第八章简单超静定问题ppt课件

组成。轮箍：b,, d2, E ；轮心：d1d1 d2 ，d1d2d2/k。
装配时将轮箍加热膨胀后套于轮心上，冷却后二者相互紧压。轮 心的刚度远大于轮箍，在假设轮心为一刚体的情况下，求装配后 轮箍和轮心间的装配压力p和轮箍径截面上的正应力σ。
轮箍
轮心
热套冷却后
d2
d1
d1
p
d1
p
d2
轮箍
热套冷却后
FN2 （3〕补充方程
l3
ltl
FN3l EA
F N 1 F N 3c o s2 l tE A s in 2
（3）
A
1
32
l
A
l2
l1
l3
A
FN3
FN1 FN2
（4〕联立求解
FN1
FN2
ltEAsin2 12cos3
(压力)
FN32l1tE A2scions23cos (拉力)
1
2
FN2 A
设压力为FN，那 么
e
FN
l e
EA
FNl EA
FN
EAe l
则压应力为 FN Ee
Al
这种由于装配而引起的应力，称为 装配应力。（初应力）
例8-6 图示杆系中，各杆的材料均为Q235钢，弹性模量E=200GPa， 各杆横截面面积均为A，角 30 。若3杆的长度比设计长度l短 了e l/1000 ，试计算各杆的装配应力。
y
d2
d1
解〔1〕平衡方程
d
p
d2 FN
Fy 0
0pbd22sind2FN0
FN
1 2
pbd2
（2〕变形几何方程
FN （1）
圆周伸长：ld1d2
（2）
（3〕物理方程
微段伸长 ds FNds FN d2 /2d
EA
Eb
FN A d2
圆周总伸长 l 2FNd2/2d FN d 2
性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求
1、2杆的轴力。
2
l
1
解：（1〕静力平衡方程
F N 12F N 2sin3F
（2〕变形协调方程
A
C
a
D B
a
aF
D D 2C C2l1 DD l 2
sin
l2
sin
2l1
A
FN1
C
FN2
D B
（3〕物理方程
FA
l1 l2
x
C
D1
F
FA
l1
FN 1l EA
A F
（1）
F y 0 F N 1 c o s F N 2 c o s F N 3 F 0
（2）
几何方程〔绘变形图）
B
D
C
3
l1l3cos
1 2
物理方程——胡克定律
l1
F N 1l1 E 1 A1
l3
FN 3l3 E 3 A3
A
l2 l3
l1
补充方程：由几何方程和物理方程得。
1
2 a
解：（1〕静力平衡方程
l
Fy 0 F N 1F N 2F N 3F0
MD0 F N13 2aF N2a 2FN3a 20 l 1 A
（2〕变形几何方程及物理方程
A
l1l32l2
l1
FN 1l EA
l2
FN 2l EA
l3
FN 3l EA
FN1
A
B
l2
B FN2
B
（3〕补充方程
FN1FN32FN2
F
F 2a EA
FB
FB 3a EA
解得：
FB
2F 3
F FA 3
例 8-3 如图所示杆系结构中AB杆为刚
性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求
1、2杆的轴力。
解：（1〕静力平衡方程
l1
2
MA 0 F N 1a F N 22 a F 3 a 0
得 FN12FN23F
（1） A C
a
（2〕变形几何方程及物理方程
l3
FN 3l EA
（4〕补充方程
EAFcN o1sl2FENA3l e
（3）
（5〕联立(1)、(2)、(3)求解
FN1FN2 le1E A 2ccooss23 (压力)
FN3
e l
12EA2ccooss33
(拉力)
12
FN2 A
65.2MPa
(压应力)
3
FN3 A
113.0MPa
(拉应力)
例8-7 火车车轮通常由铸铁轮心和套在轮心上的钢制轮箍两部分
物理方程〔线膨胀定律和胡克定律）：
FA A
lt ltl （ l为 线 膨 胀 系 数 ）
lt
B
lF
FN l EA
F B 求得： FN ltEA
lF
温度应力：
FN A
ltE（压应力）
例8-8 图示超静定杆系中，三杆的弹性模量均为E，线膨胀系数均为
横截 l面面积均为A。试求温度升高 度时，t 三杆的温度应力。
a
D
a
D1 F
a
* §8.3装配应力和温度应力
