河北省石家庄市2019届高三毕业班教学质量检测数学(理)试卷扫描版含答案

石家庄市2018-2019 学年高中毕业班质量
检测
试
题
理科数学答案一、选
择
题
1-5 ADDBC 6-10 CACAB 11-12 BD
二、填空题
13．
2
x (0, ), x x 2 14．26
15. π16. 2 3
三、解答题
17 解：（1）设a的公比为q ，
n
由a2 a3 12得 2 12
q q ，⋯⋯⋯⋯
1 分
解得q 3，或q 4 ，⋯⋯⋯⋯ 3 分
因 a 各项都为正数，所以q 0，所以q 3，所以n
n 1
a 3 ，⋯⋯⋯⋯
5 分
n
(2)b n
1 1 (n 2)log a n(n 2)
3 n 1
⋯⋯⋯⋯ 6 分
1 1 1 ( ) 2n n
2 ⋯⋯⋯⋯8 分
S n
1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ⋯+ ) ⋯⋯⋯⋯
10 分
2 3 2 4 n 1 n 1 n n 2
=
32n 3
4 2(n 1)(n 2)
⋯⋯⋯⋯
12
分
18. 解:（Ⅰ）x 6，y 8.3，7xy 348.6，
- 5 -
7
x y 7xy
i
i
359.6 348.6 11
?
1.571
i 1
b
7
2
2
259 7 36
7
x
7x
i i 1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
2 分
a y bx 8.3-1.571 6 -1.126 -1.13
那么回归直线方程为： y ? 1.57 x 1.13 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
将 x 8代入方程得 y ?
1.57 8 1.13 11.43
即该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元 .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6
分
（Ⅱ）由题意可知，
年份
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 19.
2
1.9
2.1
2.4 2.6
3.6 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
的可能取值为 1,2,3， P(
1)
2
1
C C
2 5
3
C
7
1 7 ;
P( 2)
1
2
C C
2 5
3
C
7
4 7 ;
P( 3)
3
C
C
5
3 7
2 7
;
则分布列为
1
2
3
P
1
4 2 7 7 7
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
1
4 2 15
E( ) 1
2
3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分
7
7
7 7
19．解：（1）因为侧面
ABB 1A 1 为菱形，所以
A B
AB 1 1
，
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
2 分
因为 A
1C BC ，连接C O ，所以
A B CO 1
， AB 1 CO O ，
C
C 1 所以 A 1B
平面 A BC
1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
A
A 1
（2）解法一：
O
所以AC B C ，又
1 AC
B C
1
，可得
CO AB ，CO 平面ABB1A1 ，
1
- 6 -
令
B B ，A
C B1C则C O 1，-------------------------6 分
1 2
如图，以OB 所在的直线为x 轴，以OB1 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴建立坐标系．
A(0, 1,0), B( 3,0,0), C (0,0,1), A(3,0,0)
1
AB ( 3,1,0), AC (0,1,1), AA ( 3,1,0), AC ( 3,0,1)
1 1
------8 分
设平面ABC 的法向量为
n1 (x, y,z)
n AB 0 3x y 0
1
n AC 1 0 y z 0
，令x 1，则
n1 (1, 3, 3)
同理平面A AC 的法向量为n2 (1, 3, 3) ------------------------------10 分1
cos n n
1 2
n n
1 2
5
7
所以，二面角 B AC A1 的余弦值为.--------------------------12 分（2）解法二：
因为CBA CBB1，AB BB1,BC BC ，则C BA CBB1，
所以AC B C
1
，设AB 2 ，因为ABB1 60 ，侧面ABB A 为
1 1
菱形，所以AB1 2，
又因为AC B1C ，可得AC 2, CO 1，--------------------6 分
所以BC 2 ，因此ABC 为等腰三角形，
那么A AC也为等腰三角形，取A C 的中点M ，连接B M , A M ，则B MA1 为二面角
1 1
B A
C A
1 的平面角，⋯⋯⋯⋯8 分
在
14 BMA 中，可得 1 1
1
2
- 7 -
所以
cos BMA
1
2 2 2
BM A M
A B
5
1
1
2BM A M
7
1
所以，二面角
B A
C A 1 的余弦值为
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分
20．解 :(1)由题意可得
3 2 c
= ，
a
1 3
+
=
，又 a 2 - b 2 = c 2 ，⋯ ⋯ ⋯ 2
分
1
2
2
a 4b
解得 a 2 = 4 ， b 2 = 1 . 所以，椭圆C 的方程为
2
x 4
2
1 + =
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
y
4 分
(2)存在定点 Q
骣 4 3
?
