初速度为0的匀加速直线运动的特点2

初速度为0的匀加速直线运动的特点
(1) 在前1T 末,前2T 末,前3T 末,.....前nT 末的瞬时速度之比为
n v v v v n :...:3:2:1:...:::321=
(2) 在前1T 内,前2T 内,前3T 内,...前nT 内的位移之比为
232:.....:9:4:1:...:::n x x x x nT T T T =
(3) 在第一个T 内,第二个T 内,第三个T 内,......第n 个T 内的位移之比为
)12(:.....:5:3:1:....:::321-=n x x x x n
(4) 在通过第一个∆x,第二个∆x,第三个∆x...第n 个∆x 所用的时间之比为 )1(:...:)23(:)12(:1:...:::321----=n n t t t t n
【例题】一辆汽车从第一根电线杆由静止开始做匀加速直线运动，测得它从第二根电线杆到第三根电线杆所用的时间为t 0，设相邻两根电线杆间的距离均为s,则汽车从第一根电线杆到第三根电线杆时间内的平均速度的大小为（ ）
A. 0t s
B. 0)12(2t s -
C. 0)22(t s -
D. 0
)22(2t s - 解:从第一根电线杆到第二根电线杆所用的时间为t ，有
)12(:1:0-=t t 0)12(t t +=
000)22()22(22t s t s t t s v -=+=+=
【跟踪训练1】.一物体从a 点由静止开始做匀加速直线运动，先后经过b 点和c 点，已知它经过b 点时的速度为v ，经过c 点时的速度为3v ，则ab 段与bc 段的位移之比为 ( )
A. 1:3
B. 1:5
C. 1:8
D. 1:9
【跟踪训练2】某同学站在一平房边观察从屋檐边滴下的水滴，发现屋檐的滴水是等时的，且第5滴正欲滴下时，第一滴刚好到达地面，第2滴和第三滴刚好位于窗户的下沿和上沿，他测得窗户上ˎ下沿的高度差为1m 。

由此求得屋檐离地面的高度为
【跟踪训练3】.如图所示，一个小物体沿光滑斜面由A 点上方从静止开始加速下滑，在它通过的路径中取AE 并分成相等的四段，υB 表示通过B 点时的瞬时速度，υ表示AE 段的平均速度，则υB 与υ的关系是（ ）
A. υB <υ
B. υB ＝υ
C. υB >υ
D. 以上三种关系都有可能
竖直上抛运动
1.竖直上抛运动的概念
物体以初速度v 0竖直向上抛出后，只在重力作用下的运动，叫做竖直上抛运动
2.竖直上抛运动的性质
由于加速度恒定（等于重力加速度g)，所以竖直上抛运动是匀变速直线运动。

3.竖直上抛运动的规律 取向上的方向为正方向，有
v=v 0-gt x=v 0t-gt 2/2 v 2-v 20=2gx
4..竖直上抛运动的特点
（1）上升的最大高度h=v 20/2g
（2）上升到最大高度处所需时间t 上和从最高点处落回原抛出点所需时间t 下相等.即t 上=t 下=v 0/g. （3）竖直上抛运动具有对称性
如图所示，物体以初速度v 0竖直上抛，A ˎ
B 为途中的任意两点，
C 为最高点
①时间的对称性：物体在上升过程中从A 到B 所用的时间t AB 和在下降过程中
从B 到A 所用的时间t BA 相等.同理 t AC =t CA
②速度的对称性：物体上升过程中经过某点时的速度和下降过程中经过该
点时的速度大小相等，方向相反。

（4）竖直上抛运动的两种研究方法
⑴分段法：上升过程是匀减速直线运动，下降过程是自由落体运动.
⑵全程法：从全程来看，加速度恒定，所以竖直上抛运动就是一个匀变速直线运动。

