西安市高新第一中学数学轴对称填空选择单元测试卷(解析版)

西安市高新第一中学数学轴对称填空选择单元测试卷（解析版）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．
【答案】301 4
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.
【详解】
解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值＝1
2
OC＝
1
4
AB＝
1
4
故答案为：30，1 4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
2．如图,在△ABC中，∠C=0
90,点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长
为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______
【答案】3
【解析】
【分析】
连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．
【详解】
如图：连接BE ，
DE ⊥AB ，
090BDE ∴∠=，
在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，
BE BE BD BC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，
DE CE ∴=,
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，
△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，
∴BC=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.
3．如图，ABC ∆中，090,,2ACB AC BC AB ∠===G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =
；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

其中
正确的结论的序号为___________。

【答案】③④
【解析】
【分析】
作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．构造全等三角形，证明△CAP ≌△BCG （ASA ），△EAG ≌△EAP （SAS ），即可分步判断①②③，利用四点共圆可以证明④正确．
【详解】
解：如图，作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．
∵CE ⊥BG ，
∴∠CFB=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBG ，
∵BG 是△ABC 的中线，AB ＞BC ，
∴∠ABG≠∠CBG ，
∴∠ACE≠∠ABG ，故①错误，
∵∠ACP=∠CBG ，AC=BC ，∠CAP=∠BCG=90°，
∴△CAP ≌△BCG （ASA ），
∴CG=PA=AG ，∠BGC=∠P ，
∵AG=AP ，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE ，
∴△EAG ≌△EAP （SAS ），
∴∠AGE=∠P ，
∴∠AGE=∠CGB ，故③正确， ∵90,,102ACB AC BC AB ∠===，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC=10，
∴AG=CG=5，
∴BG ==， ∵••12•12
CG CB CF = ，
∴CF =
∵CA=CB ，∠ACB=90°，AH=HB ，
∴∠BCH=∠ACH=45°，
∵∠CFB=∠CHB=90°，
∴C ，F ，H ，B 四点共圆，
∴∠HFB=∠BCH=45°，
∴∠EFH=∠HFB=45°，
∴FH 平分∠BFE ，故④正确，
综上所述，正确的只有③④.
故答案为：③④
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉各项性质是解题的关键．
4．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．
【答案】16或12．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出AE =BE ，CG =AG ，分两种情况讨论：①DE 和FG 的交点在△ABC 内，②DE 和FG 的交点在△ABC 外．
【详解】
∵DE ，FG 分别是△ABC 的AB ，AC 边的垂直平分线，∴AE =BE ，CG =AG ．分两种情况讨论： ①当DE 和FG 的交点在△ABC 内时，如图1．
∵BC =12，GE =2，∴AE +AG =BE +CG =12+2=14，△AGE 的周长是AG +AE +EG =14+2=16． ②当DE 和FG 的交点在△ABC 外时，如图2，△AGE 的周长是AG +AE +EG = BE +CG
+EG =BC =12．
故答案为：16或12．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
5．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC 的长度是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF
利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积
为1进行计算即可.
【详解】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC
∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.
6．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.
【答案】3.
【解析】
【分析】
由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.
【详解】
解：如图
Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°， ∠ABC=∠ACB=45°，
又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角
∴∠BAF=∠CAE,
∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE
∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，有
AB AC
BAF CAE
ABF ACE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△ABF≌△ACE，
∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,
C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，AF=22∴AG=GE=CE=FG=2,
又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,
∴四边形AGCE为平行四边形，
∴GD=DE=1,
∴DF=FG+GD=2+1=3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.
7．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

【答案】45︒
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB
∠∠∠
=+
由角平分线的性质可得MAB MAO
∠∠
=
根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA180
∠∠∠
++=︒
易得∠M的度数。

【详解】
在ABM中，2
∠是ABM的外角
∴2M MAB
∠∠∠
=+
由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA180
∠∠∠
++=︒
∵BOA 90∠=︒
∴OBA OAB 90∠∠+=︒
∵MA 平分BAO ∠
∴BAO 2MAB ∠∠=
由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=
∴2290BAO ∠∠=︒+
又∵2M MAB ∠∠∠=+
∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+
∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+
2M 90∠=︒
M 45∠=︒
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。

