《3. 万有引力定律的应用》(同步训练)高中物理必修2_教科版_2024-2025学年

《3. 万有引力定律的应用》同步训练(答案在后面)
一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1、题目：
一个物体在地球两极上所受到的万有引力与在赤道上所受到的万有引力之比是：
A. 1:2
B. 2:1
C. 1:1
D. 4:1
2、题目：
关于天体间的万有引力，以下说法正确的是：
A. 星球越小，它对其他星球的引力越大。

B. 质量越大的星球，距离越近的星球，它们之间的万有引力越小。

C. 相同质量的两个实心球体，体积越大，万有引力越强。

D. 任何两个天体之间的万有引力与它们之间的距离的平方成反比。

3、已知地球的半径为R，地球上两颗质量均为m的物体，相距为d（d＞R），它们之间的万有引力大小为F。

若将其中一个物体的质量增加到2m，保持另一物体质量不变，且两者距离减至原来的一半，则它们之间新的万有引力大小为：
A、F/4
B、F/2
C、2F
D、4F
4、已知地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。

一个质量为m的小球距离地面的高度为h，则小球受到的地球的万有引力大小为：
A、GmM/(R+h)^2
B、GmM/R^2
C、GmM/(R-h)^2
D、Gm(M-h)/(R^2)
5、在地球表面，一个物体受到的重力与其质量成正比。

假设地球质量为M，物体
质量为m，地球半径为R，重力常量为G。

若将地球表面重力加速度记为g，则有：
)
A.(F=GMm
R2
B.(F=mg)
mg)
C.(F=1
2
mg)
D.(F=3
2
6、一颗人造卫星绕地球做圆周运动，其轨道半径为r，地球质量为M，卫星质量为m，忽略空气阻力。

根据万有引力定律，卫星绕地球运行的周期T与其轨道半径r的关系是：
)
A.(T∝1
r
B.(T∝√r)
C.(T∝r2)
)
D.(T∝√r3
GM
7、已知地球表面的重力加速度为(g)，地球半径为(R)，月球绕地球运动的周期为(T)。

根据万有引力定律，月球绕地球运动的轨道半径为(r)，则月球绕地球运动的向心力由以下哪个公式表示？
A.(F=GMm
r2
)
B.(F=gR 2
T2 )
C.(F=gR 2T2
4π2r
)
D.(F=g 2R2
T2r
)
二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、国际空间站围绕地球进行圆周运动，假设其轨道半径为(r)，运行周期为(T)，地球半径为(R)，地球表面的重力加速度为(g)。

根据万有引力定律，下列哪些选项能正确表达国际空间站的线速度(v)与周期(T)的关系？
A.(v=√gR2
r
)
B.(v=2πr
T
)
C. 周期与万有引力常数(G)、地球质量(M)以及轨道半径(r)有关
D.(T=2π√r3
GM
)
2、假设你们班的一位同学不慎将一卫星模型从地面上丢出，忽略空气阻力，假设地面上的重力加速度为(g)，该模型丢出的速度为(v0)，那么下列哪些判断是正确的？
A. 如果抛出速度达到第一宇宙速度，模型将摆脱地球引力束缚，成为地球的卫星。

B. 若模型抛出速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，模型最终将脱离地球但只会围绕地月系运行。

C. 当模型速度大于第二宇宙速度时，它将脱离地月系，飞向太空。

D. 模型能否脱离地球，不仅取决于其初速度，还取决于抛出时的发射角度。

3、设地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

在地球表面某一高度h处的某物体所受的地球引力为F，则该物体在地球表面的重力加速度g与下列哪几个物理量有关（）
A. M R
B. G h
C. G R
D. G(M/R^2)
三、非选择题（前4题每题10分，最后一题14分，总分54分）
第一题
某行星卫星绕行星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星质量为m，行星质量为M。

已知万有引力常数G，卫星的运动周期为T。

求卫星绕行星运动的速度v。

解答：
根据万有引力提供向心力的原理，可以列出以下等式：
其中，(F
引力)是万有引力，(F
向心
)是提供卫星圆周运动的向心力，v是卫星绕行星
运动的速度。

解这个方程，得到卫星的速度v：
第二题
一物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，已知其运动半径为地球半径的7倍，周期为地球自转周期的1/4。

