高中数学人教A版必修5同步单元双基双测“AB”卷：专题03 不等式(A卷)(含答案解析)

班级 姓名 学号 分数
《必修五第三章不等式》测试卷（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【2014—2015学年福建省德化一中高二上学期第一次检查】设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.ac bc > B.
11a b
< C.22a b > D.33a b >
【答案】D 【解析】
试题分析：在A 选项中，若0c =时不成立；在B 选项中，若0,0a b ><时不成立；在C
选项中，若0,0a b ><时不成立；在D 选项中，只要a b >，则33
a b >恒成立.故选D.
考点：不等式成立问题.
2.【原创题】不等式2
3100x x -++>的解集为（ ）
A.{}25x x x <->或
B.{}
52x x x <->或 C.{}25x x -<< D.{}
52x x -<< 【答案】C
考点：一元二次不等式的解法. 3.若0xy >，则对式子x y
y x
+与列说法正确的是（ ） A.有最大值2- B.有最小值2
C.无最大值和最小值
D.无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，由于0xy >，说明,x y 同号，即
0x y
>，0y
x >，则利用基本不等式
可知
2x y y x +…，当x y =时等号成立，故答案为B. 考点：均值不等式
4.【2014—2015学年吉林省汪清县第六中学高二9月月考】不等式20x y ->表示的平面区域（阴影部分）为（ ）
【答案】D
考点：二元一次不等式（组）与平面区域.
5.【改编题】若0b a <<，下列不等式中不一定成立的是（ ）
A.
11
a b b
>- B.
11a b
< > D.0a b -<-<
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意知，因为0b a <<，所以0a b ->与0b >的大小关系不确定，所以无法比较
11
a b b
>-的大小（或者采用特殊值代入验证），故选A 考点：不等式的性质.
6.【2014—2015学年江西省上高二中上学期第一次月考】不等式220ax bx ++>的解集为
11,23⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则a b +=（ ） A.10 B.10-
C.14
D.14-
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意知12-
，1
3
是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数关系得11
23112
23b a
a
⎧-+=-⎪⎪⎨
⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-. 考点：一元二次不等式与一元二次方程的关系.
7. 【湖南省株洲市二中2016届高三上学期第一次月考】若正数,x y 满足35,x y xy +=则
34x y +的最小值是（ ）
A.
245 B.28
5
C.6
D.5 【答案】D 【解析】
试题分析:由题知正数,x y 满足113
(
)15y x
+=
，所以1131312134()(34)(13)(1335555x y x y x y y x y x +=++=++≥+⨯=，故选D.
考点：基本不等式.
8. 【2015高考湖南，文7】若实数,a b
满足
12
a b
+=，则ab 的最小值为( ) A
B 、2
C 、
D 、4 【答案】C
【考点定位】基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
9.【2014高考全国2卷文第9题】设x ，y 满足约束条件10,
10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
则2z x y =+的最
大值为（ ）
（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122
z
y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-
+的纵截距最大，故只需将直线1
2
y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．由方程组10
330
x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以
m a x z 3227
=+⨯=．
10.已知正数,x y 满足
81
1x y
+=，则2x y +的最小值是（ ）
A.18
B.16
C.8
D.10 【答案】
A
考点：均值不等式.
11. 【2015高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件
22
4
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则23
z x y
=+的最
大值为（）
A．10B．8C．5D．2【答案】
C
【考点定位】线性规划．
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 12.【2014—2015学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二第一次月考数学试卷】不等式1
2x x
-…的解集为（ ） A.[)1,-+∞ B.[)1,0- C.(],1-∞- D.(](),10,-∞-+∞
【答案】B 【解析】
试题分析：原不等式可化为
120x x --…，即10x x --…，所以1
0x x
+…，等价于()10x x +…且0x ≠，解得10x -<…，所以原不等式的解集为[)1,0-. 考点：分式不等式的解法.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 【2015高考广东，文11】不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-
【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 【考点定位】一元二次不等式．
【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题．解题时要注意2x 的系数是否为正数，如果2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误． 14.
