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③反码表示法 定点整数的反码表示 定点整数反码的定义如下所示： [X] 反＝ X 0≤X＜2n－1 [X] 反＝(2n－1)＋X －2n－1＜X≤0 同样，正整数的反码就是其自身，而负整数的反码可 以通过对其绝对值逐位求反来求得。在反码表示法中 ，符号位仍然用0表示正号，1表示负号。其表示的真 值范围与原码相同：－(2n－1－1)≤X≤2n-1－1。数值0 用反码表示亦有＋0和－0之分。当n＝8时，[＋0]反＝ 00000000，[－0]反＝11111111。 定点小数的反码表示 定点小数反码的定义如下所示： [X] 反＝ X 0≤X＜1 [X] 反＝(2－2－n＋1)＋X －1＜X≤0
一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示，要根据计算 机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机中同时采用 定点、浮点表示，由使用者进行选择。而单片机中多采用定点表 示。 【例2．1】若浮点数X0的二进制存储格式为(43240000)16，求其 32位浮点数的十进制值。 解： 将16进制数展开后，可得二制数格式为 0 100 0011 0 010 0100 0000 0000 0000 0000 ↑ ↑ ↑↑ ↑ F 阶码(8位) 尾数(23位) 指数z＝阶码—127＝10000110—01111111＝00000111＝(7)10。 包括隐藏位 1 的尾数 1 ． X＝1．010 0100 0000 0000 0000 0000＝ 1．010010 于是有 X0＝(—1)F× 1．X × 2z＝＋(1．010010)× 27＝＋10100100 ＝(187)10。
数量值
→
如果数x表示的是纯小数，那么小数点位于x0和x1之间。当 x0x1x2…xn各位均为0时，数x的绝对值最小，当各位均为1时， x的绝对值最大，故数的表示范围为 0≤▕x▏≤1—2－n 如果数x表示的是纯整数，那么小数点位于最低位 xn 的 右边，此时数x的表示范围为 0≤▕x▏≤2n－1,目前计算机 中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称 为整数运算。 (2) 浮点数的表示方法 采用浮点表示法表示的数据叫做浮点数，采用浮点数 进行运算的机器叫做“浮点机”。浮点数是指小数点位置 可以改变的数，显然浮点数可用来表示带符号的实数。例 如：表示8位字长的二进制浮点数可以写成 ± 0.10110101 × 2±111 ▏←尾 数 →▕ ↑阶码
例如用一个n＋1位字来表示一个定点数x，其中一位x0用 来表示数的符号，其余位数代表它的量值。为了将整个n＋1 位统一处理起见，符号位x0放在最左位置，并用数值 0和1 分别代表正号和负号，这样，对于任意定点数x=x0x1x2…xn， 在定点机中可表示为如下形式:
x0
x1
x2
……
xn-1
xn
符号
←
定点小数的反码求解方法类似定点整数的反码求解方法。其表 示的真值的取值范围为 : －(1 － 2 － (n－1))≤X≤(1－2－(n－1))。反码 表示法中，由于 0占有了两个不同的编码，所以， n 位二进制数 可以表示2n－1个反码。
④移码表示法
定点整数的移码表示 [X] 移＝2n－1＋X 定点小数的移码表示 [X] 移＝1＋X －1≤X＜1 －2n-1≤X＜2n－1
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值 是1023。因此规格化的64位浮点数X的真值为 X=(－1)F × (1．X)× 2E—1O23 z＝E－1023 若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是惟一的。 例如0．5也可以表示成0．05×101，50×10—2等等。为了提高数据的表 示精度，当尾数的值不为0时，其绝对值应≥0．5，即尾数域的最高有效 位应为1，否则要以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一要 求的表示形式，这称为浮点数的规格化表示。 