突泉县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

突泉县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知点F 1，F 2
为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P
使得
，
则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．（0
，） B ．（0
，] C
．（
，] D ．
[，1）
2． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A ．4 B ．2 C
． D ．
2 3． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3
）的递减区间为（
，
），则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
4． 在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
5． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A
． B ．1 C
． D
．
6． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟
7． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0； ②f （0）f （1）＜0；
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
③f （0）f （3）＞0； ④f （0）f （3）＜0．
其中正确结论的序号是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8． 与圆C 1：x 2
+y 2
﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2
+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9． 有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①② B ．①③
C ．②③
D ．③④
10．从单词“equation ”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有
（ ） A ．120个
B ．480个
C ．720个
D ．840个
11．有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，10，25 B ．20，15，15 C ．10，10，30 D ．10，20，20
12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣
C ．
D ．2
二、填空题
13．已知平面向量a ，b 的夹角为
3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a 与c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
14．（﹣
）5
的展开式的常数项为 （用数字作答）．
15．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
16．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．
17．不等式的解为 ．
18．若函数y=f （x ）的定义域是[，2]，则函数y=f （log 2x ）的定义域为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．
（1）求证：AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2；
（2）若A ＝120°，AD ＝192，sin B sin C ＝3
5，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法 知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1 掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的 分数差至少是4的概率.
21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且
csinA=acosC ．
（I ）求C 的值； （Ⅱ）若c=2a ，b=2，求△ABC 的面积．
22．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
24．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
突泉县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），
即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
2．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．
4． 【答案】B 【解析】
，所以，故选B
答案：B
5． 【答案】D
【解析】解：∵Rt △O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴
直角三角形的直角边长是，
∴
直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×
2
=2
故选D ．
6． 【答案】D
【解析】集合A 表示报考“北约”联盟的学生，集合B 表示报考“华约”联盟的学生， 集合C 表示报考“京派”联盟的学生，集合D 表示报考“卓越”联盟的学生，
由题意得U A B B C
D C D B
=∅
⎧⎪⊆⎪⎨=∅⎪⎪=⎩ð，∴U A D B C D B ⊆⎧⎪=⎨⎪=⎩ð，
选项A ．B D =∅，正确； 选项B ．B C =，正确；
选项C ．A D ⊆，正确．
7． 【答案】C
【解析】解：求导函数可得f ′（x ）=3x 2
﹣12x+9=3（x ﹣1）（x ﹣3）， ∵a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0． ∴a ＜1＜b ＜3＜c ，
设f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣c ）=x 3﹣（a+b+c ）x 2
+（ab+ac+bc ）x ﹣abc ， ∵f （x ）=x 3﹣6x 2
+9x ﹣abc ，
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9， ∴b+c=6﹣a ， ∴bc=9﹣a （6﹣a ）＜
，
∴a 2
﹣4a ＜0，
∴0＜a ＜4，
∴0＜a ＜1＜b ＜3＜c ，
A D B=C
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
9．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，
再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，
故选B．
11．【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×=20，600×=15，600×=15，
故选B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；
第二次运行S==﹣，i=3；
第三次运行S==，i=4；
第四次运行S==2，i=5；
第五次运行S==﹣3，i=6，
…S的值是成周期变化的，且周期为4，
当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，
∴输出S=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．二、填空题
π，18+
13．【答案】
6
【解析】
14．【答案】 ﹣10
【解析】解：由于（
﹣
）5
展开式的通项公式为T
r+1=
•（﹣1）r •
，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10， 故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
16．【答案】 27
【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32
=18种，
若A 方格填2，则排法有1×32
=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
17．【答案】 {x|x ＞1或x ＜0} ．
【解析】解：
即
即x （x ﹣1）＞0 解得x ＞1或x ＜0
故答案为{x|x ＞1或x ＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
18．【答案】 [，4] ．
【解析】解：由题意知≤log
2x ≤2，即log 2≤log 2x ≤log 24，
∴
≤x ≤4．
故答案为：[
，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是[，2]，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝a
2
.
法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2
＝AD 2
＋a 2
4
－2AD ·
a
2
cos ∠ADB ，① b 2＝AD 2
＋a 24－2AD ·a 2
·cos ∠ADC ，②
①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2
＋a 22
，
即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2
＋a 24－2c ·a 2
cos B
＝c 2＋a
24－ac ·a 2＋c 2－b 22ac
＝2b 2＋2c 2－a 2
4，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
（2）∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝3
5，
由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋bc ，① 2b 2＋2c 2－a 2＝19，② b c ＝3
5
，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝153
4.
即△ABC 的面积为15
4 3.
20．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242
=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1. 【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751
=++++=）
（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙x 524])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
∵85
24
<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 21．【答案】
【解析】解：（I ）∵a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且csinA=acosC ，
∴sinCsinA=sinAcosC ，∴sinCsinA ﹣sinAcosC=0，
∴
sinC=cosC ，∴tanC=
=，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a ，b=2
，C=
，
∴由余弦定理可得c 2=a 2+b 2
﹣2abcosC ，
∴4a 2
=a 2
+12﹣4
a •，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC 的面积S=absinC==
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =
时，7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2
(1)t +121211()416
y y t y y -++＝
222
222
11212217
(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB 中点Q ，连接MQ 、NQ ， 因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，
所以QN ∥BC ∥MD ，且QN=MD ，于是DN ∥MQ ．
⇒DN ∥平面PMB ．
（2）
⇒PD ⊥MB
又因为底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以MB ⊥AD ． 又AD ∩PD=D ，
所以MB ⊥平面PAD.
⇒平面PMB ⊥平面PAD ．
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离．
过点D 作DH ⊥PM 于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以DH ⊥平面PMB ．
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
．
∴点A 到平面PMB 的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．
24．【答案】
【解析】解：若p 为真，则△=4﹣4m ＜0，即m ＞1 …
若q为真，则，即m≤﹣2 …
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假
若p真q假，则，解得：m＞1 …
若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …
综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …。