《电力系统分析》第十章 电力系统的静态稳定性
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US0 US j(XT X l )I 1 j0.5 (0.8 j0.6) 0.81e j29.74
0 27.93 (29.74 ) 57.67
Psl
Eq0U S 0 X d
1.88 0.81 0.95 1.1 0.5
U d U S0 sin 0 0.85 sin 44.24 0.593
Iq
I
Uq US0 cos0 0.85 cos44.24 0.609
Id Ud
d
Eq U q I d X d 0.609 0.905 (0.23 0.3) 1.089
S/ UG
0.8
j0.6
1e j36.87
Eq0 UG jX d I 1 j1.1 (0.8 j0.6) 1.66 j0.88 1.88e j27.93
US0 UG j( XT X l )I 1 j0.3 (0.8 j0.6) 0.82 j0.24 0.85e j16.31
1 4TJ2
(D2
4TJ SEq
)
根据 p1,2 的情形可得到系统稳定性的情形
1. 特征根为两个实数，此时必有
D2 4TJ SEq 2. 特征根为一对共轭复数，此时必有
D2 4TJ SEq
p1,2
D 2TJ
j
1 4TJ2
(4TJ SEq
D2 )
r
j
系统稳定与否，取决于特征根的实部，也即 D 的符号(正或负)。
a
0 a
a
t=0
t
2.静态不稳定
扰动使 b b' ( P )， Eqb' PEq (0) Pb' Pm PEqb' 0 M 0 加速 不再回到b点 非周期失步
如图中实线所示
b
b''
M 0
( P )， Eqb''
减速
PEq (0) Pb'' Pm
功角特性
PEq
EqU S0 sin
X d
U
2 S0
2
X d X d X d X d
sin 2
1.089 0.85 sin 0.85 2 1.1 0.23 sin 2
0.23 .03
2 1.1 0.23
1.75sin 1.46sin 2
（3）Kc 过大时，电力系统中可能出现低频的自发振荡现象。
（4）Kc 过大将会出现同步发电机的自励磁现象。
考虑以上限制条件，串联电容器的补偿度一般以小于0.5为宜。
五、改善电力系统的结构
（1）增加电力线路的回路数 （2）加强电力线路两端系统各自内部的联系。 （3）在电力系统中间接入中间调相机或接入中间电力系统。
四、采用串联电容器补偿
首先要解决的是补偿度问题。串联电容器补偿度 K c
Xc Xl
一般讲，Kc 愈大，电力线路补偿后的总电抗愈小，对提高静态稳
定性愈有利。但Kc 受以下条件限制，不可能无限制增大。
（1）短路电流不能过大。
（2）Kc 过大时(Kc 1)，短路电流呈容性，这时电流、电压相位
关系的紊乱将引起某些保护装置的误动作。
p(0)
SEq S S E'q UG
0 0
t
图10-8 调节励磁对静态稳定的影响
综上所述，自动调节励磁装置可以等效地减少发电机的电抗。
当无调节励磁时，对于隐极式同步发电机的空载电动势 Eq 常数，
其等值电抗为 。X当d 按变量的偏移调节励磁时，可使发电机的暂
态电动势
常Eq'数，其等值电抗为
~
系统的等值网络
.
Eq
jXd
jXT1
jXL
其功－角特性
jXL
PEq
EqU Xd
sin
Xd
1 Xd XT1 2 XL XT2
.
