5.4数列的应用课件高二下学期数学人教B版选择性

黄色.黄河的水源来自青海高原,上游1 000 km的河水是非常清澈的,只是中游
流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐
变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条
河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水
中分界线.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2
游戏结束.
(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn-2和Pn-1表示Pn;
(2)求证:数列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是等比数列;
(3)求该游戏获胜的概率.
(1)解:根据题意,棋子跳到第n站的概率为Pn,
则P0即棋子跳到第0站的概率,则P0=1,
1
P1 即棋子跳到第 1 站的概率,则 P1=2,
决实际问题的方法,在解题中不要忽视了这点.
【变式训练】 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部
资金的一半多一万元,第二名得剩下资金的一半多一万元,以名次类推都得
剩下资金的一半多一万元,到第10名恰好分完资金,求此科研单位共拿出多
少万元资金进行奖励.
解:设单位共拿出x万元资金,第1名到第10名所得资金构成数列{an},前n项
3
洮河的含沙量为
=14
kg/m
.
2 000
(2)设在第n(n∈N+)个观测点时黄河的含沙量为an,洮河的含沙量为bn,
由题意有a1=2,b1=20,
1 000+2 000 2+
且 an+1=
=
,
3 000
3
1 000+1 000+1 +2
bn+1=
=
,
2 000
3
1
年度投入 800
1
万元,以后每年投入将比上一年减少5,本年度当地旅游业收入
估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入
1
每年会比上一年增加4.
(1)设n(n∈N+)年内(本年度为第1年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万
元,写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).求经过20轮影
响之后,最后的国内消费总额是多少亿元?(结果精确到1亿元)
解:经过 20 轮影响之后,国内消费总额是
21
2
20 120[1-(75%) ]
120+120×75%+120×(75%) +…+120×(75%) =
≈479(亿元).
1-75%
1
∴Pn-Pn-1=- (Pn-1-Pn-2),
2
1
又 P1-P0=-2,
1
1
∴数列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是以-2为首项,-2为公比的等比数列.
(3)解:玩游戏获胜即跳到第 99 站,
1
由(2)可得 Pn-Pn-1= (1≤n≤100),
2
1
∴P1-P0=-2,
1
P2-P1=4,
P2 即棋子跳到第 2 站的概率,有两种情况,即抛出 2 次奇数或 1 次偶数,则
1
1
3
P2= P0+ P1= .
2
2
4
故跳到第 n 站 Pn 有两种情况,①在第 n-2 站抛出偶数,②在第 n-1 站抛出奇数,
1
1
所以 Pn=2Pn-1+2Pn-2.
1
1
(2)证明:∵Pn=2Pn-1+2Pn-2,
+…+
]=4 000×[1].
5
5
5
5
5
1
第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400× 1 + 万元,…,第 n
4
-1
1
年旅游业收入为 400× 1 + 4
万元,所以,n 年内的旅游业总收入为
1
1 -1
5
5 2
5 -1
bn=400+400× 1 + 4 +…+400× 1 + 4
kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,
两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1 s内
交换1 000 m3的水量,即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,又从黄河流出1
000 m3的水到洮河再混合.
(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;
分析:(1)建立等比数列模型求解;(2)列出与数列有关的不等式求解.
1
解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800× 1- 5 万元,…,第 n 年投入为
1 -1
1
800× 1万元,所以,n 年内的总投入为 an=800+800× 15
5
1 -1
4
4 2
4 -1
4
+…+800× 1=800×[1+ +
=400×[1+4 + 4 +…+ 4
]
5
=1 600×[
-1].
4
(2)设至少经过 n 年,旅游业的总收入才能超过总投入,由此得 bn-an>0,即
5
4
1 600×
-1 -4 000× 1>0,
4
5
5
4
整理得 2×
+5×
-7>0,
4
5
4
2
2
令 x= 5 ,代入上式得 5x -7x+2>0,解此不等式,得 x<5或 x>1(舍去),即
提示:an=
.