求该物体的轨道速度与地球第一宇宙速度（地球表面
附近卫星的运行速度）的比值。

第三题
题目
一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其周期为(T)，轨道半径为(r)。

假设地球的质量为(M)，引力常量为(G)。

已知卫星的质量可以忽略。

求：
1.地球对卫星的引力大小。

2.说明地球对卫星的引力如何使得卫星保持在轨道上做匀速圆周运动。

3.根据以上信息，用(T)、(r)、(M)、(G)表示卫星运动的线速度(v)。

第四题
已知地球的半径约为6400km，地球表面的重力加速度约为9.8m/s²。

假设在地球表面附近发射一物体，物体在沿地球赤道飞行时，若其环绕速度达到第一宇宙速度（即卫星环绕地球无碰撞破坏的速度），则该物体的质量为m的物质相当于地球质量M的多少倍？已知地球质量M约为5.98×10²⁴kg。

第五题
一艘宇宙飞船在距离地球表面3000公里的轨道上运行，飞船质量为2000kg，地球质量为5.97×10²⁴kg，地球半径为6.37×10⁶m。

求：
（1）飞船在轨道上运行时受到的地球引力；
（2）飞船在轨道上运行的周期。

《3. 万有引力定律的应用》同步训练及答案解析
一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1、题目：
一个物体在地球两极上所受到的万有引力与在赤道上所受到的万有引力之比是：
A. 1:2
B. 2:1
C. 1:1
D. 4:1
答案：
B
解析：
地球是一个非完美球体，由于地球的自转，赤道上的重力实际受到引力向心力的抵消，而在两极则没有这种效应。

因此，物体在赤道所受到的万有引力实际上是引力减去向心力的结果，而两极则没有这样的减去部分。

所以，物体在两极受到的万有引力是在赤道上的两倍，因此答案是B。

2、题目：
关于天体间的万有引力，以下说法正确的是：
A. 星球越小，它对其他星球的引力越大。

B. 质量越大的星球，距离越近的星球，它们之间的万有引力越小。

C. 相同质量的两个实心球体，体积越大，万有引力越强。

D. 任何两个天体之间的万有引力与它们之间的距离的平方成反比。

答案：
D
解析：
万有引力定律指出，任意两个物体之间的引力与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

这是牛顿的万有引力定律的基本内容。

A、B、C选项都不符合这一规律。

因此，正确的选项是D。

3、已知地球的半径为R，地球上两颗质量均为m的物体，相距为d（d＞R），它们之间的万有引力大小为F。

若将其中一个物体的质量增加到2m，保持另一物体质量不变，且两者距离减至原来的一半，则它们之间新的万有引力大小为：
A、F/4
B、F/2
C、2F
D、4F
答案：D
解析：根据万有引力定律，物体间的引力与两物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

设初始情况下两物体间的引力为F，则有：
[F=G (m⋅m)
d2
=G
m2
d2
]
当其中一个物体的质量增加到2m，且它们之间的距离减至原来的一半时，新的引力为：
[F′=G (2m⋅m)
(d/2)2
=G
2m2
(d2/4)
=4G
m2
d2
=4F]
因此，新的万有引力大小为4F。

4、已知地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。

一个质量为m的小球距离地面的高度为h，则小球受到的地球的万有引力大小为：
A、GmM/(R+h)^2
B、GmM/R^2
C、GmM/(R-h)^2
D、Gm(M-h)/(R^2)
答案：A
解析：万有引力定律表达式为(F=G Mm
r2
)，其中M为引力源的质量，m为受到引力作用的物体的质量，r为两者之间的距离。

题目中说到小球距离地面的高度为h，则小球到地球中心的距离为(R+ℎ)。

因此，小球受到的地球的万有引力大小为：
[F=G
mM (R+ℎ)2
]
所以，正确选项是A。

5、在地球表面，一个物体受到的重力与其质量成正比。

假设地球质量为M，物体质量为m，地球半径为R，重力常量为G。

若将地球表面重力加速度记为g，则有：
A.(F=GMm
R2
)
B.(F=mg)
C.(F=1
2
mg)
D.(F=3
2
mg)
答案：B
解析：在地球表面，物体受到的重力可以用万有引力公式表示为(F=GMm
R2
)。

然而，
重力加速度g定义为单位质量物体所受的重力，即(g=GM
R2
)。

因此，对于质量为m的物
体，其受到的重力为(F=mg)。

选项B正确。

6、一颗人造卫星绕地球做圆周运动，其轨道半径为r，地球质量为M，卫星质量为m，忽略空气阻力。

根据万有引力定律，卫星绕地球运行的周期T与其轨道半径r的关系是：
A.(T∝1
r
)
B.(T∝√r)
C.(T∝r2)
D.(T∝√r3
GM
)
答案：D
解析：根据万有引力定律，卫星受到的向心力由地球的引力提供，即(F=GMm
r2
)。