U 定值 jXT2
功－角特性曲线，如下图所示。
P
PE.max Psl
c
a
a
b b
pm pEq (0)
a
b
0
a
90
C1e p1t C2e p2t
系统静态稳定性的判断 (1) 非周期失去静态稳定性。当TJ 0, SEq 0 时，特征方程式有
正负实根，此时 随 t增大而增大，关系曲线如图。
1
2
0
t
(2) 周期性等幅振荡。在TJ 0,SEq 0时，特征值为一对共轭
如果特征方程式的根都位于复数平面上虚轴的左侧，未受扰动 的运动是稳定运动；反之，只要有一个根位于虚轴的右侧，未受扰 动的运动就是不稳定运动。
习题10-14 解 系统等值电路如图。
EG
X G I X T X l
S UG
US
(1) S 0.8 j0.6, UG 10
I
PEq0 0.95 sin 57.67 0.86
KP%
Psl PEq0 PEq 0
100%
0.95 0.86 100% 0.86
10.46%
(5)
第三节 调节励磁对电力系统静态稳定性的影响
一、不连续调节励磁对静态稳定性的影响
手动调节或机械调节器的励磁调节过程是不连续的，如图10-5 所示。
TJ
d 2 ( )
dt 2
S Eq
D
d ( )
dt
即
TJ
d 2 ( )
dt 2
D
d ( )
dt
S Eq
0（近似线性化方程）
特征方程 特征根
TJ p2 D p SEq 0
p1,2
1 2TJ
[D
D2
4TJ
S Eq
]
D 2TJ
一、采用自动调节励磁装置
如果按运行状态变量的导数调节，则可以维持发电机端电压为 常数。这相当于发电机的电抗减小为零。
二、减小线路电抗
采用分裂导线，可以减小架空电力线路的电抗。
三、提高电力线路的额定电压
在电力线路始末端电压间相位角保持不变的前提下，沿电力线 路传输的有功功率将近似地与电力线路额定电压的平方成正比。换 言之，提高电力线路的额定电压相当于减小电力线路的电抗。
运行点的转移，发电机端电压和空载电动势的变化将分别如
图10-5(a)、(b)中的折线 a a' b b' c c' d d ' e。
二、对电力系统静态稳定性的简单综述
f
pபைடு நூலகம்
（1）励磁不调节。如图10-8中a点
e
PUGmax
（2）励磁不连续调节。如图10-8中b
d
UG UG(0) 定值
（1）D 0 ，负阻尼，r 0，方程的解为
C1e(r j )t C2e(r j )t Cert sin(t )
不稳定，如图。
0
（2）D 0 ，正阻尼，r 0，方程的解仍为上式，系统是静态
稳定的。
0
t
三、小扰动法理论的实质
小扰动法是根据受扰动运动的线性化微分方程式组的特征方程 式的根，来判断未受扰动的运动是否稳定的方法。
习题10-15 (1)设机组为隐极式. 功角特性为
PEq
EqU S X d
sin
1.07 1.0 sin
1.5
0.71sin
整步功率系数
a,如图虚线所示
PEqb''
0
b'
b
°
b
b ''°
0
t=0
t
二、电力系统静态稳定的实用判据
根据
SEq
dpEq
d
0
判断同步发电机并列运行的静态稳定性。
SEq ：整步功率系数,如图。
PEq SEq
SEq
PEq
0
90
180
（º）
三、静态稳定的储备
静态稳定储备系数
Kp%
Psl PEq(0) PEq ( 0 )
点。
b
（3）励磁按某一个变量偏移调节。 如图10-8中c点。
PEq' max
c E'q
E' q(0)
定值
（4）励磁按变量偏移复合调节。如 图10-8中d点。
PEqmax
a
Eq Eq(0) 定值
（5）励磁按变量导数调节。如图108中e点。
（6）励磁按变量导数调节，但不限 发电机端电压。如图10-8中f点。
Eq
所以(根据隐极式发电机的相量图)
Uq
Id I sin(0 ) 1 sin(44.24 20.56) 0.905
E jIX d U
jId X d
jIq X d
Iq I cos(0 ) 1 cos(44.24 20.56) 0.426
第十章 电力系统的静态稳定性
• 电力系统静态稳定性的基本概念 • 小扰动法的基本原理和在分析电力系统静态
稳定性中的应用 • 调节励磁对电力系统静态稳定性的影响 • 保证和提高电力系统静态稳定性的措施
第一节 电力系统静态稳定性的基本概念
一、电力系统静态稳定的定性分析
简单电力系统
G
T1
L
G
.