当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能 表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零 值，称为机器零。 浮点数所表示的范围远比定点数大的多。假设( 考虑符号位 ) 机器中 的数由8位二进制数表示时：在定点机中这8位全部用来表示有效数字(包 括符号)；在浮点机中若阶符阶码占3位，数符尾数占5位。在此情况下， 若只考虑正数值，定点机小数表示的数的范围是0．0000000到 0．1111111，相当于十进制数的0到127，而浮点机所能表示的数的范围 是2－11×0．0001到211×0．1111，相当于十进制数的1／128～7．5。显 然，都用8位，浮点机能表示的数的范围比定点机大得多。
正整数的补码就是其自身，负整数的补码可以通过对 其绝对值部分逐位求反，并在最低位加 1 求得。同样， 在补码表示法中，符号位为0表示正号，为1表示负号。 其表示的真值X的范围为 －2n－1≤X≤2n－1－1。在补码 表示中，0的机器码是惟一的，没有＋0和－0之分。 定点小数的补码表示 定点小数补码的定义如下所示： [X] 补＝ X 0≤X＜1 [X] 补＝2＋X －1≤X＜0 定点小数的补码求解方法与定点整数的补码求解方法相 类似。其表示的真值X的范围为－1≤X≤1－2-(n-1)。当n ＝8时，－1的定点小数补码表示为：10000000，而用定 点整数的补码表示－1，则为11111111。 在补码表示方法中，0的编码是惟一的，所以n位二进 制数可以表示2n个补码。
【例2．2】将十进制数16．59375转换成32位浮点 数的二进制格式来存储。 解：首先分别将整数和分数部分转换成二进 制数：16．59375 ＝10000 ．10011移动小数点， 使其在第1位和第2位之间 10000．10011＝1．000010011 × 24 z ＝4 所以： F=0，E=4＋127 =131，X=000010011 则得到的32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1000 0100 1100 0000 0000 0000 = （4184C000）16
(3)定点数据的编码方法 ① 真值与机器码 机器码是数在计算机中的表示形式。对于数值数据而言， 无论以定点形式表示或是以浮点形式表示，都需要通过某 种编码 方法，以计算机所能处理的0和1二进制位来表示 其数值大小。通常一个数值数据的机内表示形式称为其机 器码，而一个机器码所代表的数值称为该机器码的真值。 计算机中只有机器码，不存在数的真值。 假设机器码的宽度为n，最高位为符号位，下面分别介绍 实际应用中常见的4种机器码编码方法：原码、反码、补 码和移码。 ②原码表示法 定点整数原码表示法 定点整数原码的定义如下所示：
[X] 原= X 0≤X＜2n－1 [X] 原=2n－1－X －2n－1＜X≤0 由定义可以看出，正整数的原码就是其自身，负 整数的原码只需把其绝对值的原码的符号位置为1即 可。( 用0表示正号，用1表示负号)。原码表示方法 的定点整数的取值范围为－(2n－1－)≤X≤2n－1－1。 注意在原码表示法中，零有正零和负零之分。[＋0]＝ 0000…0，[－0]＝1000…0。 定点小数的原码表示法 定点小数原码的定义如下所示： [X] 原＝ X 0≤X＜1 [X] 原＝1－X －1＜X≤0
正的纯小数的原码就是其自身，而负的纯小数的原码 可以通过把其绝对值的原码的符号位置 1 来得到。其取 值范围为－(1－2－(n－1))≤X≤(1－2－(n－1))。综上可以看出 一个数的原码是由符号位加上数值位绝对值组成，符号 位为0代表正数，符号位为1代表负数。由于0有＋0和－ 0两种表示方法，n位二进制数可以表示2n－1个原码。 用原码实现乘除运算规则较简单，但做加减运算不方 便。原码表示法的一个主要优点在于其真值和机器码表 示之间对应关系很直观，容易转换。 ③补码表示法 定点整数的补码表示 定点整数补码的定义如下所示： [X] 补＝ X 0≤X＜2n－1 [X] 补＝2n＋X －2n－1≤X＜0