应用公式时，要特别注意v ，x 等矢量的正负号，一般选取向上为正方向，v 0总是正值，上升过程中v 为正值，下降过程中v 为负值，物体在抛出点上方时，x 为正值，在抛出点下方时x 为负值.
【例1】一跳水运动员从离水面10m 高的平台向上跃起，举双臂直体离开台面.此时其重心位于从手到腿全长的中点.他跃起后重心升高0.45 m ，达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计).从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 s.(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g 取10m/s 2，结果保留两位有效数字)
解:由向上跃起的高度x 1=0.45m ，得向上跃起的时间为：
s g
x t 3.0211== 由最高点下降作自由落体运动,下降高度为
x 2=x 1+H=10.45m ，
下落时间 s g
x t 4.1222== 所以，运动员完成空中动作的时间为t=t 1+t 2=1.7s.
或解为：运动员起跳的初速度为 s m s m gx v /3/45.0102210=⨯⨯==
由x=v 0t-gt 2/2 得 2)10(21310t t -+=- 解得s t 7.110
2093=±=（负根舍去） 【跟踪训练】气球上系一重物，以4m ／s 的速度匀速上升.当离地面高9m 时绳断了，求重物
从绳断后到落地所用的时间t.(g=10m ／s 2)
【例题2】一杂技演员,用一只手抛球.他每隔0.40s 抛出一球,接到球便立即把球抛出,已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，球
到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取2
10/g m s =）（ ）
A ． 1.6m
B ． 2.4m
C ．3.2m
D ．4.0m 解:小球在空中做竖直上抛运动，刚抛出小球时4个小球在空中的位置如图，
某小球从抛出到落回手中所用的时间为 t=0.4×
4s=0.16s,所以球到达的最大高度是 m m t g h 32.008.0102
1)2(2122=⨯⨯== 【跟踪训练1】一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点a 的时间间隔是T a ，两次经过一个较高点b 的时间间隔是t b ，则a 、b 之间的距离为（ ）
A.
)(8122b a T T g - B. )(4122b a T T g - C. )(2122b a T T g -
D. )(2
1b a T T g - 【跟踪训练2】一小球以某一初速度从光滑斜面的底端a 点开始沿
斜面向上运动，先后经过b 点和c 点，然后又回到a 点，已知c 是
能到达的最高点，b 是ac 的中点，如图所示。

若小球从a 点到b 点所用的时间为t 0，加速度保持不变，则它从b 点到c 点再回到b 点所用的时间是_________
练习题：
1.如果不计空气阻力，要使一颗礼花弹上升至320m 高处，在地面发射时，竖直向上的初速度
至少为(g=10m/s 2)（ ）
A ．40m/s
B ．60m ／s
C ．80m/s
D ．100m/s
2.某物体以30m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10m/s 2，5s 内物体的（ ）
A. 路程为65m
B. 位移的大小为25m ，方向向上
C. 速度改变量的大小为10m/s
D. 平均速度的大小为13m/s ，方向向上
3.在某一高度以v 0=20m/s 的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力），当小球
的速度大小为10m/s 时，以下判断正确的是（g 取10m ／s 2）
A.小球在这段时间内的平均速度大小可能为15m/s ，方向向上
B.小球在这段时间内的平均速度大小可能为5m/s ，方向向下
C.小球在这段时间内的平均速度大小可能为5m/s ，方向向上
D.小球在这段时间内的位移一定是15m
4.从地面竖直上抛物体A ，同时在某高度有一物体B 自由落下，两物体在空中相遇时的速率都是v ，则（ ）
A ．物体A 的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍
B ．相遇时物体A 已上升的高度和物体B 已下落的高度相同
C ．物体A 和物体B 同时落地
D ．物体A 和物体B 落地时速度相等
匀变速直线运动规律的应用
1.应用规律时应注意的问题
(1).注意规律的使用条件: 只适用于匀变速直线运动。

