离散型随机变量的均值说课稿 教案 教学设计

离散型随机变量的均值
教材整理1 离散型随机变量的数学期望 1.定义
一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).
2.意义
刻画了离散型随机变量的平均取值水平.
1.下列说法正确的有________(填序号).
①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；
③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝
x 1＋x 2＋…＋x n
n
.
【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .
【答案】 ③
2.已知离散型随机变量X 的分布列为：
X 1 2 3 P
35
310
110
则X 的数学期望E (X )＝【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3
2.
【答案】 3
2
3.设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35
教材整理2 常见几种分布的数学期望 阅读教材P 60例1以上部分，完成下列问题.
名称 二点分布 二项分布 超几何分布 公式
E (X )＝p
E (X )＝np
E (X )＝nM N
1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，1
3，则E (X )的值为________. 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝4
3.
【答案】 4
3
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________.
【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以 E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8
二点分布与二项分布的数学期望
某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望.
【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：
X 0 1 P
0.4
0.6
则E (X )＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.
1.常见的两种分布的均值
设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np .
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：
①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .
②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验.
[再练一题]
1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A.100
B.200
C.300
D.400
(2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )
X 0 1 P
m 2m
A.19
B.29
C.13
D.23
【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为 1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
(2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝2
3.
【答案】 (1)B (2)D
求离散型随机变量的数学期望
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集
中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.
【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.
【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23
C 26＝1－15＝45
.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1
C 26
＝
1
15
. 从而知ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 P
13
415
15
215
115
所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝4
3
.
求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.
2.求出ξ的每个值的概率.
3.写出ξ的分布列.
4.利用定义求出数学期望.
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.
[再练一题]
2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及数学期望.
【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝3
10，
P (X ＝3)＝25×14×1＝1
10.
抽取次数X 的分布列为
X 1 2 3 P
3
5
310
110
E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3
2
.
[探究共研型]
离散型随机变量的均值实际应用
探究1 某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？
【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝
1)＝0.7.
探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
【提示】 每次平均得分为
8
10
＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数.
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，
三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .
(1)求X 的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P (X ＝6)＝126
200
＝0.63，
P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20
200＝0.1，
P (X ＝－2)＝4
200＝0.02.
故X 的分布列为：
X 6 2 1 －2 P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. (3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29).
依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1.实际问题中的期望问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.
2.概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.
[再练一题]
3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2-3-1甲和图乙所示.
图2-3-1
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).
【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，
P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×
0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高.。