任意一个十进制数N可以写成 N = 10Z×X ，同 样，在计算机中一个任意进制数N可以写成 N = Bz × X其中X称为浮点数的尾数，是一个纯小数。z是 比例因子的指数，称为浮点的指数，是一个整数。 比例因子的基数B是一个常数，一般规定只为2，8或 16。在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数， 用定点小数形式表示。尾数部分给出有效数字的位 数，因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出指 数，用整数形式表示，常称为阶码，阶码指明小数 点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。 浮点数也要有符号位。因此一个机器浮点数应当由 阶码和尾数及其符号位组成：
储。本节主要讲述数值数据在计算机里的表示方法。
1．数值数据表示方法 在计算机中表示数时，需要考虑以下几个因素：要表示 的数的类型(小数、整数、实数和复数)、符号如何表示以及 小数点的位置；可能遇到的数值范围；数值精确度；数据存 储和处理所需要的硬件代价。计算机中表示数值符号的方法 是占用一位二进制位，1表示负号、0表示正号。常用的数值 数据表示格式有两种，根据小数点的位置是固定不变还是浮 动变化的分为定点格式和浮点格式。一般来说，定点格式容 许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点格 式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。 (1) 定点数的表示方法 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是 固定不变的。由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记 号“．”来表示。原理上讲，小数点位置固定在哪一位都可 以，但是通常将数据表示成纯小数或纯整数。
第二章
数据表示方法
2-1 数据表示方法和运算器
2-2 逻辑部件
2-3 ．1．1计算机中数据的表示方法
当前的计算机所采用的存储器件都是两态器件，所以适合于存放二 进制数据。尽管为了方便起见，也使用其他进制，如十进制、十六进 制，但是在计算机内部数据还是以二进制的形式存放和处理。二进制 只使用了两个不同的数字符号，易于用物理器件来实现：在物理世界 中具有两个稳定状态的物理器件很多，如晶体管的“截止”与“导通 ”、电容的“充电”与“放电”、电压信号的“高”与“低”、脉冲 的“有”与“无”，电磁单元的“正向磁化”与“反向磁化”等等， 只要规定其中一种稳定状态表示“ 1 ”，另一种稳定状态表示“ 0 ”， 就可以用来表示二进制数位了。其次，二进制的运算规则非常简单， 易于用电子器件来实现。数据的类型多种多样，如文件、图、表、树 、阵列、链表、栈、向量、串、实数、整数、布尔数、字符等。计算 机里用到的数据类型主要可分为两类：表示数量的数值数据和非数值 性的符号数据。所有的数据都是以二进制的形式在计算机里处理和存
Z0
Z1 Z2 …… Zn-1 Zn
X0
X1 X2 …… Xn-1 Xn
阶符
←
阶码
→
数符
←
尾数
→
32位浮点数的标准格式为：
31 30 23 22 0
32位浮点数 F
←
Z
→
←
X
→
64位浮点数的标准格式为：
63 62 52 51 0
64位浮点数
F
←
Z
→
←
X
→
不论是32位浮点数还是64位浮点数，规定基数B＝2。由于基 数2是固定常数，不必用显示方式来表示它。 32 位的浮点数中， F 是浮点数的符号位，占 1 位，安排在最 高位，F＝0表示正数，F＝1表示负数。X是尾数，放在低位部 分，占用23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。Z 是阶码，占用8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表 示正负指数。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比 较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式时， 将浮点数的指数值 z变成阶码Z时，应将指数 z 加上一个固定的 偏移值127(01111111)，即Z＝z＋127。一个规格化的32位浮点 数X的值可表示为X＝(－1)F×(1．X)× 2E－127 其中尾数域所表示的值是1．X。因为规格化的浮点数的尾 数域最左位也即最高有效位总是 1，故这一位经常不予存储， 而认为隐藏在小数点的左边。