通用版专卷(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线(含解析)理

专题09 圆锥曲线
一．基础题组
1. 【2012全国，理3】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )
A ．
2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．22
1124
x y += 【答案】 C
2. 【2006全国2，理5】已知△ABC 的顶点B , C 在椭圆3
2x +y 2
=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是（ ）
A.23
B.6
C.43
D.12
【答案】:C
3. 已知双曲线1
2222=-b y a x 的一条渐近线方程为y =3
4
x ,则双曲线的离心率为（
A.
3
5
B.
3
4 C.
4
5 D.
2
3
【答案】:A
【解析】:12222=-b y a x 的渐近线方程为a x ±b
y
=0.
∴y =±
a
b x .
由y =
34x ,可知a b =3
4
, 设a =3x ,b =4x ,
则c =5x ,∴E =
3
5
.∴选A. 4. 【2005全国2，理6】已知双曲线22
163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到
直线2F M 的距离为（ ）
(C)
65
(D)
56
【答案】C
5. 【2011新课标，理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心
率为
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________． 【答案】
22
1168
x y += 【解析】
6. 【2005全国2，理21】(本小题满分14分)
P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2
2
12
y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．
(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k
，同上可推得2
2
1(1))||12()k MN k
+-=+-
故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k
++
++===++++ 令u =2
21k k +得4(2)1
2(1)5252u S u u +==-++ ∵u =22
1
k k +
≥2 当k =±1时u =2，S=
16
9
且S 是以u 为自变量的增函数
∴
16
29
S ≤<
所以,四边形PMQN 的面积S=)1(,1,1)1()1(2)1(42122
222
2>=+-++++=⋅t t k k k k PQ MN 令 则S=2
2`22)
12()
2(4,124-+-=-+t t t t s t t t 显然当t ∈(1,2)时函数ss 递减，当t 2∈+∞（，）
时函数s 递增 所以当t=2时（即k=1±时）最小的面积为s=9
16
12222422=-+⨯⨯
而最大面积为21
24lim lim 22
=-+=+∞→+∞→t t t s t t ，（注：此时MN 在y 轴上，PQ 在x 轴上）
二．能力题组
1. 【2014新课标，理10】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）
C. 63
32 D.
9
4
【答案】D
2. 【2012全国，理8】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A．1
4
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
5
【答案】C
【解析】
3. 【2011新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A．B C． 2 D． 3
【答案】B
【解析】
4. 【2005全国3，理9】已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）
A ．
4
3
B ．
5
3
C D
【答案】C
5. 【2010全国2，理15】已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)l 相
交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________. [答案]：2
6. 【2014全国2，理20】
设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b
.
112()22c x c y --=⎧⎨
-=⎩，即11
321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程得2229114c a b +=，将24b a =
及c =代入
2
229114c a b +=得：229(4)1
144a a a a
-+=，解得7a =，b = 7. 【2013课标全国Ⅱ，理20】(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞b
＞0)右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12
. (1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
因此|AB |. 由题意可设直线CD 的方程为
y ＝3x n n ⎛+-
<< ⎝，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
由22,16
3y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.
于是x 3,4
.
因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |
43|x x -=
由已知，四边形ACBD
的面积1||||2S CD AB =
⋅=. 当n ＝0时，S
. 所以四边形ACBD
面积的最大值为
3
. 8. 【2011新课标，理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足
MB ∥OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值
所以2
014
122x d +==≥，
当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
9. 【2010全国2，理21】已知斜率为1的直线l与双曲线C：
2
2
x
a
－
2
2
y
b
＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，
且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明过A、B、D三点的圆与x轴相切．
故不妨设x1≤－a，x2≥a.
|BF|a－2x1，
|FD|2x2－a.
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2
＝5a 2
＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17， 故5a 2
＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－
9
5
(舍去)．
故|BD |x 1－x 2|＝6.
连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切． 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
10. 【2005全国3，理21】（本小题满分14分）
设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2
2x y =上，l 是AB 的垂直平分线.
（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.
.16
1
21,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=
由.32
9
321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得
即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,32
9）.
三．拔高题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，理11】设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．
A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2
＝2x 或y 2＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x 【答案】：C
2. 【2013课标全国Ⅱ，理12】已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．
A ．(0,1)
B ．112⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．113⎛⎤- ⎥ ⎝
⎦ D ．11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 【答案】：B 【解析】：
3. 【2010全国2，理12】已知椭圆C ：22x a
＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，过右焦点F 且斜率为k (k
＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF ＝3FB ，则k 等于( )
A ．1 B. ．2 【答案】：B
【解析】如图，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，过B 作BM ⊥AA 1于M .
4. 【2005全国3，理10】设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率（）
A B C．2D1
【答案】D
【解析】
22
22
1
x y
a b
+=，
2
(,0)
F c，则垂线x c
=，
22
22
1
c y
a b
+=，∴
2224
222
222
(1)()
c a c b
y b b
a a a
-
=-==，
∴
2
||
b
y
a
=，
2
2
b
PF
a
=，
12
2
F F c
=，所以
2
2
b
c
a
=，即a²-c²=2ac，即c²+2ac-a²=0，
∴c a =
=-±
，∴1c a =-±0<e<1
，所以1c
e a
==-+.
5. 【2012全国，理21】已知抛物线C ：y ＝(x ＋1)2
与圆M ：(x －1)2
＋(y －12
)2＝r 2
(r ＞0)有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l . (1)求r ；
(2)设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离．
2
=
， 化简得t 2
(t 2
－4t －6)＝0，
解得t 0＝0
，12t =
22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2
)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①
y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③
②－③得12
22
t t x +=
=.
将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．
所以D 到l 的距离
5
d =
=
. 6. 【2006全国2，理21】已知抛物线x 2
=4y 的焦点为F ,A ,B 是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).
过A ,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M . (1)证明FM ·AB 为定值;
(2)设△ABM 的面积为S ,写出S =f (λ)的表达式,并求S 的最小值.
所以·=(
2
2
1x x +,-2)·(x 2-x 1,y 2-y 1)
=21(x 22-x 12)-2(41x 22-4
1x 12
)=0. 所以FM ·AB 为定值,其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中,FM ⊥AB ,
因而S =
2
1
|AB ||FM |. |FM |=()2
2212)2(
-++x x =4214141212221+++x x x x =()442
121+-⨯++y y
=21
++
λ
λ=λ
λ1
+
.
因为|AF |,|BF |分别等于A ,B 到抛物线准线y =-1的距离, 所以|AB |=|AF |+|BF |=y 1+y 2+2=λ+
λ1
+2=(λ
λ1+)2. 于是S =
21|AB ||FM |=21
(λλ1+)3, 由λ
λ1
+
≥2,知S ≥4,且当λ=1时,S 取得最小值4.
7. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）
A ．2 C 【答案】D
8. 【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）
已知椭圆2
2
2
:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线
段AB 的中点为M ．
(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，44+
2(3)
23(9)
mk k k -⨯
+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为
44+OAPB 为平行四边形．
【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．。