2023高考压轴卷——数学(新高考II卷)(PDF版)

2023新高考II 卷 高考压轴卷数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤<，{}
|2,1x
B y y x ==≤，则A
B =（ ）
A. {}2|1x x -≤≤
B. {}|22x x -≤≤
C. {}2|0x x <≤
D. {}|01x x <≤
2 已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A. 1
B.
C.
D. 5
3. “50k -<<”是“函数2y x =－kx －k 的值恒为正值”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.
已知sin
2
α
=
，则cos()απ-=（ ） A.
12
B. .
58
C. 12
-
D. 58
-
5. 已知a ，b 满足()2,2a =，2b =，且a ，b 的夹角为3
π4
，则a b +=（ ）
A. B. 2
C. 4
D. 6. 已知椭圆2214x y +=，1F 、2
F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则12
11PF PF +的取值范围为（ ） A. []1,2
B.
C. ⎤⎦
D. []1,4
7. 河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽
取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）
A.
110
B.
15
C.
25
D.
12
8. 已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1
ln z
x e ze x
=，若1y >，则（ ） A. x y z >> B. x z y >> C. y z x >>
D. y x z >>
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知随机变量X 服从二项分布1(4,)3B ，则8()9
D X =
B. 已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ且()50.85P X ≤=，则13()0.3P X <≤=
C. 已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2343D X D X -=-
D. 以模型e (0)kx y c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则
1e
c =
10. 已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，且函数
()1f x +的图象关于()1,0-对称.当
[]1,1x ∈-时，()sin f x x =.则下列结论正确的是（ ） A. 函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 中心对称 B. 函数()y f x =的最小正周期为2 C. 当[]2,3x ∈时，()()sin 2f x x =- D. 函数()y f
x =在[]()2,21k k k +∈Z 上单调递减
11. 已知抛物线2:2C y px =，C 的准线与x 轴交于K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，连接AK 、BK ，设AB 的中点为P ，过P 作AB 的垂线交x 轴于Q ，下列结论正确的是( ) A. AF BK AK BF ⋅=⋅
B. tan cos AKF PQF ∠=∠
C. AKB △的面积最小值为2
2
p
D. 2AB FQ =
12. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面边长分别为4，6，高为E 是11A B 的中点，则（ ）
A. 正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为
3
B. 正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为104π
C. AE ∥平面1BC D
D. 1A 到平面1BC D 的距离为
5
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则焦点到准线的距离为___________；直线y =抛物线分别交于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PF PH
=
__________.
14. 在1)2
n
x 的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中5x 的系数为___________.
15. 如图，已知a ，b 是相互垂直的两条异面直线，直线AB 与a ，b 均相互垂直，且AB =P ，
Q 分别位于直线a ，b 上，若直线PQ 与AB 所成的角π
6
θ=
，三棱锥A BPQ -的体积的最大值为________.
16. 设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，
时，()()()2f x a x x =--．关
于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：
①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，
，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列． 其中，正确命题的序号是_______．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列{}n a 满足13a =，2
122n n n a a a +=-+.
（1）证明数列(){}ln 1n
a -是等比数列，并求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若112
n n n b a a =+-，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：2n S <.
18. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin
2
B C
a C +=. （1）求角A 的大小；
（2）若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π
6
BAD ∠=，求△ABC 的面积.
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形，AB BC =D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E .
（1）求证：1//BB DE ； （2）若
3
4
AD AC =，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE
所成角的正弦值.条件①：平面ABC ⊥平面11AAC C ；条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =
20. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
（Ⅰ）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；
（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为1
2
，椭圆的右焦点()1,0F
（1）求椭圆C 的方程；
（2）A 、B 是椭圆的左､右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ､N ，直线AM 与直线4x =交于点P .记PA 、PF 、BN 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，是否存在实数λ，使得132k k k λ+=？
22. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，
函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似定义为：011()1m
m n
n a a x a x R x b x b x
++
+=
++
+，且满足：(0)(0)f R =，(0)(0)f R ''=，(0)(0)
f R ''''=，()
()(0)(0)m n m n f
R ++=．已知()ln(1)f x x =+在0x =处的[1,1]阶帕
德近似为()1ax
R x bx
=
+．注：[][][](4)(5)(4)
()(),()(),()(),()(),f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''''⎡⎤====⎣
⎦
（1）求实数a ，b 的值；
（2）求证：1()1x b f x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
；
（3）求不等式1
2
111e 1x x x x +
⎛⎫⎛⎫
+
<<+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的解集，其中e 2.71828
=．
【 1题答案】C 【 2题答案】B 【 3题答案】B 【 4题答案】D 【 5题答案】B 【 6题答案】D 【 7题答案】C 【 8题答案】D 【 9题答案】AD 【 10题答案】BC 【 11题答案】ABD
【 13题答案】 ①. 2 ②
.
