1991年数学一真题

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试题
一、填空题：（本题共有5个小题，每小题3分，满分15分）
(1) 设21,cos x t y t
⎧=+⎨=⎩则2
2
d y
dx = (2)
由方程x y z +
所确定的函数(,)z z x y =在点()1,0,1-的全微分
dz =
(3) 已知两条直线的方程是1212321:
;:
.1
1
2
1
1
x y z x y z L L ---+-=
=
=
=
-则过1L 且平行
于2L 的平面方程是 (4) 已知当0x →时，()
12
2
11ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数a =
(5) 设四阶方阵52002
100
,00120
1
1A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
则A 的逆矩阵1A -= 二、选择题：（本题共有5个小题，每小题3分，满分15分） (1) 曲线11x x
e y e
+=
-（ ）
()A 没有渐近线
()B 仅有渐近线
()C 仅有铅直渐近线 ()D 即有水平渐近线，又有铅直渐近线
(2) 若连续函数()f x 满足关系式20
(()l 2,)2
n x t
f d f x t =
+⎰
则()f x 等于（ ） ()A ln 2x e ()B 2l n 2x
e ()C l n 2x e +
()D 2ln 2x
e +
(3) 若级数()
1
211
1
12,5,n n n n n a a ∞
∞
--==-==∑∑则级数21
n n a ∞
=∑等于（ ）
()A 3. ()B 7. ()C 8.
()D 9.
(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1),(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象
限的部分，则(cos sin )D
xy x y dxdy +⎰⎰等于（ ）
()A 1
2cos sin
D x ydxdy ⎰⎰ ()B 1
2D x y d x d y
⎰⎰ ()C ()1
4cos sin D xy x y dxdy +⎰⎰ ()D 0
(5) 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式,ABC E =其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）
()A
A C
B E =
()B
C B A E =
()C
B A
C E =
()D B C A E =
三、（本题满分15分，每小题5分） (1)
求(
lim cos
x
x o
π+→
(2) 设n 是曲面222236,z y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量，求函
数
u z
=P 处沿n 的方向导数。

(3) 2
2(),x y z dV Ω
++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线22,0y z
x ⎧=⎨
=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体区域。

四、（本题满分6分）
在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin ,(0)y a x a =>中，求一条曲线,L 使沿该曲线从
O 到A 的积分(
)()2
12L
y
dx x y dy +++⎰的值最小。

五、（本题满分7分）
将函数()2,(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数
2
1
1n n
∞
=∑
的和,
六、（本题满分7分）
设函数()f x 在[]0,1上连续，()0,1上可导，且1
233()(0),f x dx f =⎰证明在()0,1内存在
一点,c 使'()0f c =
七、（本题满分6分）
已知()()()()12341, 0, 2,3, 1,1,3,5, 1,1,2,1,1,2,4,8a a αααα===+=+及
(1,1,3,5)b β=+
(1) ,a b 为何值时，β不能由1234,,,αααα线性表示？
(2) ,a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、（本题满分8分）
设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A E +的行列式不大于1 九、（本题满分9分）
在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行。

十、填空题（本题满分6分，每小题2分）
(1) 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且240.3,P X <<=则
0P X <=
(2)
随机地向半圆0y <<
a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的
概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：
()
22,0,0(,)0,
x y e
x y f x y -+⎧>>⎪=⎨
⎪⎩其他
求随机变量2Z X Y =+的分布函数。