即加速度恒定的直线运动。

对非匀变速直线运动，公式不成立。

(2).注意规律的矢量性，即所有公式都是矢量式。

在用公式时，都要先规定正方向，任何物理量和规定的正方向相同取正，相反取负。

（通常取初速度方向为正方向，初速度为0时取加速度方向为正方向）。

(3).注意减速运功中的实际问题。

遇到减速运动问题要注意减速到0后会不会反向运动，若能反向运动还要看加速度是否发生变化。

如刹车问题，减速到0后车不会自动后退。

竖直上抛运动时若没有空气阻力，物体减速到0后要自由下落，且加速度不变，处理时即可以分段处理，也可以整体处理。

若有空气阻力物体减速到0后也要下落，但加速度改变了，此时必须分段处理。

(4).所有公式中只有两个是独立的，因此每个物理过程最多只能列两个方程。

要能够根据题目选取合适的公式，这样会使问题简化。

匀变速直线运动问题的最大特点就是一题多解，原因是匀变速直线运动的公式太多，但某个物理过程最多只能列两个方程（用两个公式），因此同一问题可以从不同的角度用不同的公式求解。

分析物理过程选择合适的公式解题有利于提高解题的速度和准确度。

如何选择公式呢？这要从匀变速直线运动的公式的特点分析。

匀变速直线运动的规律即速度公式at v v +=0和位移公式202
1at t v x +=，两个公式各自独立，含有五个量（v 0、a 、t 、v 、x)，因而只要知道三个量，就可以求出另外两个物理量。

除了基本公式之外，还有推论ax v v 2202=-，t v v x 2
0+=，2t v v t =及特点2)(aT m n x x m n -=-，
这些公式都是由两个规律推出来的。

这六个公式只有两个是独立的，所以某个物理过程最多只能列两个方程。

选公式的原则是：题目中的已知量加上未知量，如果五个量（v 0、a 、t 、v 、x)中有一个未采用，则选不含该物理量的公式。

如已知x 、v 0、v,求运动的时间t ，不含a ，则选用公式t v v x 20+=
求解。

2.求解匀变速直线运动的一般思路
（1）弄清题意，建立一副物体运动的图景。

为了直观形象，应尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量。

（2）弄清研究对象，明确那些量已知，那些量未知，根据公式特点恰当选用公式列方程。

（3）解方程并代入数值求出结果，必要时还要进行讨论。

（4）如果题目涉及不同的运动过程，则应分清物理过程，即把问题分成几个阶段（按加速度分，运动过程中有几个不同的加速度就分几个物理过程）。

对每个物理过程分别用公式列方程，并找出各过程的速度、位移、时间等方面的关系，如第一个过程的末速度就是第二个过程的初速度，分位移的和等于总位移，总时间等于分时间的和等。

【例1】一物体从静止开始以加速度a 1做匀加速直线运动，运动时间t 1后变为匀减速直线运动直到停止，加速度大小为a 2,运动的总时间为t ，求物体运动的总位移.
解:设加速运动的时间为t 1，位移x 1，末速度为v ，减速运动的时间为t 2，位移为x 2 由运动学公式得 1121vt x = ① 222
1vt x = ② 11t a v = ③ 220t a v -= ④ x x x =+21 ⑤ t t t =+21 ⑥ 由①②⑤⑥得： vt x 2
1= ⑦ 由③④⑥得：t a a a a v 2121+= ⑧ 由 ⑦⑧得： )
(2212
21a a t a a x += （ 该题用任意两个公式均可解出，但最简单的方法是用t a v =和vt x 2
1=求解） 【例2】（08全国河南理综)已知O 、A 、B 、C 为同一直线上的四点、AB 间的距离为l 1,BC 间的距离为l 2,一物体自O 点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A 、B 、C 三点，已知物体通过AB 段与BC 段所用的时间相等。