BБайду номын сангаас
C 杆的实际长度尺寸和设计尺寸间可能
存在误差。如图所示的静定杆系中，
1 2
AC杆的长度比设计尺寸短了δ。
装配后仅是几何形状略有变化，两杆内
A
均不会因装配而产生内力和应力。
A
但在超静定杆系中，由于多余约束的存
在，长度尺寸上的误差使得装配发生困
l
e 难，装配后将使杆内产生内力和应力。
例 8-2 知：F， A ，E 。
A
求：A、B两端的支座反力。
y
FA A
解：（1〕列平衡方程
2a
Fy 0 FAFBF0 ( 1 ) C
C
l
只有一个平衡方程，一次超静定
F
a
C
F
（2〕变形几何方程
lAClBCl
B
B FB
（3〕物理方程〔胡克定律）
lAC
FA2a EA
lBC
FB a EA
（4〕建立补充方程，解出约束反力
1
3
2
l
FN3
FN1
FN2
Ae A
A
解〔1〕平衡方程
Fx 0 F N 1sin F N 2sin 0
Fy 0 F N 3 F N 1 c o s F N 2 c o s 0
（1） （2）
（2〕变形几何方程
1
3
2
l
l1
cos
l3
e
l3
l1
A e A
（3〕物理方程
l1
FN1l
EAcos
0 Eb
E b
（4〕补充方程
令〔2）=（3）
E b FN d 2
（3）
p
2E
d
2 2
在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆因温度改变而引 起的纵向变形要受到相互制约，在杆内就要产生应力，这种应 力称为温度应力或热应力。
A
t
B
平衡方程： FA FB 0
l
变形几何方程： lt lF 0
A
t
B
§8-2 拉压超静定问题
例8-1 设杆系结构如图，知：各杆长为：l1=l2 =l 、 l3 ；各杆面
积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力
沿铅垂方向，求各杆的轴力。
B
DC 3
FN3
1 2
FN1 FN2
解： 平衡方程
A
F
F x 0 F N 1 s i n F N 2 s i n 0
l2
FN2l
EAsin
联立上面的方程可以求得
y
FN1 143sFin3
D
B
FN2
3Fsin2 1 4sin3
练习 如图所示杆系结构中AB杆为刚 性杆，写出结构的变形协调方程。
分析
DD2CC
DD l1
sin CC l2
sin
l1 2 l2
sin sin
l1
1
l2
A C
l1
D
B
2 l2 C
lF lt
lF
FRl1 EA1
FRl2 EA2
4FRl1
E d12
1
l2d12 l1d22
FR
ltl1
l2
4FRl1
Ed12
1ll12dd1222
（补充方程）
例8-10 图示结构中，1、2两杆的拉压刚度均为EA，长度均为l，加
（4〕联立求解
FN1
F 12
FN 2
F 3
FN 3
7 12
F
3 a
a/2
D
C
F l3 C
FN3
DC
F
另解：把力F移动到B得到一个力和力偶 在力F作用下，结构对称，荷载也对
称，即内力和位移都是对称的。
F N 1
F N 2
F N 3
A
B
C
F
F N1
F N 2
由此可以直接得出三杆轴力 l 1 A
B
FN1
l12.5106/ C，弹性模量E=210GPa。试求温度 t 40C 时，
两段杆的温度应力。
A
l1
B l2
C
解：若解除杆下端的刚性支座，则温度上升后杆 的伸长变形为Δlt。当Δlt> Δ时，下端支座的约束 反力FR将使杆产生缩短变形ΔlF。根据变形协调 条件得到变形几何方程为
lt lF 其中： lt ltl1l2
知力的数目）
C
FN2
F N1
F Ax A
D
B
F Ay
A
DB
F
n431
F
超静定解法
A
DB
3
1
2
FN1
为了求出超静定结构的全部未知力， 除了利用平衡方程以外，还必须寻 找补充方程，且使补充方程的数目 等于多余未知力的数目。
FN3 FN2
超静定解法：
C
C
平衡方程 + 补充方程
F
F
建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何 方程〔变形协调方程），再由物理方程〔胡克定律）， 最后得到补充方程。