这个力提供了卫星做圆周运动的向心力(F=mv 2
r
)。

由向心力公式可以得到卫星的运行
速度(v=√GM
r
)。

轨道周期T与轨道半径r的关系可以通过轨道的周长和速度来表示，
即(T=2πr
v )。

将v的表达式代入，得到(T=2π√r3
GM
)。

因此，选项D正确。

7、已知地球表面的重力加速度为(g)，地球半径为(R)，月球绕地球运动的周期为(T)。

根据万有引力定律，月球绕地球运动的轨道半径为(r)，则月球绕地球运动的向心力由
以下哪个公式表示？
A.(F=GMm
r2
)
B.(F=gR 2
T2 )
C.(F=gR 2T2
4π2r
)
D.(F=g 2R2
T2r
)
答案：C
解析：
月球绕地球运动时，地球对月球的万有引力提供了月球运动的向心力。

根据万有引
力定律，地球对月球的万有引力为(F=GMm
r2
)，其中(G)是万有引力常数，(M)是地球的质量，(m)是月球的质量，(r)是月球到地球中心的距离。

月球绕地球运动的向心力(F)也可以表示为(F=m4π2r
T2
)，这是根据圆周运动公式
(F=m v2
r
)和月球轨道的周期(T)得出的，其中(v)是月球的轨道速度。

将(v=2πr
T )代入向心力公式，得到(F=m4π2r
T2
)。

将两个关于(F)的表达式等量代换，即(GMm
r2=m4π2r
T2
)，简化后得到(r3=GMT2
4π2
)，解
得(r=(GMT 2
4π2)
1/3
)。

因为(g=GM
R2)，将(g)和(R)的关系代入(r)的表达式中，得到(r=(gR2T2
4π2
)
1/3
)。

因
此，月球绕地球运动的向心力可以用公式(F=gR 2T2
4π2r
)表示，即选项 C。

二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、国际空间站围绕地球进行圆周运动，假设其轨道半径为(r)，运行周期为(T)，地球半径为(R)，地球表面的重力加速度为(g)。

根据万有引力定律，下列哪些选项能正确表达国际空间站的线速度(v)与周期(T)的关系？
A.(v=√gR2
r
)
B.(v=2πr
T
)
C. 周期与万有引力常数(G)、地球质量(M)以及轨道半径(r)有关
D.(T=2π√r3
GM
)
答案：B, C, D
解析：根据万有引力定律，地球对卫星的引力提供其所需的向心力，即
[GMm
r2=m v2
r
⇒v=√GM
r
]
由于在地球表面(r≈R)，且重力加速度(g=GM
R2
)，可见选项A错误。

国际空间站
的周期可由万有引力等同于向心加速度得出，即[GMm
r2=mω2r=m(2π
T
)
2
r⇒T=
2π√r3
GM
]
以上计算验证了D选项的正确性，且结合圆周运动的知识，B选项也是正确的描述。

同时，周期不仅与轨道半径有关，还与引力场的对象的质量（如案例中的地球）有关，因此C选项也正确。

2、假设你们班的一位同学不慎将一卫星模型从地面上丢出，忽略空气阻力，假设地面上的重力加速度为(g)，该模型丢出的速度为(v0)，那么下列哪些判断是正确的？
A. 如果抛出速度达到第一宇宙速度，模型将摆脱地球引力束缚，成为地球的卫星。

B. 若模型抛出速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，模型最终将脱离地球但只会围绕地月系运行。

C. 当模型速度大于第二宇宙速度时，它将脱离地月系，飞向太空。

D. 模型能否脱离地球，不仅取决于其初速度，还取决于抛出时的发射角度。

答案：A, C, D
解析：第一宇宙速度(v1=√2GM
R
)，这是使物体能够仅依赖地球引力完成圆周运动的最小速度，选项A正确。

第二宇宙速度表示物体能脱离地球引力束缚，即完全脱离地
球引力场，其公式为(v2=√2GM
R
)，其中(R)为地球半径。

模型只需速度超过(v2)，就会完全摆脱地球引力。

因此，选项C正确。

选项D也正确，因为抛出角度同样会影响物体被送入的轨道类型（椭圆、抛物线或双曲线轨道），这会影响到最终是否能脱离地月系乃至地球。

选项B不正确，因为它忽略了技术细节，模型只需达到第二宇宙速度，就能脱离地月系，而不论它是否达到月球轨道。

3、设地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

在地球表面某一高度h处的某物体所受的地球引力为F，则该物体在地球表面的重力加速度g与下列哪几个物理量有关（）
A. M R
B. G h
C. G R
D. G(M/R^2)
答案：A、D
解析：物体在地球表面所受的引力F由万有引力定律给出，即(F=G mM
R2
)，这里m 是物体的质量，M是地球的质量，R是地球的半径，G是万有引力常量。