求O 与A 的距离.
解法1设物体的加速度为a ，到达A 的速度为v 0，通过AB 段和BC 段所用的时间为t ，则
有 2012
1at t v l +=……① 202122at t v l l +=+… …② 联立①②式得 212at l l =-………③ t v l l 02123=-……… …④
设O 与A 的距离为l ，则有 a
v l 220=……………………⑤ 联立③④⑤式得 )
(8)3(122
21l l l l l --= 解法2 2021at l = ① 20121at t at l += ② 2021)2(2
12t a t at l l +=+ ③ 由 ②③得 212at l l =- ④ t at l l 02123=- ⑤
由①④⑤得 )
(8)3(122
21l l l l l --= 解法3（用推论求） 由 212at l l =- 得 212t
l l a -= 由 t l l v B 221+= ，at v v B A -=及a
v l A 22=〔或)(0t t a v B +=及221at l =〕即可求出。

练习题
1.物体从静止开始以加速度a 1作匀加速直线运动，经过一段时间后改为和a 1方向相反大小为a 2的匀变速直线运动，经过相同的时间物体恰回到出发点，则
A a 2= a 1
B a 2= 2 a 1
C a 2 = a 1/2
D a 2=3 a 1
2.(2011年河南理综）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。

在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。

求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，两物体间的距离会不断发生变化，这样就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。

1.追及、相遇问题的类型
（1）加速度大的加速运动的物体A 追同方向加速度小的加速运动的物体B （包括加速运动的物体追匀速运动的物体)。

此时一定能追上，并且能越过。

若A 的初速度不小于B 的初速度，A 、B 间的距离越来越小，直到追上，然后A 越过B 。

若A 的初速度小于B 的初速度，开始两物体的间距越来越大，速度差越来越小，当两物体的速度相等时，两物体间的距离达到最大值，随后A 的速度开始大于B 的速度，两物体间的距离又开始越来越小，直到追上，然
后A越过B。

（2）加速度小的加速运动的物体A追同方向加速度大的加速运动的物体B（包括匀速运动的物体追加速运动的物体)。

若A的初速度不大于B的初速度，二者间距将越来越大，A一定追不上B。

若A的初速度大于B的初速度，开始两物体的速度差越来越小，间距越来越小，当两物体的速度相等时，两物体间的距离最小，如果此时A没有追上B，以后B的速度开始大于A的速度，二者间距又开始越来越大，物体A不可能追上物体B；如果速度相等时A恰好追上B，则以后A的速度小于B的速度，二者间距又开始越来越大（A仍在后面）；如果A 追上B时A的速度比B的大，A将越过B，A越过B后，B、A间的距离又开始越来越大（A 在前面），当两物体的速度相等时，两物体间的距离最大，然后B的速度大于A的速度，二者间距越来越小，直到B又追上A，越过A，可见这种情况下A、B的速度相同时，A已越过B，A、B能相遇两次。

（3）做匀减速运动的物体A追同方向做匀速运动或加速运动的物体B。

同（2）
（4）做匀加速运动（或匀速运动)的物体A追同方向做减速运动的物体B。

一定能追上。

若A的初速度不小于B的初速度，间距越来越小，直到追上。

若A的初速度小于B的初速度，开始A、B间距变大，当A、B的速度相等时二者间距最大，以后A、B间距开始减小。

其它情况自己讨论。

综上，在追击问题中有一个重要特点，就是无论是能追上在追上前相距最远的时刻，还是不能追上相距最近的时刻，都是速度相同的时刻。

2.解决追及、相遇问题的思路与方法
（1)思路：①根据两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。

②根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程（注意两物体运动的时间关系）。

③由运动的示意图找出两物体的位移关系。

④联立方程求解。

（2）方法：①物理分析法。

判断能否追上时，看二者速度相同时的位置关系。

如A追前方和A相距 x0的B时，可以先求出速度相同所用的时间，再求出速度相同时A、B的位移x A 、x B,若x A<x B+x0，说明A追不上B，A、B间的最大距离为∆s m=x B+x0-x A。

