分别为l 1，l 2，则l 1
+l 2
a +b
的最小值为 ．
13.某时钟的秒针端点A 到时钟的中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转.当时间t =0时，点A 与钟面上标“12”的点B 重合，将A ，B 两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d = ，其中t ∈[0,60]．
14.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内(含边界)，且|AP |=|AB |．
①若|BP |=|AB |，则AP ⋅BP 的值是______；
②若向量AC =λDE +μAP ，则λ+μ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(12sinB−sinAcosC)b =asinCcosB ．(1)求b
a
的值；
(2)若a =6，点D 是线段BC 上的一点，∠CAD =∠BAD ，DA =DC ，求cosC 的值．
16.(本小题12分)
如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB =2AD =2，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD 1//平面A 1DE ．
(2)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1−MC−D 的平面角的大小为π
4若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
17.(本小题12分)已知函数f(x)
=e x
x −a(1−x
+ln x)，其导函数为f′(x)．
(1)若f(x)在(1,+∞)不是单调函数，求实数a 的取值范围；
(2)若f(x)≥0在(1,+∞)恒成立，求实数a 的最小整数值．(e 2≈7.39)18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x|x−a|+2．(1)当a =2时，求f(x)的单调递增区间;
(2)若∃x 1，x 2∈[0,2]，使|f(x 1)−f(x 2)|>2，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)
如果数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =0且|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=1(n ≥3,n ∈N ∗)，则称{a n }为n 阶“归化”数列．
(1)若某3阶“归化”数列{a n }是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；(2)若某11阶“归化”数列{a n }是等差数列，求该数列的通项公式；(3)若{a n }为n 阶“归化”数列，求证a 1+1
2a 2+1
3a 3+…+1
n a n ≤1
2−1
2n ．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.C
6.C
7.A
8.B
9.ABD
10.ABC
11.CD
12.1+2
2
13.10sinπt
60
14.−1
21 2
15.解：(1)因为(12sinB−sinAcosC)b=asinCcosB，
由正弦定理得(12sinB−sinAcosC)sinB=sinAsinCcosB，
所以12sin2B=sinAsinCcosB+sinAcosCsinB=sinA(sinCcosB+cosCsinB) =sinAsin(B+C)=sinAsin(π−A)=sin2A.
即12sin2B=sin2A，
由正弦定理得12b2=a2，
又a>0、b>0，则b
a =3
6
或b
a
=−3
6
(舍去)．
所以b
a =3
6
．
(2)因为∠CAD=∠BAD，设△ABC中BC边上的高为ℎ，
所以S△ADB
S△ADC =
1
2
AD⋅ABsin∠BAD
1
2
AD⋅ACsin∠CAD
=
1
2
BD⋅ℎ
1
2
CD⋅ℎ
，所以AB
AC
=BD
CD
，
设AB
AC =BD
CD
=m(m>0)，
由a=6，b
a =3
6
，BD+CD=BC=6，
所以b = 3，则AB = 3m ，BD =
6m
1+m
，CD =
6
1+m
，在△ABC 中，由余弦定理得cosC =CA 2+CB 2−AB 22CA ⋅CB
=(
3)2+62−(
3m )2
2× 3×6
，
设AC 的中点为E ，连接DE ，
如图所示，由DA =DC ，则DE ⊥AC ，在Rt △CED 中，cosC =CE CD = 3(1+m)
12
，所以
3(1+m)12
=( 3)2+62−(
3m )2
2× 3×6，
解得m =3或m =−4(舍去)，所以cosC =
3
3
．
16.解：(1)证明：∵平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ，平面AA 1D 1D ∩平面ABCD =AD ，
DD 1⊥AD ，DD 1⊂平面AA 1D 1D ，∴DD 1⊥平面ABCD ，
则以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz ，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1,0)，
∴DA 1=(1,0,1),DE =(1,1,0)，
设平面A 1DE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则{
n 1⋅DA 1=x 1+z 1=0
n 1⋅−DE =x 1+y 1=0，令x 1=1，解得y 1=−1，z 1=−1，
∴n1=(1,−1,−1)，
又BD1=(−1,−2,1)，
∴BD1⋅n1=0，即BD1⊥n1，
又BD1⊂平面A1DE，
∴BD1//平面A1DE．
(2)假设在线段AB上存在点M，使二面角D1−MC−D的大小为π
4
，设M(1,y0,0)(0≤y0≤2)，
则MC=(−1,2−y0,0),D1C=(0,2,−1)，
设平面D1MC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
则{n2⊥MC
n2⊥D1C，即{n2⋅MC=−x2+y2(2−y0)=0 n2⋅D1C=2y2−z2=0，
令y2=1，解得x2=2−y0，z2=2，
∴n2=(2−y0,1,2)，