(1+) -1
2.(1)“等额本金还款法”是将 本金 平均分配到每一期进行偿还,每一期的还
款金额由两部分组成,一部分为 每期本金 ,即贷款本金除以还款期数,另一
部分是 利息 ,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此这种方式中,
贷款本金
每期还款金额=
还款期数
+(贷款本金-已还本金总额)×利率.
期还款多少万元?累计还款多少万元?(结果精确到0.01元)
2 400×0.05×(1+0.05)
解:该单位每期还款 x=
270.78×12=3 249.36(万元).
12
(1+0.05) -1
12
≈270.78(万元),累计还款
探究二
政府支出的“乘数”效应与数列
【例2】 假设一政府单位增加某项支出120亿元,每个受惠的居民会将75%
指数增长的同时又均匀减少,如年收入增长率为20%,每
简单的递
年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即年底可支配
推数列
资金构成的数列{an}满足an+1=1.2an-a
(2)第二步,准确求解模型.根据数列知识,求数列的通项、数列的和、解方
程(组)或者不等式(组)等,此时要注意运算的准确性.
(3)第三步,还原实际问题.实际应用问题最后要把求解的数学结果化为解
2 400
12
12 × (320 + 210)
2
反思感悟
1.本题属于与等差数列通项公式及前n项和有关的实际应用问题,求解的关
键在于熟练掌握等差数列的有关知识.
2.遇到与正整数有关的实际应用问题时,常常考虑与数列知识的联系,建立
适当的数列模型进行求解.
【变式训练1】 本例条件不变,如果采用“等额本息还款法”,那么该单位每
所还钱数相等.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
“等额本金还款法”与“等额本息还款法”的应用
【例1】 某技术研发单位打算向银行贷款2 400万元用于某电子产品升级
改造,在12个月内还清,月利率为5%,如果采用“等额本金还款法”,那么,
(1)设每期还款钱数为an万元,求出an的表达式;
(2)该单位累计还款多少万元?
人教B版 数学选择性必修第三册
第五章
5.4 数列的应用
课标定位素养阐释
1.理解并掌握“等额本金还款法”“等额本息还款法”及应用.
2.理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数列的其他应用.
3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、“等额本金还款法”与“等额本息还款法”
1.假如你购房时向银行贷款本金A0元,打算分成m期偿还,并且每一期的利
1
P3-P2=- ,
8
……
1 99
P99-P98= - 2 ,
99
1
1
-2 × 1- -2
∴P99-P0=
,
1
1- -2
2
1 100
∴P99=3 1- 2
.
反思感悟
本题考查的是数列的应用以及概率及其性质.数列常常与函数、不等式等
知识相结合,考查学生的理解能力、转化能力及计算能力.
【变式训练3】 黄河被称为我国的母亲河,因为携带大量泥沙,所以河水呈现
反思感悟
解数列应用题的主要事项:
(1)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语
言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
(2)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的
数学关系式.
【变式训练2】 假设某地政府单位增加某项优惠政策支出200亿元,每个受
率为r(r>0),记每一期的还款钱数构成的数列为a1,a2,a3,…,am.
(1)如果采用“等额本金还款法”,那么你能写出第n期所要还的钱数an的表
达式吗?
0
0
提示:an= + 0 - (-1) ×r.


(2)如果采用“等额本息还款法”,那么你能写出第n期所要还的钱数an的表
达式吗?

0 (1+)
4
2
< 5,由此得 n≥5.
5Leabharlann 所以至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.
方法点睛
解答数列实际应用问题的一般步骤
(1)第一步,确定数列类型.理解题意,分析是哪类数列,一般有等差数列、等
比数列、简单的递推数列.基本特征如下表:
数列模型
基本特征
等差数列
均匀增加或者减少
等比数列
指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题
惠的居民会将65%的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消
费).求经过10轮影响之后,最后的国内消费总额是多少亿元?(结果精确到1
亿元)
解:经过 10 轮影响之后,国内消费总额是
11
2
10 200[1-(65%) ]
200+200×65%+200×(65%) +…+200×(65%) =
≈566(亿元).
费).
(1)如果设第n轮消费的金额为an亿元,那么an与a和r具有什么关系呢?
提示:an=arn.
(2)那么经过n轮影响之后,最后的国内消费总额是多少亿元呢?
(1-+1 )
提示:a+ar+ar +…+ar =
.
1-
2
n
2.上述问题中,最后的国内消费总额将会是a亿元的倍数,也就是说有了
“ 乘数 ”效应.
所以 bn+1-an+1=3(bn-an),b1-a1=18,
1 -1
所以 bn-an=18× 3
,
1 -1
根据题意,得 18× 3
<0.01,
即3n-1>1 800,解得n>7.
又由n∈N+,所以从第8个观测点开始.
【思想方法】
数学建模在数列实际问题中的应用
【典例】 某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业,根据规划,本
(2)“等额本息还款法”是将 本金 和 利息 平均分配到每一期进行偿还,因此
每一期所还钱数相等,即a1=a2=a3=…=am.
2.4×1.05
an=
1.05 -1
二、政府支出的“乘数”效应与数列
1.为落实惠民政策,假设政府增加某项支出a亿元,每个受惠的居民会将此
部分额外收入以r(r>0)的比率用于国内消费(最初政府支出也算是国内消
(1-) 1-(1-)
=

30
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“等额本金还款法”每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,
即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金乘利率.( × )
(2)“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,每一期
和为Sn,

1
则 a1= +1,an= (x-Sn-1)+1(n≥2),
2
2
∴2an=x-Sn-1+2,2an+1=x-Sn+2,
两式相减得2an+1-2an=-an,∴2an+1=an.
3.有些食物中含有一定量的微量元素,当人体摄入微量元素以后,微量元素
会随着尿液、汗液等部分排出.假设某人每天吃进某微量元素a mg,该微量
元素每天以r(r>0)的比率排出,则30天后在此人身体中积累了多少该微量
元素(设一开始某人体内该微量元素为0)?
解:30天后在此人身体中积累的该微量元素为a(1-r)+a(1-r)2+…+a(1-r)n
(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙
沉淀)
解:(1)在第二个观测点时,洮河流入黄河 1 000 m3 的水混合后,黄河的含沙量
2×2 000+20×1 000
3
3
为
=8
kg/m
,又从黄河流出
1
000
m
的水到洮河再混合后,
3 000
8×1 000+20×1 000
1-65%
探究三
数列的综合应用
【例3】 一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第
100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn.一枚棋子开始在第0站,棋手
每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若
掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,