希望值
(g=F
m =G M
R2
)。

通过这个公式可以看出，g只与地球的质量M及其半径R有关，而与m
无关，所以选项中只有A和D正确，而选项B中的h并没有在公式中体现，选项C中虽然G在公式中出现，但不是直接与R和其他物理量的组合形式相关，应排除。

三、非选择题（前4题每题10分，最后一题14分，总分54分）
第一题
某行星卫星绕行星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星质量为m，行星质量为M。

已知万有引力常数G，卫星的运动周期为T。

求卫星绕行星运动的速度v。

解答：
根据万有引力提供向心力的原理，可以列出以下等式：
其中，(F
引力)是万有引力，(F
向心
)是提供卫星圆周运动的向心力，v是卫星绕行星
运动的速度。

解这个方程，得到卫星的速度v：
答案：卫星绕行星运动的速度v为(v=√GM
r
)。

解析：
1.根据题意，我们知道卫星做匀速圆周运动，需要由一个力提供向心力，这个力就是万有引力。

2.万有引力公式(G Mm
r2
)表示行星和卫星之间的引力大小，其中r是轨道半径。

3.向心力由公式(m v 2
r
)表示，其中m是卫星质量，v是卫星运动速度。

4.由于万有引力提供了向心力，可以将两个力相等，得到方程(G Mm
r2=m v2
r
)。

5.在方程两边同时除以m，并解出v，得到最终的表达式(v=√GM
r
)。

这就是卫星绕行星运动的速度。

第二题
一物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，已知其运动半径为地球半径的7
倍，周期为地球自转周期的1/4。

求该物体的轨道速度与地球第一宇宙速度（地球表面附近卫星的运行速度）的比值。

答案：2:1
解析：
首先，我们需要知道地球第一宇宙速度的公式，即卫星在地球表面附近做匀速圆周运动的速度公式：
[v1=√GM R
]
其中，(G)是万有引力常数，(M)是地球的质量，(R)是地球的半径。

对于本题中的物体，其轨道半径为地球半径的7倍，即(r=7R)，周期为地球自转
周期的1/4，即(T=T0
4
)，其中(T0)是地球自转周期。

根据圆周运动的周期公式：
[T=2πr v
]
我们可以求出物体的轨道速度(v)：
[v=2πr
T
=
2π⋅7R
T0
4
=
28πR
T0
]
将(T0)代入上式，得到：
[v=28πR
T0
4
=
28πR⋅4
T0
=
112πR
T0
]
现在，我们求出地球第一宇宙速度(v1)：
[v1=√GM R
]
接下来，我们求出物体轨道速度与地球第一宇宙速度的比值：
[v
v1
=
112πR
T0
√GM
R
=
112πR
T0
⋅√
R
GM
]
由于(GM
R )是常数，我们可以将(√GM
R
)视为一个常数(C)，则：
[
v
v1
=
112π
C
]
由于(v1)是地球第一宇宙速度，我们可以将其代入比值中：
[v
v1=
112π
√GM
R]
已知(v1=√GM
R
)，则：
[v
v1
=
112π
v1
]
因此，我们只需要计算(112π
v1
)的值。

由于(v1)是地球第一宇宙速度，我们通常取其值为 7.9 km/s。

因此：
[v
v1
=
112π
7.9
≈2]
所以，物体的轨道速度与地球第一宇宙速度的比值约为 2:1。

第三题
题目
一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其周期为(T)，轨道半径为(r)。

假设地球的质量为(M)，引力常量为(G)。

已知卫星的质量可以忽略。

求：
1.地球对卫星的引力大小。

2.说明地球对卫星的引力如何使得卫星保持在轨道上做匀速圆周运动。

3.根据以上信息，用(T)、(r)、(M)、(G)表示卫星运动的线速度(v)。

答案
1.地球对卫星的引力大小
卫星受到地球的引力大小可根据万有引力定律计算。

由万有引力定律，有：
[F=G Mm r2
]
由于卫星的质量(m)（题目中提到可以忽略）不影响终结果，所以地球对卫星的引力大小为：
[F=G Mm
r2≈G M
r2
]（注：式子中的(m)忽略未列出不会影响结果表达式）。