又平面MCD的一个法向量为D1D=(0,0,−1)，
∴cosπ
4=|cos<n2⋅D1D>|=|n2D D|=2
(2−y0)2+12+22
=2
2
，
即y20−4y0+1=0，
解得y0=2−3或y0=2+3(舍去)，
此时AM=2−3，
∴在线段AB上存在点M，使二面角D1−MC−D的平面角的大小为π
4
，此时AM=2−3．
17.解：(1)f′(x)=(x−1)e x
x2−a(−1+1
x
)
=(x−1)e x+ax(x−1)
x2=(x−1)
(e x
x
+a)
x
，
因为f(x)在(1,+∞)不是单调函数，所以f′(x)在(1,+∞)有变号零点．
因为x−1
x >0恒成立，令g(x)=e x
x
+a，则g(x)在(1,+∞)有变号零点．
因为g′(x)=(x−1)e x
x2
>0，所以g(x)在(1,+∞)单调递增，因为g(1)=e+a，当x→+∞时，g(x)→+∞，
只需e+a<0，即a<−e，
所以实数a的取值范围是(−∞,−e)．
(2)令φ(x)=1−x+ln x(x>1)，
因为φ′(x)=1
x
−1<0在(1,+∞)恒成立，所以φ(x)在(1,+∞)单调递减，
所以φ(x)<φ(1)=0．
所以f(x)≥0⇔a≥e x
x−x2+x ln x
．
令m(x)=e x
x−x2+x ln x
，
则m′(x)=
e x
(x−x2+x ln x)2
(x−x2+x ln x−1+2x−ln x−1)
=e x
(x−x2+x ln x)2
(x−1)(ln x−x+2)，
令ℎ(x)=ln x−x+2，则ℎ′(x)=1
x
−1<0在(1,+∞)恒成立，
所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递减．
因为ℎ(1)=1>0，ℎ(4)=ln4−2<0，
所以ℎ(x)有唯一零点x0，且x0∈(1,4)，ln x0=x0−2⇔x0e2=e x0．当x∈(1,x0)时，ℎ(x)>0，即m′(x)>0，
所以m(x)在(1,x0)单调递增;
当x∈(x0,+∞)时，ℎ(x)<0，即m′(x)<0，
所以m(x)在(x0,+∞)单调递减．
所以m(x)max=m(x0)=
e x0
x0−x20+x0ln x0
=x0e2
x0−x20+x0(x0−2)
=−e2≈−7.39，
所以实数a的最小整数值为−7．
18.解：(1)当a=2时，f(x)=x|x−2|+2={x2−2x+2,x≥2
−x2+2x+2,x<2, x≥2时，f(x)单调递增，
x<2时，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1)和(2,+∞)，
(2)∃x1,x2∈[0,2]，使|f(x1)−f(x2)|>2，
所以|f(x1)−f(x2)|max>2，
即f(x)max−f(x)min>2，
①当a≥2时，f(x)=−x2+ax+2，对称轴x=a
，
2
≤2即2≤a≤4时，f(x)max=f(a2)=a24+2，(ⅰ)当1≤a
2
f(x)min=f(0)=2，
所以f(a2)−f(0)=a24>2，
所以a>22或a<−22，
因为2≤a≤4，所以22<a≤4，
>2即a>4时，f(x)max=f(2)=2a−2，
(ⅱ)当a
2
f(x)min=f(0)=2，
所以f(2)−f(0)=2a−4>2，
a>3，
因为a>4，所以a>4，，
<0，
②当a≤0时，f(x)=x2−ax+2，对称轴x=a
2
所以f(x)max=f(2)=6−2a，
f(x)min=f(0)=2，
所以f(2)−f(0)=4−2a>2，
a<1，
所以a≤0，
③当0<a<2时，f(x)={−x2+ax+2,0<x<a
x2−ax+2, a<x<2,
因为f(x)min=f(0)=f(2)=2，
因为f(a22)−f(0)=a24<1，
所以f(a2)不可能是函数的最大值，
所以f(x)max=f(2)=6−2a，
所以f(2)−f(0)=4−2a>2，
所以0<a<1，
综上所述：a的取值范围是(−∞,1)∪(22,+∞)．
19.解：(1)设a1，a2，a3成公差为r的等差数列，显然r>0，则由a1+a2+a3=0得3a1+3r=0，
所以−a 1=r >0，所以a 1<0，
所以a 2=a 1+r =0，a 3=a 1+2r =−a 1>0，由|a 1|+|a 2|+|a 3|=1得−2a 1=1，解得a 1=−1
2，所以数列−1
2,0,1
2为所求3阶“归化”数列．(2)设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 11的公差为d ，因为a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 11=0，所以11a 1+
11×10d
2
=0，所以a 1+5d =0，即a 6=0．
当d =0时，此时|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a n |=0(n ≥3,n ∈N ∗)，与归化数列的条件|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a n |=1(n ≥3,n ∈N ∗)相矛盾．当d >0时，由a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 5=−1
2,a 6=0，故5a 1+5×42d =−1
2，又a 1+5d =0，联立解得d =130,a 1=−1
6，
所以a n =−16+n−130=n−6
30(n ∈N +,n ≤11)．
当d <0时，由a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 5=12，a 6=0，同理解得d =−130,a 1=1
6，所以a n =16−n−130=−n−6
30(n ∈N +,n ≤11)．综上，当d >0时，a n =n−6
30(n ∈N +,n ≤11)；当d <0时，a n =−n−6
30(n ∈N +,n ≤11)．
(3)由已知可得：必有a i >0，也必有a j <0(i,j ∈{1,2,3,⋯,n}，i ≠j)，
设a i 1，a i 2，⋯，a i p 为a i 中所有大于0的数，a j 1，a j 2，⋯，a j m 为a j 中所有小于0的数，由已知得X =a i 1+a i 2+⋯+a i p =12，Y =a j 1+a j 2+⋯+a j m =−1
2
所以a 1+12a 2+⋯+1
n a n =∑p
k =1
a i k i k
+∑m k =1
a j k j k
≤∑p k =1a i k +1n ∑m
k =1a j k =12−1
2n ．。