【改编题】已知1a =
，2b =a b >；②a b =；③a b <关系式中
正确的是 .（只要求填序号） 【答案】③
考点：不等关系的应用.
15.【2014高考辽宁卷文第14题】已知x ，y 满足条件220
240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数34z x y
=+的最大值为 . 【答案】18. 【解析】
试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为344
z
y x =-+，当z 取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线3
4
y x =-
向上平移到过点C 时，目标函数取到最大值，240
330
x y x y -+=⎧⎨
--=⎩，得(2,3)C ，故max 324318z =⨯+⨯=．
考点：简单线性规划.
16.当0x >时，函数224
x x y x
++=的最小值为 .
【答案】6
考点：基本不等式的应用.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 【改编题】（本题满分10分）已知集合{
}2
340A x x x =--<，
{
}
2
760B x x x =-+<，求A B ⋂. 【答案】 【解析】
试题分析：根据一元二次不等式的解法可先将集合,A B 进行求解，再求两个集合的交集即可.由已知可得{
}{
}
2
34014A x x x x x x =--<=<->或，
{}
{}276016B x x x x x =-+<=<<，
所以{}{}{}
141646A B x x x x x x x =<-><<=<< 或.
试题解析：由已知得{
}{
}
2
34014A x x x x x x =--<=<->或，…………4分
{}
{}276016B x x x x x =-+<=<<，…………6分
所以{}{}{}
141646A B x x x x x x x ⋂=<->⋂<<=<<或.…………10分 考点：一元二次不等式的求解.
18. 【河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中】（本题满分12分）（1）已知正数a ，b 满足a+4b=4，求+的最小值．
（2）求函数f （k ）=的最大值．
【答案】（1）+的最小值为；（2）f （k ）的最大值为．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．
19.（本题满分12分）画出不等式组20
3030x y x y x --⎧⎪
++⎨⎪-⎩
……剟表示的平面区域，并求其面积.
【答案】25
4
. 【解析】
试题解析：由题意可作出不等式组表示的平面区域如图所示，为ABC △
.
……………………4分
由方程组3
30x x y =-⎧⎨
++=⎩
，解得()3,0A -，
同理可得()3,5B --，15,22C ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
，…………8分 因为AB 边与y 轴平行，所以505AB =--=，点C 到AB 边的距离
()15322
d =---=，
所以1525
5224
ABC S =
⨯⨯=△.…………12分 考点：不等式组表示的平面区域.
20.（本题满分12<【答案】详见解析.
考点：分析法证明不等式.
21.（本题满分12分）某企业要建造一个容积为3
18m ，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？
【答案】将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.
【解析】
试题分析：解决数学应用题的步骤：①审题，设出有关量，注明自变量的取值范围；②列出函数表达式；③求函数的是值；④作答.由题意可设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元，则由容积为318m ，可得218xy =，因此9xy =，()()
20091502222180060018006005400z x y x y =⨯+⨯⨯+⨯=+++⋅=…，当且仅当3x y ==时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.
试题解析：设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元，……1分
则由容积为3
18m ，可得218xy =，因此9xy =，…………4分
()()
20091502222180060018006005400z x y x y =⨯+⨯⨯+⨯=+++⋅=…，……8分
当且仅当3x y ==时，等号成立.…………10分
所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.……12分
考点：基本不等式的应用.
22.【2014—2015学年江西省上高二中上学期第一次月考】（本题满分12分）设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠.
（1）若不等式()0f x >的解集()1,3-，求,a b 的值；
（2）若()12f =，0a >，0b >，求
14a b
+的最小值. 【答案】（1）1a =-，4b =；（2）9.
（2）由()12f =，0a >，0b >，得1a b +=，…………8分
所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=+++= ⎪⎝⎭…，…………10分
当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时等号成立，…………11分 所以14a b
+的最小值为9.…………12分 考点：1.利用不等式的解求参数值；2.基本不等式的应用.。