2.使卫星保持在轨道上做匀速圆周运动
地球对卫星的引力作为向心力，方向指向地球的中心，它提供了使卫星沿圆轨道运动所需的向心加速度分量。

具体来说：
[F=m v2 r ]
将第一问的结果代入：
[G M
r2
=m
v2
r
]
从这里可以得到：
[v2=GM r
]
因此，引力对卫星产生的向心力使得卫星始终受到一个指向地心的力，这正是所需的向心力，从而使卫星能够保持在轨道上做匀速圆周运动。

3.线速度(v)的表达式
由上面的等式(v 2=
GM r
)，取平方根得到线速度的表达式：
[v =√GM r
] 这是卫星以匀速圆周运动时的速度表达式。

解析
1.地球对卫星的引力: 利用万有引力定律直接计算，没有考虑卫星自己的质量。

2.向心力的作用: 确保了卫星能够持续地在一个一定半径上进行圆周运动，是因为地球对该卫星的引力提供了正确的向心加速度。

3.线速度的推导: 基于万有引力提供的向心力相等，直接从物理关系中推导得出卫星的线速度表达式，这是基础的物理定量分析过程。

第四题
已知地球的半径约为6400km ，地球表面的重力加速度约为9.8m/s ²。

假设在地球表面附近发射一物体，物体在沿地球赤道飞行时，若其环绕速度达到第一宇宙速度（即卫星环绕地球无碰撞破坏的速度），则该物体的质量为m 的物质相当于地球质量M 的多少倍？已知地球质量M 约为5.98×10²⁴kg 。

答案：该物体的质量为地球质量的1/138倍。

解析：
1.根据万有引力公式，地球表面的重力加速度可以表示为：
[a =
GM
R 2
] 其中，G 为万有引力常量，M 为地球质量，R 为地球半径。

2.从公式中解出万有引力常量G ：
[G =aR 2
M
]
代入已知的地球表面重力加速度和地球半径，计算得到：
[G ≈9.8×(6400×103)2
5.98×10
24≈6.674×10−11 N ⋅m 2/kg 2] 3.第一宇宙速度是指在地球表面 commemorate 物体在物体做圆周运动而不再落回地球所需的速度。

根据牛顿第二定律，地球对物体的向心力等于重力：
[mv 2R =GMm
R 2
] 简化得到第一宇宙速度公式：
[v =√GM
R
] 4.将所求物体的质量表示为M 的倍数，设倍数为x ，则：
[v =√
xGM
R
] 5.因为速度相同，所以可得：
6.所以x 为1，表示所求物体的质量与地球质量M 相等，即所求物体的质量为地球质量的1/138倍。

第五题
一艘宇宙飞船在距离地球表面3000公里的轨道上运行，飞船质量为2000kg ，地球质量为5.97×10²⁴kg ，地球半径为6.37×10⁶m 。

求：
（1）飞船在轨道上运行时受到的地球引力； （2）飞船在轨道上运行的周期。

答案：
（1）飞船在轨道上运行时受到的地球引力为：
[F=G⋅m1⋅m2
r2
]
其中，(G=6.67×10−11 N⋅m2/kg2)是万有引力常数，(m1=5.97×1024 kg)是地球质量，(m2=2000 kg)是飞船质量，(r=3000 km+6370 km=9370 km=9.37×106 m)是飞船与地球中心的距离。

代入数值计算得：
[F=6.67×10−11⋅5.97×1024⋅2000
(9.37×106)2
≈2.15×104 N]
（2）飞船在轨道上运行的周期(T)可以通过以下公式计算：
[T=2π√r3
G(m1+m2)
]
其中，(G)是万有引力常数，(r)是飞船与地球中心的距离，(m1)和(m2)分别是地球和飞船的质量。

代入数值计算得：
[T=2π√
(9.37×106)3
6.67×10−11⋅(5.97×1024+2000)
≈5.63×103 s]
解析：
（1）根据万有引力定律，飞船在轨道上运行时受到的地球引力为：
[F=G⋅m1⋅m2
r2
]
其中，(G)是万有引力常数，(m1)和(m2)分别是地球和飞船的质量，(r)是飞船与地球中心的距离。

（2）飞船在轨道上运行的周期(T)可以通过以下公式计算：
[T=2π√r3
G(m1+m2)
]
其中，(G)是万有引力常数，(r)是飞船与地球中心的距离，(m1)和(m2)分别是地球和飞船的质量。

通过计算得到飞船在轨道上运行的周期为(5.63×103 s)。