T2 U 定值
b
180
在a、b两点运行时受到微小扰动后的情况分析
（º）
１.静态稳定
扰动使 a a ' ( P )， Eqa' PEq (0) Pa' Pm PEqa' 0 M 0 减速 a ' a ,如图中实线所示
a a '' ( P )， Eqa'' PEq (0) Pa'' Pm PEqa'' 0 M 0 加速 a'' a ,如图中虚线所示
100%
正常运行时，K p 为15％～20％；事故后 K p 不应小于10％。
第二节 小扰动法的基本原理和在分析 电力系统静态稳定性中的应用
一、小扰动法的基本原理
李雅普诺夫运动稳定性理论 一个系统，若存在正定函数
V V (x) V (x1, x2 , , xn ) 0
对时间的导数负定，即 dV 0 ，则系统是稳定的。 dt
0 Eq0 US0 27.93 (16.31) 44.24
(2)
Psl
Eq0U S 0 X d
1.88 0.85 1.1 0.3
1.141
(3)功率因数角
q
Eq
jIX d
16.31 (36.87 ) 20.56
P
G F
UG 定值 UG Eq b U G c
d
e
Pesl m
a
E
m
dd' D
c c' C b b' B
A a a'
Eq 定值
a'
b'
c'
d'
e
b Eq c
a a'
b'
d c'
d'
0 30 60 90 120 150180 （º）
(a)
(b)
图10-5 不连续调节励磁
(a)功-角特性曲线；(b)发电机端电压和空载电动势的变化
。X如' 按导数调节励磁时，且 d
可维持发电机端电压 常数UG，则发电机的等值电抗变为
零。如最后可调至f点电压为常数，此时相当于发电机的等值电抗
为负值。如果f为变压器高压母线上一点，则此时相当于把发电机
和变压器的电抗都调为零。
第五节 保证和提高电力系统静态稳定性的措施
根本措施—缩短“电气距离”，也就是减小各电气元件的阻抗， 主要是电抗。
复数，是一种静态稳定的临界状态，如图。
0
t
2. 有阻尼的情形。
阻尼功率 d
PD D dt
单机-无穷大系统中发电机的功角特性
d 2
d
TJ dt 2 Pm PEq PD Pm PEq D dt
稳态运行点（平衡点）
0,
d 0,
dt
d 2 0
令 dPEq 0, 可得 124.9, 即在此情形下, 功率极限出现在 d
m 124 .9, 于是功率极限为
Psl 1.75 sin 124 .9 1.46 sin(2 124 .9) 2.81
(4)在此情形下, S , I, Eq0 同(1)、（2），但
二、用小扰动法分析简单电力系统的静态稳定性
1.无阻尼情形
同步发电机组受扰运动的近似线性化方程
TJ
d 2
dt 2
(
dpEq
d
)
0
0
上式也称微振荡方程。其特征方程 TJ p2 SEq 0
的根（系统特征值） p1,2 SEq TJ
与之对应的同步发电机组线性微分方程式的解为
dt 2
所以
Pm PEq (0 ) PEq (0)
在小扰动下
0
P | 将 Eq 0 展开成泰勒级数，并略去高阶无穷小量，得
TJ
d 2 (0 )
dt 2
Pm
PEq (0)
dPEq
d
| 0
D
d (0 )
dt
0 为常数，所以
0 27.93 (29.74 ) 57.67
Psl
Eq0U S 0 X d
1.88 0.81 0.95 1.1 0.5
U d U S0 sin 0 0.85 sin 44.24 0.593
Iq
I
Uq US0 cos0 0.85 cos44.24 0.609
Id Ud
d
Eq U q I d X d 0.609 0.905 (0.23 0.3) 1.089
S/ UG
0.8
j0.6
1e j36.87
Eq0 UG jX d I 1 j1.1 (0.8 j0.6) 1.66 j0.88 1.88e j27.93
US0 UG j( XT X l )I 1 j0.3 (0.8 j0.6) 0.82 j0.24 0.85e j16.31
1 4TJ2
(D2
4TJ SEq
)
根据 p1,2 的情形可得到系统稳定性的情形
1. 特征根为两个实数，此时必有
D2 4TJ SEq 2. 特征根为一对共轭复数，此时必有
D2 4TJ SEq
p1,2
D 2TJ
j
1 4TJ2
(4TJ SEq
D2 )
r
j
系统稳定与否，取决于特征根的实部，也即 D 的符号(正或负)。
a
0 a
a
t=0
t
2.静态不稳定
扰动使 b b' ( P )， Eqb' PEq (0) Pb' Pm PEqb' 0 M 0 加速 不再回到b点 非周期失步
如图中实线所示
b
b''
M 0
( P )， Eqb''
减速
PEq (0) Pb'' Pm
功角特性
PEq
EqU S0 sin
X d
U
2 S0
2
X d X d X d X d
sin 2
1.089 0.85 sin 0.85 2 1.1 0.23 sin 2
0.23 .03
2 1.1 0.23
1.75sin 1.46sin 2
（3）Kc 过大时，电力系统中可能出现低频的自发振荡现象。
（4）Kc 过大将会出现同步发电机的自励磁现象。
考虑以上限制条件，串联电容器的补偿度一般以小于0.5为宜。
五、改善电力系统的结构
（1）增加电力线路的回路数 （2）加强电力线路两端系统各自内部的联系。 （3）在电力系统中间接入中间调相机或接入中间电力系统。
四、采用串联电容器补偿
首先要解决的是补偿度问题。串联电容器补偿度 K c
Xc Xl
一般讲，Kc 愈大，电力线路补偿后的总电抗愈小，对提高静态稳
定性愈有利。但Kc 受以下条件限制，不可能无限制增大。
（1）短路电流不能过大。
（2）Kc 过大时(Kc 1)，短路电流呈容性，这时电流、电压相位
关系的紊乱将引起某些保护装置的误动作。
p(0)
SEq S S E'q UG
0 0
t
图10-8 调节励磁对静态稳定的影响
综上所述，自动调节励磁装置可以等效地减少发电机的电抗。
当无调节励磁时，对于隐极式同步发电机的空载电动势 Eq 常数，
其等值电抗为 。X当d 按变量的偏移调节励磁时，可使发电机的暂
态电动势
常Eq'数，其等值电抗为
~
系统的等值网络
.