（1〕在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他 杆的拉压刚度的比值有关。
（2〕若E1 A1↑，则FN1 ↑；若E3 A3↑，则FN3 ↑。即杆系中任一 杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。
（3〕以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。
解超静定杆系的步骤
（1〕根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。 （2〕根据变形协调条件，建立变形几何方程。 （3〕利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。 （4〕将补充方程与平衡方程联立求解。
F
F
A
DB
未知力数：3个
求不出
3
1
2
FN3
独立方程数：2个
FN1、FN2、FN3
FN1
F N 2 仅靠静力平衡方程不能求出全部
约束反力和内力的问题称为超静
C
C 定问题，相应的结构称为超静定
F
F
结构。
A
D B 多余约束
多余未知力〔冗力）
32
1
FN3
FN1
FN2
n321
C
C
F
F
超静定次数：未知力数与方程数之差〔多余约束或多余未
ltE sin 2 1 2 cos3
(压应力)
3
FN 3 A
2ltEsin2 cos 12cos3
(拉应力)
A
例8-9 如图所示的阶梯形钢圆杆，上段杆的直径d1=50mm，长度
l1=700mm；下段杆的直径d2=35mm，长度l2=300mm。杆的上端
固定，下端距刚性支座的间隙Δ=0.15mm，材料的线膨胀系数
FN1l1 FN3l3 cos
E1A1 E3A3
（3）
A1
（1）（2）（3〕联立求解得:
FN1
FN2
F
2cosE1AE1 c3A o3s2
FN3
1
2
F E1A1
cos3
E3 A3
B
D
C
3
1 2
A F
FN1
FN2
F
2cosE1AE1 c3A o3s2
FN3
1
2
F E1A1
cos3
E3 A3
讨论：
FN2
FN3
1F 3
m
在力m作用下，结构对称，荷载反对
称，即内力和位移都是反对称的。
FN2 0 FN12am0
FN1
FN3
1 4
F
1
2
3
a
a
l
a/2
A
B D
C
F N 3
F m FF2a
C
l 3 由叠加法得
FN113F14F112F
FN 2
1 3
F
FN3
1F1F7F 3 4 12
例8-5 木制短柱的四角用四个40 40 4的等边角钢加固，角钢
第八章 简单超静定问题
目录
§8-1 概述 §8-2 拉压超静定问题 §8-3 装配应力和温度应力 §8-4 扭转超静定问题 §8-5 简单超静定梁
§8-1 概述
A
B
未知力数：2个
FN1、FN2
独立方程数： 2个
1 2 F N 1 F N 2 仅靠静力平衡方程就能把结构的约
C
束反力和内力解出的问题称为静定 C 问题，相应的结构称为静定结构。
a
DB
aF
l22l1
l1
FN 1l EA
l2
FN 2l EA
FN1
FN2
（3〕补充方程
FN2 2FN1
（2）
AC
DB
FAx
l1 C
l2
F
FAy
（4〕联立〔1）（2〕求解
D
B
FN1
3 5
F
FN 2
6 5
F
例 8-4 如图所示杆系结构中AC杆为刚
性杆，1、2、3杆刚度为EA，载荷为F， 求1、2、3杆的轴力。
和木材的许用应力分别为[ ]1=160MPa和[ ]2=12MPa，弹性
模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许用载荷F。
F
F
解：平衡方程:
Fy 0 4FN1FN2F0
(1)
4FN1 变形几何方程及物理方程
FN2
l1 l2
l1
F N 1l E 1 A1
补充方程：
l2
FN 2l E 2 A2
解〔1〕平衡方程
1
32
l
F x 0F N 1 s i n F N 2 s i n 0 （1）
F y 0 F N 3 F N 1 c o s F N 2 c o s 0 （2）
A l2
l3
FN1
A
FN3
（2〕变形几何方程及物理方程
l1
l1 l3cos
l1ltcolsEAFcNo1ls
FN 1 FN 2
(2)