2022-2023长沙市第一中学高一入学考试数学试卷

长沙市第一中学2022—2023学年度高一第二学期入学考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设U =R ，已知集合{}1A x x =≥，{}
B x x a =>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是( )
A.(),1-∞
B.(],1-∞
C.[)1,+∞
D.()1,+∞
2.已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.“()()110b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的( )条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
4.函数cos tan 2
2y x x x π
π⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是( )
A.2
1
C.
9
4
D.
52
6.已知()f x 为偶函数，且函数()()g x xf x =在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()1221x f x --+
()0xf x <的解集为( )
A.1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B.(),1-∞
C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D.()1,+∞
7.已知02π
βαπ<<
<<，且1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2
αβ
+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( )
A.
27
B.27-
C.3
D.3
-
8.设函数()2
2f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f
f x <的解集为空集，
则实数a 的取值范围为( )
A.11,22⎡--+⎢⎣⎦
B.10,2⎛-+ ⎝
⎦
C.⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
D.⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知α是第一象限角，那么
2
α
可能是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
10.某同学在研究函数()2
1
x f x x =+时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是( )
A.函数()f x 的定义域是R
B.函数()f x 的值域为[)0,+∞
C.函数()f x 在R 上单调递增
D.方程()2f x =有实根
11.已知()0,απ∈，且1
sin cos 5
αα+=
，则( )
A.
2
π
απ<<
B.cos 410
πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭ C.24sin 225
α=-
D.7cos 225
α=-
12.已知()22
22,0,
log ,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩函数()()g x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足
1234x x x x <<<.则下列结论中正确的是( )
A.02b <<
B.
311
42
x ≤< C.()()1234x x x x ++的取值范围是175,2
2⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭ D.()()()11223434x f x x f x x x f x x +++的取值范围是2
2175log ,log 648⎡
⎫⎪⎢⎣⎭
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数()12
log ,0,
2,0,
x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩则()2f f ⎡⎤=⎣⎦_________. 14.已知tan 3α=，则
()()
sin cos sin cos 22αππαππαα-+-=
⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
_________.
15.已知()232log log 1a
a b b c c k k +=+=+=<，则a ，b ，c 从小到大的关系是_________.
16.已知函数3cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，55,66x t t ππ⎡⎫⎛
⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝
⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是
_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
设()(
)ln 1f x x =+A ，集合{}
23B x m x m =<<+，
(1)若1m =，求A B ，()
A B R ；
(2)若(
)R
B A 中只有一个整数，求实数m 的取值范围.
2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十
四号航天员“会师”太空.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0ln
M
v v m
=⋅计算火箭的最大速度()m /s v ，其中()0m /s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭(除推进剂外)的质量，()kg M 是推进剂与火箭
质量的总和，
M
m
称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为300m /s . (1)当总质比为800时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的12
，若要使火箭的最大速度至少增加300m /s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
(参考数据：ln800 6.7≈，2.718e 2.719<<)
19.(本小题满分12分)
已知函数()2x a f x x
+=，
()0,x ∈+∞
，其中0a >. (1)若()f x 的图象与直线2y =没有公共点，求实数a 的取值范围； (2)当1a =时，函数()()()2
g x f x mf x =+的最小值为8-，求实数m 的值.
已知1tan 7α=
，()cos 5
αβ+=，α，β都是锐角. (1)求cos β的值； (2)求2αβ+的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()41
log 0,12x a x
f x a a +=>≠.
(1)判断()f x 的奇偶性，讨论()f x 在[)0,+∞上的单调性并证明；
(2)已知()1g x x =-，若对[]11,1x ∀∈-，[]20,9x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
已知函数())4cos sin 03f x x x πωωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭，若()6g x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，且()g x 的相邻对称轴的距离为
2
π
. (1)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间； (2)设()()ln sin cos h x x x m =++，若存在50,12x π⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，使得()()()
()e ln h x g x h x g x -≥-，求实数m 的取值范围.。