Eq
jXd
jXT1
jXL
其功－角特性
jXL
PEq
EqU Xd
sin
Xd
1 Xd XT1 2 XL XT2
.
U 定值 jXT2
功－角特性曲线，如下图所示。
P
PE.max Psl
c
a
a
b b
pm pEq (0)
a
b
0
a
90
C1e p1t C2e p2t
系统静态稳定性的判断 (1) 非周期失去静态稳定性。当TJ 0, SEq 0 时，特征方程式有
正负实根，此时 随 t增大而增大，关系曲线如图。
1
2
0
t
(2) 周期性等幅振荡。在TJ 0,SEq 0时，特征值为一对共轭
如果特征方程式的根都位于复数平面上虚轴的左侧，未受扰动 的运动是稳定运动；反之，只要有一个根位于虚轴的右侧，未受扰 动的运动就是不稳定运动。
习题10-14 解 系统等值电路如图。
EG
X G I X T X l
S UG
US
(1) S 0.8 j0.6, UG 10
I
PEq0 0.95 sin 57.67 0.86
KP%
Psl PEq0 PEq 0
100%
0.95 0.86 100% 0.86
10.46%
(5)
第三节 调节励磁对电力系统静态稳定性的影响
一、不连续调节励磁对静态稳定性的影响
手动调节或机械调节器的励磁调节过程是不连续的，如图10-5 所示。
TJ
d 2 ( )
dt 2
S Eq
D
d ( )
dt
即
TJ
d 2 ( )
dt 2
D
d ( )
dt
S Eq
0（近似线性化方程）
特征方程 特征根
TJ p2 D p SEq 0
p1,2
1 2TJ
[D
D2
4TJ
S Eq
]
D 2TJ
一、采用自动调节励磁装置
如果按运行状态变量的导数调节，则可以维持发电机端电压为 常数。这相当于发电机的电抗减小为零。
二、减小线路电抗
采用分裂导线，可以减小架空电力线路的电抗。
三、提高电力线路的额定电压
在电力线路始末端电压间相位角保持不变的前提下，沿电力线 路传输的有功功率将近似地与电力线路额定电压的平方成正比。换 言之，提高电力线路的额定电压相当于减小电力线路的电抗。
运行点的转移，发电机端电压和空载电动势的变化将分别如
图10-5(a)、(b)中的折线 a a' b b' c c' d d ' e。
二、对电力系统静态稳定性的简单综述
f
pபைடு நூலகம்
（1）励磁不调节。如图10-8中a点
e
PUGmax
（2）励磁不连续调节。如图10-8中b
d
UG UG(0) 定值
（1）D 0 ，负阻尼，r 0，方程的解为
C1e(r j )t C2e(r j )t Cert sin(t )
不稳定，如图。
0
（2）D 0 ，正阻尼，r 0，方程的解仍为上式，系统是静态
稳定的。
0
t
三、小扰动法理论的实质
小扰动法是根据受扰动运动的线性化微分方程式组的特征方程 式的根，来判断未受扰动的运动是否稳定的方法。
习题10-15 (1)设机组为隐极式. 功角特性为
PEq
EqU S X d
sin
1.07 1.0 sin
1.5
0.71sin
整步功率系数
a,如图虚线所示
PEqb''
0
b'
b
°
b
b ''°
0
t=0
t
二、电力系统静态稳定的实用判据
根据
SEq
dpEq
d
0
判断同步发电机并列运行的静态稳定性。
SEq ：整步功率系数,如图。
PEq SEq
SEq
PEq
0
90
180
（º）
三、静态稳定的储备
静态稳定储备系数
Kp%
Psl PEq(0) PEq ( 0 )
点。
b
（3）励磁按某一个变量偏移调节。 如图10-8中c点。
PEq' max
c E'q
E' q(0)
定值
（4）励磁按变量偏移复合调节。如 图10-8中d点。
PEqmax
a
Eq Eq(0) 定值
（5）励磁按变量导数调节。如图108中e点。
（6）励磁按变量导数调节，但不限 发电机端电压。如图10-8中f点。
Eq
所以(根据隐极式发电机的相量图)
Uq
Id I sin(0 ) 1 sin(44.24 20.56) 0.905
E jIX d U
jId X d
jIq X d
Iq I cos(0 ) 1 cos(44.24 20.56) 0.426
第十章 电力系统的静态稳定性
• 电力系统静态稳定性的基本概念 • 小扰动法的基本原理和在分析电力系统静态
稳定性中的应用 • 调节励磁对电力系统静态稳定性的影响 • 保证和提高电力系统静态稳定性的措施
第一节 电力系统静态稳定性的基本概念
一、电力系统静态稳定的定性分析
简单电力系统
G
T1
L
G
.