8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 、Q 是边AC 、BC 上的两个动点， PD ⊥AB 于点D ， QE ⊥AB 于点E ．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．若点P 从C 点出发沿CA 以每秒3个单位的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回到点C 停止运动；点Q 从点B 出发沿BC 以每秒1个单位的速度向点C 匀速运动，到达点C 后停止运动 ，当t= 时，△APD 和△QBE 全等．
【答案】2或4．
【解析】
试题分析：①0≤t ＜83
时，点P 从C 到A 运动，则AP=AC=CP=8﹣3t ，BQ=t ，当△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即8﹣3t=t ，解得：t=2；
②t≥83
时，点P 从A 到C 运动，则AP=3t ﹣8，BQ=t ，当△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即3t ﹣8=t ，解得：t=4；
综上所述：当t=2s 或4s 时，△ADP ≌△QBE ．
考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．
9．如图，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：
①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
【答案】2
【解析】
根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL 可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC ，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③⇒①，根据SAS 可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.
故答案为：2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
10．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.
【答案】169
【解析】
解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；
∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即
∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC ，以 AB 为底边作等腰 Rt △ABE ，连接 ED ， EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE ≌△BCE ；②CE ⊥DE ；③BD=AF ；
④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（ ）
A ．①③
B ．①②④
C ．①②③④
D ．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】 ①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．
【详解】
∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE ，
在△DAE 和△CBE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；
故①正确；
②∵△ADE ≌△BCE ，
∴∠EDA=∠ECB ，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE ⊥DE ；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，
∴∠BDE=∠AFE ，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE BED
AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴BD=AF ；
故③正确；
④∵AD=BC ，BD=AF ，
∴CD=DF ，
∵AD ⊥BC ，
∴△FDC 是等腰直角三角形，
∵DE ⊥CE ，
∴EF=CE ，
∴S △AEF =S △ACE ，
∵△AEF ≌△BED ，
∴S △AEF =S △BED ，
∴S △BDE =S △ACE ．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．
12．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=
时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32
B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3 个
D ．2个
【答案】B
【解析】解：
∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；
∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；
∵BD =
2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =
252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；
当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =22
1322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=10BC =5AB ．故⑤错误． 故选B ．
点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
13．如图所示，在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且
:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )
A ．70
B ．45
C ．60
D ．48
【答案】D
【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x ，则∠BAD=7x ，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可
知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°
+42°=48°. 故选：D.
点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.
14．如右图，在△ABC 中，点Q ，P 分别是边AC ，BC 上的点，AQ=PQ ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，且PR=PS ，下面四个结论：①AP 平分∠BAC ；②AS=AR ；③BP=QP ；④QP ∥AB ．其中一定正确的是( )
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C
【解析】
试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，
即AP平分∠BAC，故①正确；
∴∠PAR=∠PAQ，
∵AQ=PQ，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴∠APQ=∠PAR，
QP AB
∴，故④正确；
在△APR与△APS中,
AP AP PR PS
=
⎧
⎨
=
⎩，
(HL)
APR APS
∴≌，∴AR=AS，故②正确；
△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.
故选C.
15．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）
A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCO
C．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定
【答案】C
【解析】
根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
16．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）
A．7.5 B．8 C．10D．15
【答案】A
【解析】
作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出
DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=1
2
×BC×DE=7.5，
故选：A．
17．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
=90
AB AE
ABC AEF
BC EF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
AC AF
CD DF
AD AD
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×
1
2
•DF•AE=2×
1
2
×2×2=4．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．
18．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】
【分析】
依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=1
2
，即可得到∠BAD≠30°；连
接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得
AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．
【详解】
∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD=1
2
BC=
1
2
AB，
∴tan∠BAD=1
2，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，
∵B、B′关于AD对称，
∴AD垂直平分BB'，
∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，
∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，
∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，
∴∠AFB=∠BB'C，
又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，
∴∠BAF=∠CBB'，
∴△ABF≌△BCB'，
∴BF=CB'=B'F，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；
由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，
∴△AEF与△CEB'不全等，
∴AE≠CE，
∴S △AFE ≠S △FCE ，故④错误；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
19．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

