排队论及其应用Lecture6一般到达或服务模型84-PPT课件

|AT () D ( T ) | 1 n n

D ( TA ) ( TX ) ( 0 ) X ( T )
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客户离开后瞬间状态概率
Dn (T ) n lim T D(T )
D ( T ) AT () D ( T ) AT () n n n n D ( T ) A ( T ) X ( 0 ) X ( T )
排队论及其应用
Lecture 6 一般到达或服务模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田 野
1
M/G/1排队模型

考Байду номын сангаас一个排队系统




用t1,t2,t3,…表示客户1，2，3，...完成服务（离开 系统）的时刻，X(ti)表示在ti时系统内的客户数量 （即客户离开排队系统后瞬间系统内客户的数 量）。可以用嵌入马尔科夫链模型描述这个排队 系统，用Xi表示X(ti)。
上式只和i与j有关，说明{Xi}具有Markov性质 对Xn=0，类似可以证明
4
M/G/1稳态解

M/G/1系统的演化方程 1 (Xn 0) 其中 U(Xn) X X U ( X ) A n 1 n n
0 (Xn 0)
( D ) [ X ] E [ X ] L 令E ，即客户离开后瞬间系统 n 1 n 内平均客户数量（括号中D表示客户离开， Departure）。上式两边取期望，有
证明πn=pn

πn：一个客户离开后瞬间系统中有n个客户的概率 pn：任意时刻系统中有n个客户的概率 证明：

考虑在一段时间T内系统的演变。令An(T)表示时间T内系统 发生nn+1状态迁移的次数，Dn(T)表示时间T内发生 nn-1状态迁移的次数。两种迁移的次数之差最多为1。 令A(T)和D(T)分别表示时间T内的所有到达和离开事件的个 数，X(T)为T时刻系统内客户个数
j 1
当i=0，求出π1； 当i=1，求出π2； 当i=2，求出π3； …
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例子：机器-修理工


某工厂有很多机器，它们出现故障的过程可以 用一个泊松过程来描述，到达速率每小时平均 5台。工厂有一个修理工负责修复机器。机器 只可能发生两种故障，修理工排除第一种故障 需要9分钟，排除第二种故障需12分钟。2/3的 故障属于第一种，剩下的属于第二种。 问：任意时间多于三台机器不能工作的概率
0 0



5

X X U ( X ) A 两边平方 n 1 n n
2 2 2 2 X X U ( X ) A 2 X U ( X ) 2 A U ( X ) 2 A X n 1 n n n n n n
再取期望，得
2 2 0 E [ U ( X ) ] E [ A ] 2 E [( X U X ) ] 2 E [ A U ( X ) ] 2 E [] A X n n n n n
2 S
这个公式被称为Pollaczek-Khintchine等式（PK等式， 波拉切克-辛钦等式）



由Little’s Law： 平均逗留时间： W L 平均排队时间： W W1 q 平均排队客户数： L W
q q
F. Pollaczek：法国数学家 A. Y. Khinchin：苏联数学家（现代概率理论奠基人之 一）
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M/G/1排队模型 服务时间是一个两点分布： Pr[S=9]=2/3，Pr[S=12]=1/3，其余为0
1 2 1 9 12 10 分 钟 , 3 3 2 1 2 2 S (9 10) + (12 10) 2 = 2, 3 3 2 2 s2 L 2.96 2(1 )
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现在求解E[A2] 2 2 2 E [ AV ] a r [ AE ] A ] V a r [ A ] [
2 2 V a rA [] S
V a r [ A ] E V a r [ A |] S V a r E [ A |] S
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n

(z )

根据Π(z)和K(z)的关系 ( 1 ) ( 1 z ) Kz ()
Kz ( ) z
由K(z)计算Π(z)，再由Π(z)获得{πn}
P r { 多 于 3 台 机 器 故 障 } 1 0 1 2 3


具体计算过程略 迄今为止我们使用一个假设：任意时间系统中 有i个客户的概率=客户离开后瞬间系统中有i个 客户的概率,即pn=πn 下面我们证明这一点 18
客户到达的泊松过程独立于排队系统中的客 户人数，因此最后一个等号成立

0 |z 1 1 / 1
综上，

( 1 ) ( 1 z ) Kz () (z ) Kz ( ) z
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获得Π(z)，即可获得{πn}；或者从稳态方程递 归获得 i 1
k k ,( i 0 , 1 , 2 , . . . ) i 0 i j i j1
i 0
i 1

K (1) ki 1
i 0

K(1 ) iki
i0



jkij1两边分别乘以zi，再把等式相 对 i 0ki j 1 加，得到
(z)
0( 1z)K (z)
K (z)z
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由于Π(1)=1，且K(1)=1，K’(1)=λ/μ
W
L

30分 钟
2 2 2 L S L 8 .6 2 5 W 5 1 .7 5 分 钟 2 ( 1 )
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客户离开时的稳态系统状态


我们考察一个稳态M/G/1排队系统中，当一个 客户离开后的瞬间，系统中存在n个客户的概 率。用{πn}表示这个概率序列。 P r { 当 前 客 户 离 开 后 瞬 间 系 统 中 有 j 个 客 户 | i j 定义 p