若x A=x B+x0，说明A恰能追上（或恰追不上）B。

若x A>x B+x0，说明此时A已越过B，即x A=x B+x0时二者相遇。

②数学方法。

即假设能相遇，列出方程x A=x B+x0，得到关于时间的一元二次方程，若方程无解，说明不能相遇，若只有一个正根说明只能相遇一次，若有两个正根说明能相遇两次。

如需求最近距离，可先列出二者间的距离随时间的关系，然后求极值。

③图像法。

分别作出两物体运动的速度--时间图象，然后根据图像进行分析。

（3）应注意的问题：①相遇是空间位置相同，而位移不一定相等。

②若被追赶的物体做减速运动，一定要注意追上该物体前该物体是否已经停止了。

③要注意题中的关键字眼，充分挖掘题目的隐含条件。

如“刚好ˮ“最多ˮ“至少ˮ等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

例1.名师一号56页例6
例2.一列车甲以速度v 1匀速运动，突然发现前方相距x 0处同轨道上有另一列车乙正以速度v 2（v 2<v 1）同方向匀速运动。

为了避免相撞，甲车司机立即刹车。

求甲车刹车的加速度至少多大才能避免和乙车相撞？
解：法1设甲刹车后经时间t 和乙车的速度相同，此时甲 、乙的位移分别为x 1和x 2，由运动学公式得 2112
1at t v x -= ① t v x 22= ② at v v -=12 ③ 要两车不相撞应满足 021x x x +≤ ④
联立方程解得 0
2
212)(x v v a -≥ 法2设甲刹车后经时间t 追上乙，此时有
02212
1x t v at t v +=- 02)(20212=+--x t v v at
要不相碰应 024)(40221 x a v v --
2
212)(x v v a -≥ 法3甲和乙的v-t 图象如图，由图知，甲乙速度相同时，
二者间的距离为
2)(-21t v v x x -=乙甲 a
v v t 21-= 不相碰时 0x x x ≤-乙甲 0
2
212)(x v v a -≥ 练习题
1.两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为υ0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车后，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为（ ）
A. s
B. 2s
C. 3s
D. 4s
2.甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v 0=16m/s.已知甲车在紧急刹车时加速度的大小为a 1=3m/s 2
，乙车在紧急刹车时加速度的大小为a 1=4m/s 2，乙车司机的反应时间为∆t=0.5s ，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？
2.（08四川卷 理科）（16分）A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。

当 B 车在A 车前84 m 处时，B 车速度为4 m/s ，且正以2 m/s 2
的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B 车加速度突然变为零。

A 车一直以20 m/s 的速度做匀速运动。

经过12 s 后两车相遇。

问B 车加速行驶的时间是多少？
3.名师一号章末检测第15题（07河南理综）
解析：23．（ 6分）
设A 车的速度为v A ，B 车加速行驶时间为t ，两车在t 0时相遇。

则有
0t v s A A = ①
))((2
102t t at v at t v s B B B -+++= ② 式中，t 0 =12s ，s A 、s B 分别为 A 、B 两车相遇前行驶的路程。

依题意有
s s s B A += ③
式中 s ＝84 m 。

由①②③式得
[]0)(22002=--+-a
s t v v t t t A B ④ 代入题给数据
v A =20m/s ，v B =4m/s ，a =2m/s 2，
有
0108242=+-t t ⑤
式中矿的单位为s 。

解得
t 1=6 s ，t 2=18 s ⑥
t 2＝18s 不合题意，舍去。

因此，B 车加速行驶的时间为 6 s 。

19、（07全国理综Ⅰ）（15分）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S 0＝13.5 m 处作了标记，并以V ＝9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L ＝20 m 。

求：⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a 。

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

解：⑴在甲发出口令后，，甲乙达到共同速度所用时间为： a
V t = 设在这段时间内甲、乙的位移分别为S 1和S 2，则：
Vt S =1
222
1at S = S 1＝S 2＋ S 0
联立以上四式解得： 2
20
3 m/s 2V a S == ⑵在这段时间内，乙在接力区的位移为：2
213.5 m 2V S a
== 完成交接棒时，乙与接力区末端的距离为：L －S 2＝6.5 m。