÷
，满足直线Q A 与直线Q B 恰关于 x 轴对称 . ?
, 0÷
? ÷
? 3 桫
设直线l 的方程为 x + my -
3 = 0，与椭圆C 联立，整理得，
( )
2
2
4 + m y - 2 3my - 1 = 0 .
设
( )
1, 1
则由韦达定理可得，
2 3m y + y =
1
2
2
4 + m
- 1 ，
y y =
1 2
2
4 + m
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
6 分 直线Q A 与直线Q B 恰关于 x 轴对称，等价于 A Q, BQ 的斜率互为相反数. y
y
所
以
，
1
2
+
=
x - t
x - t
1
2
， 即 得
(
) (
)
y 1
-
x 2
+
0 .t
2
- y
1
⋯=⋯ x ⋯ ⋯ ⋯ 8 分 t
又x1 + my1 - 3 = 0，x2 + my2 - 3 = 0，
所以，y
( - my - t )+ y ( - my - t )= ，整理得，( )( )
1 3
2 2
3 1 0 3 - t y + y - 2my y = 0 .
1 2 1 2
2 3m - 1
从而可得，( )
3 - t ? 2m ? 0
2 2
4 + m 4 + m ，⋯⋯⋯10 分
即2m
(4 - 3t)= 0，
所以，当 4 3
t = ，即
3 Q
骣
4 3
? ÷
÷
时，直线Q A 与直线Q B 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直? , 0÷
? ÷
?
桫3
- 8 -
骣骣
线
l为
x轴时， 4 3 , 0 也符合题意. 综上所述，存在x 轴上的定点4 3 , 0
? ÷? ÷
Q
? ÷Q ? ÷，满足直线Q A
? ÷? ÷
? 3 ? 3
桫桫
与直线
Q B 恰关于x 轴对称.⋯⋯⋯12 分
16.解:(1)函数的定义域为(- ? ,1).
2
a - x + x - a
由题意，( )
f ￠x = x - =
1-x 1 - x
.
（i）若a 3
1
4 - + - ? ，于是 f ￠
(x ) ￡0，当且仅当
x x a
2 0
，则
1 1
a = ,x =
4 2
时，f ￠(x ) = 0 ，
所以 f (x ) 在(- ? ,1) 单调递减. ⋯⋯⋯ 1 分
（ii ）若0 1
< < ，由f ￠(x) = 0 ，得 1 1 4
a = 或
- - a
x
4 2 x
1+ 1 - 4a
= ，
2
当x
骣- - 鼢骣+-
1 1 4a 1 1 4a
珑鼢
U 时，f ￠(x ) < 0 ；
珑, , 1
?珑?鼢
2 2
桫桫
当x
骣
-- + - ÷
1 1 4a 1 1 4a
? ÷
? ?桫÷时，f ￠(x )> 0；? ,
2 2
所以 f (x) 在骣- - 鼢骣+-
1 1 4a 1 1 4a
珑鼢
珑
-? 鼢
, , ,1
珑鼢
珑 2 2
桫桫
单调递
减，
骣-- + - ÷
1 1 4a 1 1 4a
? ÷
? , ÷单调递
? ÷
? 2 2
桫
增.
