相互独立事件与独立重复试验

解析 (1)三人都击中目标就是事件 ABC 发生，根据相互独立 事件概率乘法公式，得
P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C) ＝12×13×14＝214.
(2)目标被击中的事件可表示为 A∪B∪C 发生，即击中目标表 示事件 A、B、C 中至少一个发生，直接来算太复杂，于是从另一 个反面来思考，目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即 三人都未击中目标，由于三人射击的结果相互独立，则－A ，－B ，－C 也相互独立，根据公式可得
点评 要明确相互独立事件：(1)对两个事件而言的，(2)其中一 个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
变式迁移 2 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件． (1)运动员甲射击 1 次，“射中 9 环”与“射中 8 环”； (2)甲、乙两运动员各射击 1 次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”； (3)甲、乙两运动员各射击 1 次，“甲 、乙都射中目标”与“甲、 乙都没射中目标”； (4)甲、乙两运动员各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲 射中目标，但乙没有射中目标”．
D.34
答案 A 解析 由题意知 P(B)＝36＝12，P(AB)＝26＝13，故在出现的点数 不超过 3 的条件下，出现的点数是奇数的概率为 P(A|B)＝PPABB＝23.
变式迁移 1
抛掷一枚骰子，观察出现的点数， A＝ {出现的点数是奇数 }＝
{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过 3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不
(1)AB 表示事件 A 与事件 B 的积，即事件 A 与 B 同时发生这一 事件．
(2)条件概率在有的《数理统计》中一般定义如下：如果 A、B 是随机试验的两个事件，且 P(A)＞0，则称事件 A 发生的条件下事 件 B 的概率为事件 A 发生条件下事件 B 发生的条件概率，记为
P(B|A)，而公式 P(B|A)＝PPAAB则为计算条件概率的公式，它可用 频率稳定值来给以解释：设进行 n 次试验，事件 A 发生 na 次，事 件 AB 发生 nab 次，显然，在事件 A 发生的条件下，事件 B 也发生 nab 次，事件 A 发生的条件下，事件 B 发生频率 nab/na 称为事件 B 的条件频率，可改写为nnaab＝nnab/nna.考虑到大量重复试验时，条件频 率 nab/na 的稳定值为条件概率 P(B|A)；又事件 AB 的频率 nab/n、事
(4)乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求 P(AB)时， 必须知道 P(A|B)或 P(B|A)；反之，要求 P(A|B)时，必须知道积事件 AB 的概率 P(AB)，在解决实际问题时，不要把求 P(AB)的问题误认 为是求 P(A|B)的问题．
2．相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的 概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． (2)相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(AB)＝P(A)·P(B)． 如果事件 A1，A2，…，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发 生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝ P(A1)·P(A2)·… ·P(An)． (3)关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两个事件的关系； 第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
④独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实
际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地
看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．
⑤独立重复试验事件 A 恰有 k 次发生的概率 一般地，事件 A 在 n 次试验中发生 k 次，共有 Ckn种情形，由试 验的独立性知 A 在 k 次试验中发生，而在其余 n－k 次试验中不发 生的概率都是 pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试 验中事件 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．在 运用该公式时要弄清公式中的 n、p、k 的意义.
典例对对碰
题型一 条件概率求法
例 1 一个盒子中有 6 只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次， 每次取一只，第一次取后不放回．求若已知第一只是好的，第二只
也是好的概率．
解析 设 Ai＝{第 i 只是好的}(i＝1,2)．由题意知要求出 P(A2|A1)．
因为
P(A1)＝
160＝Байду номын сангаас
3 5
，
P(A1A2)
P(－A －B －C )＝P(－A )·P(－B )·P(－C ) ＝[1－ P(A)][1－ P(B)]·[1－ P(C)]
＝(1－12)(1－13)(1－14)＝14. 因此，目标被击中的概率是
P(A∪B∪C)＝1－P(－A －B －C )＝1－14＝34. 点评 第(2)小题的解法是常用的逆向思考方法，采用这种方法 有时可使问题的解答变得简便.
超过 3，则出现的点数是奇数的概率为( )
A.23
B.13
1
3
C.2 D.4
答案 A 解析 由题意知 P(B)＝36＝12，P(AB)＝26＝13，故在出现的点数不 超过 3 的条件下，出现的点数是奇数的概率为 P(A|B)＝PPABB＝23.