T2 U 定值
b
180
在a、b两点运行时受到微小扰动后的情况分析
（º）
１.静态稳定
扰动使 a a ' ( P )， Eqa' PEq (0) Pa' Pm PEqa' 0 M 0 减速 a ' a ,如图中实线所示
a a '' ( P )， Eqa'' PEq (0) Pa'' Pm PEqa'' 0 M 0 加速 a'' a ,如图中虚线所示
100%
正常运行时，K p 为15％～20％；事故后 K p 不应小于10％。
第二节 小扰动法的基本原理和在分析 电力系统静态稳定性中的应用
一、小扰动法的基本原理
李雅普诺夫运动稳定性理论 一个系统，若存在正定函数
V V (x) V (x1, x2 , , xn ) 0
对时间的导数负定，即 dV 0 ，则系统是稳定的。 dt
0 Eq0 US0 27.93 (16.31) 44.24
(2)
Psl
Eq0U S 0 X d
1.88 0.85 1.1 0.3
1.141
(3)功率因数角
q
Eq
jIX d
16.31 (36.87 ) 20.56
P
G F
UG 定值 UG Eq b U G c
d
e
Pesl m
a
E
m
dd' D
c c' C b b' B
A a a'
Eq 定值
a'
b'
c'
d'
e
b Eq c
a a'
b'
d c'
d'
0 30 60 90 120 150180 （º）
(a)
(b)
图10-5 不连续调节励磁
(a)功-角特性曲线；(b)发电机端电压和空载电动势的变化
。X如' 按导数调节励磁时，且 d
可维持发电机端电压 常数UG，则发电机的等值电抗变为
零。如最后可调至f点电压为常数，此时相当于发电机的等值电抗
为负值。如果f为变压器高压母线上一点，则此时相当于把发电机
和变压器的电抗都调为零。
第五节 保证和提高电力系统静态稳定性的措施
根本措施—缩短“电气距离”，也就是减小各电气元件的阻抗， 主要是电抗。
复数，是一种静态稳定的临界状态，如图。
0
t
2. 有阻尼的情形。
阻尼功率 d
PD D dt
单机-无穷大系统中发电机的功角特性
d 2
d
TJ dt 2 Pm PEq PD Pm PEq D dt
稳态运行点（平衡点）
0,
d 0,
dt
d 2 0
令 dPEq 0, 可得 124.9, 即在此情形下, 功率极限出现在 d
m 124 .9, 于是功率极限为
Psl 1.75 sin 124 .9 1.46 sin(2 124 .9) 2.81
(4)在此情形下, S , I, Eq0 同(1)、（2），但
二、用小扰动法分析简单电力系统的静态稳定性
1.无阻尼情形
同步发电机组受扰运动的近似线性化方程
TJ
d 2
dt 2
(
dpEq
d
)
0
0
上式也称微振荡方程。其特征方程 TJ p2 SEq 0
的根（系统特征值） p1,2 SEq TJ
与之对应的同步发电机组线性微分方程式的解为
dt 2
所以
Pm PEq (0 ) PEq (0)
在小扰动下
0
P | 将 Eq 0 展开成泰勒级数，并略去高阶无穷小量，得
TJ
d 2 (0 )
dt 2
Pm
PEq (0)
dPEq
d
| 0
D
d (0 )
dt
0 为常数，所以