2 ( X ) U ( X ) ,X U ( X ) X 由于 U ，可得 n n n n n
2 0EU [ (X )] EA [ ]2 EX [ n]2 EA [ U (X 2 EA [ X n n)] n] (D ) EA [ 2]2 L 2 EA [ U (X 2 EA [ X n)] n] (D ) (D ) EA [ 2]2 L 2 2 2 L 2 2 2 EA [ ] (D ) L 2 ( 1 )
前 一 个 客 户 离 开 后 瞬 间 系 统 中 有 i 个 客 户 } P r { X j| X i } n 1 n
t j i 1 e ( t ) p d B () t, ( j i 1 , i 1 ) i j 0 ( j i 1 ) !
注意：我们已经证明了Xi的Markov性质

其中，
( D ) ( D ) L L E [ U ( X ) ][ E A ]E [ U ( X ) ][ E A ] n n
E [ U () X ] E [ AE ] [ A | S t ] d B ( t ) t d B ( t ) E [ S ] n
P r { 在 服 务 器 服 务 一 个 客 户 的 时 间 t 内 到 达 了 j i 1 个 客 户 } k j i 1
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由此可以得到{Xi}的一步转移概率
k0 k0 0 P { p ij } 0 0 k1 k1 k0 0 0 k2 k2 k1 k0 0 k3 k3 k2 k1 k0


由于 当T→∞，X(0)和X(T)是有限的，综合以上条件 D T) A T) n( n( lim lim T DT AT ( ) T ( ) 由于客户到达事件独立于系统状态，所以
D ( T ) A ( T ) n n l i m l i m p n n T A D ( T ) T ( T )

2 3/4 3 1 1 e e 3n! 4 3n!
i 3 z /4 2 34 1 1 z K (z) e e 3 i! 3 i0 i! i 0 2 34 3z 4 1 1 z 2 3(z1) 4 1 z1 e e e e e e 3 3 3 3 i
0
A和S相互独立，所以
t a e ( t ) P r { A aS | t } a !
泊松到达，时间t内 到达a个客户的概率
3

所以，对Xn=i≥1
Pr{Xn1 j | Xn i} Pr{A j i 1 } et (t)ji1 dB(t) ( j i 1 ,i 1 ) 0 ( j i 1 )! 0 ( j i 1 ,i 1 )
有这里bn是第n个客户和第n1个客户到达间隔tn服务器服务客户的个数由于服务时间和到达间隔均为独立随机变量我们用t和b代表tn和bn有进而我们有上式只和i与j有关说明xi具有markov性质pi0单独考虑令xi的一步转移概率可以写为令则pi0单独考虑因为系统空闲时到达时间间隔并不是全部用于服务客户矩阵形式展开有如果我们令dqiqi1则上式可以写为如果把d改写为z上面右边为bn的生成函数写为z进而有求解这个式子可以得到z进而由qi1得到qi由于bn的生成函数可以写为这里是at的laplacestieltjes拉普拉斯斯蒂尔吉斯变换lst求解方程在11内上式有唯一稳定解r0
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例子：


一个单服务器排队系统，客户到达可视为泊松过程， 平均每小时到达10个。服务器平均服务时间5分钟， 服从指数分布。现在如果有一种措施，可以把服务 时间标准差从5分钟减为4分钟，但是平均服务时间 会延长到5.5分钟？问这种措施是否必要？ 未采取措施，M/M/1，
L

采取措施，M/G/1
1 0 5 1 2 1 0
一个服务器，无穷等待位 客户到达服从泊松过程，速率λ 任意服务时间分布函数，平均服务速率μ（即单位时间 服务μ个客户），服务时间CDF分布：B(t) 用M/G/1表示
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离散时间随机过程{Xi}具有Markov性质
证明：
X 1A X 1 ) n n 1 ( n X n 1 A ( X 0 ) n 1 n
P r { 多 于 3 台 机 器 故 障 } p 1 p n n
n 4 n 0
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3

服务时间分布B(t)是一个两点分布，
et (t )n kn dB(t ) 0 n! 1 5(3/20) 3 n 2 5(1/5) 1 n 1 e [5( )] e [5( )] n! 20 3 5 3
当Xn≥1，第n个客户离开立即开 始服务第n+1个客户； 但是当Xn=0，必须先等第n+1个 客户到达，才开始服务
这里An+1是服务器服务第n+1个客户这段时间S(n+1) 内到达排队系统的客户数量。 An+1和S(n+1)均为独 立随机变量，稳态下与n无关。用A和S来表示。有
P r { A a } P r ( A a | St ) d B ( t )
所以
综上
2 2 2 E [ A ] 2 S

2 2 2 S (D ) L 2 ( 1) 对于M/G/1，客户离开时的系统参数均值=任 意时刻的系统参数均值（将证明这一点）
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M/G/1排队系统中平均客户数量
L 2(1 )
2 2
0 (1 z ) K ( z ) (1) lim z 1 K ( z ) z

0 (1 z ) K ( z ) 0 K ( z )
K ( z) 1 0 1 其 中 E [ s e r v i c e t i m e ]

并且
πP = π
或者展开，有
k k ,( i 0 , 1 , 2 , . . . ) i 0 i j i j1
j 1
11
i 1

序列{πi}和{ki}的生成函数
( z) i z
i 0 i
K ( z ) ki z i
i 0

(1) i 1