高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量的数乘运算》提升训练

《向量的数乘运算》提升训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分选错得0分部分选对得2分）
1.已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m ，使AB AC mAM +=，则m 的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
2.在ABC 中，点D 在边CB 的延长线上，且4(,)CD BD r AB sAC r s ==+∈R ，则r s -等于（ ）
A.0
B.
45
C.83
D.3
3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若,AC a BD b ==，则AF 等于（ ）
A.1142
a b + B.2133
a b + C.1124
a b + D.1233
a b + 4.如图，AB 是O 的直径，C ，D 是半圆弧AB 上的三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（ ）
A.12
a b -
B.12
a b - C.12
a b + D.12
a b + 5.已知O 是ABC 所在平面内一点，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边的长，若aOA bOB cOC ++=0，则点O 是ABC 的（ ）
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
6.（多选）已知ABC 的三个顶点A B C ，，及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=，则下列说法错误的是（ ）
A.点P 在ABC 内部
B.点P 在ABC 外部
C.点P 在AB 边上或其延长线上
D.点P 为线段AC 的三等分点
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.在ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），若(1)AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是__________.
8.O 是平面上一定点，ABC 中，AB AC =，一动点P 满足：()(0)OP OA AB AC λλ=++>，则直线AP 通过△ABC 的__________.（填序号）
①外心；②内心；③重心；④垂心.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.（1）化简：①1[2(24)4(52)]4
a b a b +--； ②设向量32,2a i j b i j =+=-，求12(2)33a b a b b a ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. （2）已知向量a ，b ，且523x y a x y b +=-=，
，求x ，y.
10.如图，在ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于
点M、N，M、N均不与点A重合，若,(,)
AM xAB AN yAC x y
==∈R，试问：11
x y
+是不是定值？
请证明你的结论.
参考答案
1. 答案：B
解析：0MA MB MC ++=，
∴点M 是ABC 的重心，
3,3AB AC AM m ∴+=∴=，故选B.
2.
答案：C
解析：4CD CB BD BD =+=,
44443,()3333
CB BD CD CB AB AC AB AC ∴=∴==-=-, 448,,333
r s r s ∴==-∴-=,故选C. 3.
答案：B
解析：如图所示， E 是OD 的中点，
1144
OE BD b ∴==.
又~,3AE BE ABE FDE FE DE
∴
==， 33,4
AE EF AE AF ∴=∴=. 在AOE 中，1124
AE AO OE a b =+=+， 421333AF AE a b ∴==+，故选B. 4.
答案：D
解析：连接CD ，OD ，如图所示.
点C ，D 是半圆弧AB 上的三等分点，
;30AC CD CAD DAO ︒∴=∠=∠=.
,30OA OD ADO DAO ︒=∴∠=∠=,
30,//CAD ADO AC DO ︒∴∠=∠=∴.
由AC CD =，得30CDA CAD ∠=∠=︒，
,//CDA DAO CD AO ∴∠=∠∴,
∴四边形ACDO 为平行四边形，
1122
AD AO AC AB AC a b ∴=+=+=+. 5. 答案：A
解析：,OB OA AB OC OA AC =+=+, ()()( c) aOA b OA AB c OA AC a b OA bAB cAC ∴++++=++++=0,
||bc AB AC AO a b c AC AB ⎛⎫∴=+ ⎪++⎝⎭
∣∣. ||AB AB 和||
AC AC 分别表示AB 和 AC 方向上的单位向量，∴可设||||AB AC AP AB AC =+,则AP 平分BAC ∠，,AO AP 共线，AO ∴平分BAC ∠.同理可证BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠. 综上可知，点O 是ABC 的内心.
6.
答案：ABC
解析：由题意得，,2,PA PB PC AB PB PA PC PA ++==-∴=-∴点P 在AC 边上，且为线段AC 的
三等分点，故D 选项正确，A 、B 、C 选项说法错误.
7. 答案：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
解析：由(1)AO xAB x AC =+-，得()AO AC x AB AC -=-，即CO xCB =，显然0x <，且||1||3
||CO x CB =
<，所以103x -<<. 8. 答案：①②③④
解析：设BC 的中点为D ，则AD 为ABC 的边BC 上的中线，2AB AC AD ∴+=，由题意有()2OP OA AB AC AD λλ-=+=，即2(0),,,AP AD A P D λλ=>∴三点共线，∴直线AP 一定过ABC 的重心，结合AB AC =可得，直线AP 通过ABC 的外心、内心、重心和垂心. 9.
答案：见解析
解析：（1）①111[2(24)4(52)](48208)(1616)444
a b a b a b a b a b +--=+-+=-+=44a b -+. ②原式12233a b a b b a =--++- 12111233a b ⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5555(32)(2)3333
a b i j i j =-+=-++- 101055553333i j i j ⎛⎫⎛⎫=-++--=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. （2）将3x y b -=两边同乘2得622x y b -=.与52x y a +=相加得112x a b =+，即121111x a b =+, 由3x y b -=，得12353311
111111y x b a b b a b ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭. 10.
答案：见解析
解析：11x y
+为定值4. 证明：设,AB a AC b ==，则,(,)AM xa AN yb x y ==∈R ，
111()()244
AG AD AB AC a b ==+=+， 所以111(),444
MG AG AM a b xa x a b MN AN AM yb xa ⎛⎫=-=+-=-+=-=- ⎪⎝⎭. 因为MG 与MN 共线，所以存在实数λ，使MG MN λ=, 所以1
1
()44x a b xa yb xa yb λλλ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭.
又因为a 与b 不共线，所以1
,
4
1,
4x x y λλ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去λ，得1
1
4x y +=，为定值.。