其中误的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC ，∠EAC=2∠EAD ，∠ACF=2∠DCF ，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出
∠ACF=∠ABC+∠BAC ，∠EAC=∠ABC+∠ACB ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD 平分∠EAC ，
∴∠EAC=2∠EAD ，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB ，∠ABC=∠ACB ，
∴∠EAD=∠ABC ，
∴AD ∥BC ，∴①正确；
∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC ，
∴∠ACB=2∠ADB ，∴②正确；
在△ADC 中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，
∴∠ACD=∠DCF ，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，
1
90
2
ADC ABC ∠=︒-∠，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误；
综上所述，错误的是④⑤
即错误的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力．
20．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，
PA PA PN PH
=⎧⎨=⎩， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
21．如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ．下列结论：
①BD=CD ；②AD+CF=BD ；③CE=12
BF ；④AE=BG ．其中正确的是
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE=1
2 AC.
又由(1)，知BF=AC，
∴CE=1
2
AC=
1
2
BF；故③正确；
连接CG.
∵△BCD 是等腰直角三角形，
∴BD=CD.
又DH ⊥BC ，
∴DH 垂直平分BC.∴BG=CG.
在Rt △CEG 中，
∵CG 是斜边，CE 是直角边，
∴CE<CG.
∵CE=AE ，
∴AE<BG.故④错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.
22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）
A ．A
B CD =
B ．AD B
C = C ．//A
D BC D ．A C ∠=∠
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.
【详解】
解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得
△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；
B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；
C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；
D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定
△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；
故选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.
23．下列两个三角形中,一定全等的是( )
A．两个等边三角形
B．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形
C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
D．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】
解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；
B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．
24．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出
∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=1
2
∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可
得解；
②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；
③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；
④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.
【详解】
解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP=1
2
∠ABC，
∠CAP=1
2（90°+∠ABC）=45°+1
2
∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+1
2
∠ABC+90°-∠ABC）-1
2
∠ABC，
=180°-45°- 1
2
∠ABC-90°+∠ABC-1
2
∠ABC，
=45°，故本小题正确；
②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，
∵∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP 和△FBP 中，
APB FPB PB PB
ABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），
∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；
③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP ，
∵PF ⊥AD ，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP 与△FDP 中，
90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△AHP ≌△FDP （AAS ），
∴DF=AH ，
∵BD=DF+BF ，
∴BD=AH+AB ，
∴BD-AH=AB ，故③小题正确；
④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，
∴AG ⊥DH ，
∵AP=PF ，PF ⊥AD ，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG ，
∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，
∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，
∴DG=AG ，GH=GF ，
∴DG=GH+AF ，
∵AF ＞AP ，
∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.
25．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.
【详解】
∵DE AC ⊥,BF ∥AC,
∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，
∴∠CED=∠F=90︒，
∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，
∴∠DAB+∠DBA=
12
(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒，
∵AD 平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△ADC ≌△ADB,
∴DB=DC ，②正确；
又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ，
∴△CDE ≌△BDF,
∴DE=DF ，①正确；
故选：D.
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.
26．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：
①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋
转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=1
2
S△ABC，上述结论中始终正确有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PB，
∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，
∠ APF+∠BPE=90°，
∴∠APF=∠BPE，
在△BPE和△APF中，
∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，
∴△PFA≌△PEB；故①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，
∴AP=1
2 BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA =S△PEB，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=1
2
S△ABC，故结论④正确；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.
故选：C.
点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.
27．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等
三角形（ ）
A ．8对
B ．7对
C ．6对
D ．5对
【答案】B
【解析】
【分析】 易证△ABC 是关于AF 对称的图形，其中的小三角形也关于AF 对称，共可找出7对三角形.
【详解】
全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB
证明①△AFB≌△AFC
∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC
又∵1122
ABC S AB CE AC BD == ∴CE=BD
∴在Rt△BCE 和Rt△CBD 中
BC BC CE BD =⎧⎨=⎩
∴△BCE≌△CBD
∴B E=CD ，∴AE=AD
在Rt△AEO 和Rt△ADO 中
AE AD AO AO =⎧⎨=⎩
∴△AEO≌△ADO
∴∠EOD=∠DOA
在△BAF 和△CAF 中
AB AC BAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAF≌△CAF，得证
其余全等证明过程类似
故选：B
【点睛】
本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证
全等作准备
28．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt △ODE 中，DE 2=OD 2+OE 2，
在Rt △BOG 中，BG 2=OG 2+OB 2，
在Rt △OBD 中，BD 2=OD 2+OB 2，
在Rt △OEG 中，EG 2=OE 2+OG 2，
∴DE 2+BG 2=(OD 2+OE 2)+(OB 2+OG 2)=(OD 2+OB 2)+(OE 2+OG 2)=BD 2+EG 2.
在Rt △BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2=2a 2，
在Rt △CEG 中，EG 2=CG 2+CE 2=2b 2，
∴BG 2+DE 2=2a 2+2b 2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
29．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：
①BE DF =； ② 15DAF ∠=;
③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．
其中结论正确的共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】
试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，
∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，
∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．
∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=
x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=
， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．
∴综上所述，正确的有3个．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
30．
如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当
PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）
A．PD=DQ B．DE=1
2
AC C．AE=
1
2
CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
【解析】
过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ
中，
FPD Q
PDE CDQ
PF CQ
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，
∵AE=EF，∴DE=1
2
AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=
1
2
AP=
1
2
CQ，∴C选项
正确，故选D．。