⋯⋯⋯ 3 分
（iii ）若a ￡0 ，则
1 1 4 1
+ - a
x = ? ，
2
当x
骣- - ÷
1 1 4a
? ÷
? ?桫? ÷时，f ￠(x )< 0 ；当
? ,
2
x
骣-- ÷
1 1 4a
? ÷
? ?桫÷时，f ￠(x) > 0 ；
? ,1
2
所以f (x )在骣- - ÷
1 1 4a
? ÷
?- ? ÷
,
单调递
减，
? ÷
? 2
桫
骣-- ÷
1 1 4a
? ÷
? ,1÷单调递增.
? ÷
? 2
桫
综上所述，当 1
a 3 时，函数 f (x) 在(- ? ,1)上单调递减；
4
当0 1
< < 时，函数 f (x ) 在a
4 骣- - 鼢骣+-
1 1 4a 1 1 4a
珑鼢
珑-? , 鼢, ,1
珑鼢
珑
2 2
桫桫
上单调递减，
骣
-- + - ÷
1 1 4a 1 1 4a
? ÷
, 上单调递增；
? ÷
? ÷ ?
2 2
桫
- 9 -
当a ￡0时
，函数 f (x) 在骣- - ÷
1 1 4a
? ÷
?- ? , ÷
? ÷
上单调递减，
? 2
桫
骣-- ÷
1 1 4a
? ÷
? ,1÷
? ÷
上单调递
? 2
桫
增. ⋯⋯⋯ 5 分
（2）由（1）知， f (x ) 有两个极值点当且仅当0 1
< a < ，⋯⋯⋯⋯ 6
4
分
由于 f (x ) 的两个极值点
x1,x2满足- x2 + x - a =0 ，所以x1 + x 2 = 1,x 1?x 2 a ，则
1 < x < ，
1
2
由于
1 1 1 1
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
f x - x = x + a ln 1-x - x = 1 - x + x x ln x - x = + x - 2x + x 1 - x ln x
2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
⋯
⋯⋯8 分
骣
1 1 1
设( ) 2 ( )
? ÷
g x = + x - x + x - x x ?桫< x < ?÷.
2 1 ln 0
2 2 2
1
￠= - + - + - = - - .
( ) ( ) ( ) ( )
g x x 2 1 2x ln x x 1 x 1 2x ln x 1
x
当
1
x <时，(1 - x ) x <2l，n 所以0
1
2
( ) 0
g￠x < . ⋯⋯⋯10 分
所以g(x )在骣骣÷+
1 1 1 1 1 1 3 ln 4 ? ÷? ? + - + = -
0, 单调递减，又g 1 ln
÷
? ÷? ÷
? ÷? ÷
桫 2 2 8 4 2 8
.
2 桫
骣÷+
1 3 l n 所以( )
?
g x g
> 桫?÷?- ，即
2 8
3 + ln 4
( 2 ) - 1 > - . ⋯⋯⋯12
分f x x
8
22．
解：（1）由得2 4 cos ，
2 2
所以曲线的方程为
x 2 y 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
设曲线
上任意一点x, y ，变换后对应的点为x , y ，
1
x x 则 2
y y, 2 ,
即
x2x 2,
y y ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯ 4 分
代入曲线的方程 2 2
x 2 y 4 中，整理得
2
y
2 1 x ,
4
- 10 -
所以曲线
C的直角坐标方程为
2
2
y
2 1
x ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
4
（2）设Q cos ,2sin ，则Q到直线l：3x 2y8 0 的距离为3cos 4sin 8
d ，
13
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
5cos 8
13
tan
其中为锐角，且
4
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯9 分
当cos 1时，d 取得最大值为13，
所以点Q到直线l距离的最大值为13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
23．
解：（1）不等式 f x 5 f x 3 ，即x 1 x 2 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
等价于
x1,
x 1 x 2 5, 或
1 x 2,
x 1 x 2 5,
或
x 2,
x 1 x 2 5, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
解得 2 x 3，
所以原不等式的解集为x 2 x 3 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）当x 1,1 时，不等式 2 f x x a x 4，即x a 2 x ，
所以x a 2 x在1,1 上有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 2 a 2 2x在1,1 上有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
所以， 2 a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
- 11 -。