题型二 相互独立事件的判断
例 2 判断下列事件是否为相互独立事件 (1)甲组有 3 名男生、2 名女生，乙组有 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名 男生”与“从乙组中选出 1 名女生”． (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”．
题型三 相互独立事件同时发生的概率
例 3 甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命 中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，计算：
(1)三人都击中目标的概率； (2)目标被击中的概率． 分析 记甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中 目标为事件 C，由于甲、乙或丙是否击中，对另外两人击中的概率 是没有影响的，因此事件 A，B，C 是相互独立的．
变式迁移 3
如图，用 A，B，C 三类不同的元件连结在两个系统 N1、N2 中．当 元件 A、B、C 都正常工作时，系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工 作且元件 B、C 中有一个正常工作时，系统 N2 正常工作．已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2 正常工作的概率 P1、P2.
(5)事件 A 与 B 的积记作 AB，AB 表示这样一个事件，即 A 与 B 同时发生．
当 A 和 B 是相互独立事件时，事件 AB 满足乘法公式 P(AB)＝ P(A)·P(B)，还要弄清－A －B ， AB 的区别：－A －B 表示事件－A 与－B 同
时发生，因此它们的对立事件 A 与 B 同时不发生，也等价于 A 与 B 至少有一个发生的对立事件，即 A∪B ，因此有－A －B ≠ AB ，但－A
解析 (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从 乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相 互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若 这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍 是白球”的概率为47.若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率 为58.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所 以二者不是相互独立事件．
解析 按互斥事件和相互独立事件定义去分析． (1)甲射击 1 次，“射中 9 环”与“射中 8 环”两个事件不可能 同时发生，二者是互斥事件． (2)甲、乙各射击 1 次，“甲射中 10 环”发生与否，对“乙射中 9 环”的概率没有影响，二者是相互独立事件． (3)甲、乙各射击 1 次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没 有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件． (4)甲、乙各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目 标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件， 也不可能是相互独立事件.
－B ＝ A∪B .
(6)由于当事件 A 与 B 相互独立时，P(AB)＝P(A)P(B)，因此式 子 1－P(A)·P(B)表示相互独立事件 A，B 中至少有一个不发生的概 率，它在概率的计算中常要用到．
对于 n 个随机事件 A1，A2，…，An，有 P(A1∪A2∪…∪An)＝1 －P(－A 1－A 2…－A n)．
考点串串讲
1．条件概率 对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示． 我们把由事件 A 与 B 同时发生所构成的事件 A 与 B 交(或积)， 记作 D＝A∩B(或 D＝AB)．
一般地，我们有条件概率公式 P(B|A)＝PPAAB，P(A)＞0. 一般地，设 A、B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝PPAAB 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，一般把 P(B|A) 读作 A 发生的条件下 B 的概率．条件概率具有概率的性质，任何事 件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0≤P(B|A)≤1. 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
件 A 的频率 na/n 的稳定值各为 P(AB)、P(B)，于是有 P(B|A)＝PPAAB.
(3)条件概率公式揭示了条件概率 P(A|B)与事件概率 P(A)、P(AB) 三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是
已知 P(B)和 P(AB)时去求出 P(A|B)；另一种情况是已知 P(B)和 P(A|B) 时去求出 P(AB)．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式 改写为如下的乘法公式：若 P(A)＞0，有 P(AB)＝P(A)P(B|A)．
＝
160××59＝
1 3
，
所
以
P(A2|A1)＝
PPAA1A12＝59.
变式迁移 1
抛掷一枚骰子，观察出现的点数， A＝ {出现的点数是奇数 }＝
{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过 3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不
超过 3，则出现的点数是奇数的概率为( )
A.23
B.13
C.12
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件 的发生的概率没有影响”来确定的．
(4)关于相互独立事件应注意以下两点： ①相互独立事件的性质：若事件 A 与事件 B 独立，A 的对立事 件为－A ，B 的对立事件为－B ，则 A 与－B ，－A 与 B、－A 与－B 也都是相 互独立的． ②两个事件独立与互斥的区别． 相互独立事件与互斥事件的区别是：前者是指两个试验中，两 个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P(AB)＝P(A)·P(B)．后者 是指同一次试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)，且满足 P(A)＋P(－A )＝P(A∪－A )＝1.
这个公式叫做概率的和与积的互补公式．
3．独立重复试验 在相同的条件下重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立， 那么一般就称它们为 n 次独立重复试验． 一般地，在相同的条件下重复做 n 次试验称为 n 次独立重复试 验． 注意 ①在上述定义中“在相同的条件下”等价于各次试验 的结果不会受其他试验的影响，也就是各次试验相互独立，因而对 于 n 次独立重复试验的结果 A1， A2，…， An 有 P(A1A2…An)＝ P(A1)P(A2)…P(An)． ②独立重复试验必须满足两个特征： (ⅰ)每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变； (ⅱ)各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立． ③独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发 生，成功与失败等．