2
【 14题答案】358
-
【 15
题答案】
【 16题答案】①②③ 【 17题答案】
【分析】（1）根据递推公式证明()
()
1ln 1ln 1n n a a +--为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即
可得解；
（2）由2
122n n n a a a +=-+，得()122n n n a a a +-=-，则
()111111
2222n n n n n a a a a a +⎛⎫==-
⎪---⎝⎭
，则111222
n n n a a a +=---，再利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和n S ，即可得证. 【小问1解析】
因为2
122n n n a a a +=-+，所以()2
111n n a a +-=-，
则()()()2
1ln 1ln 12ln 1n n n a a a +-=-=-，又()1ln 1ln 2a -=， 所以数列
(){}ln 1n
a -是以ln 2为首项，2为公比的等比数列，
则()1
1
2ln 12
ln 2ln 2n n n a ---=⋅=，所以1
221n n a -=+；
【小问2解析】由2
122n n n a a a +=-+，得()122n n n a a a +-=-，
则
()111111
2222n n n n n a a a a a +⎛⎫
==-
⎪
---⎝⎭
，所以111222n n n a a a +=---， 所以111112122
222222
n n n n n n n n b a a a a a a a ++=
+=-+=-------， 所以12n n S b b b =++
+
12231222222222222n n a a a a a a +⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
21122222222n n a a +=
-=----，因为220
22n >-，所以22
2222
n
-<-，所以2n S <. 【 18题答案】（1）
2π3A =
； （2【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得sin 2
A
A =，再应用二倍角正弦公式化简可得sin
2A ，即可求A 的大小. （2）由题设可得π2DAC ∠=
，法一：由正弦定理及πADB ADC ∠+∠=可得
2BD c
CD b
=，再由余弦定理得到2
16
19
m =，最后根据三角形面积公式求△ABC
面积；法二：根据三角形面积公式有
2BAD ADC
S c
S b
=
，由△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等及已知条件可得123c b =，再由余弦定理得到21619m =，最后根据三角形面积公式求△ABC 面积；
【小问1
解析】由已知及正弦定理得：sin sin sin
2
B C
A C C +=，又
πB C A +=-， ∴
π222B C A +=-，又sin 0C ≠，∴sin 2A
A =，则2sin cos 222A A A
=，而π022
A <<，
∴cos
02A ≠，则sin 2A =，故π23
A =，得2π3A =
. 【小问2解析】由2π3BAC ∠=
，π6
BAD ∠=，则π
2DAC ∠=.
法一：在△ABD 中，πsin sin 6
BD c
BDA =
∠，① 在△ADC 中，πsin sin 2
CD b
ADC =
∠，② ∵πADB ADC ∠+∠=， ∴sin sin BDA ADC ∠=∠，③ 由①②③得：
2BD c CD b =，又33CD BD ==，得1BD =，∴2
3
c b =，不妨设2c m =，3b m =， 在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2
2
2
2π423223cos
3
m m m m =+-⨯⨯，得2
1619m =，
所以11sin 2322219
ABC S b c BAC m m =
⨯∠=⨯⨯⨯=
△. 法二：
π1
sin
sin 621π2sin sin 22
BAD
ADC
c c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠==
=⋅∠△△. ∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等， ∴
13BAD ADC S BD S DC ==△△，由此得：123c b =，即23
c b =，不妨设2c m =，3b m =，
在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2
2
2
2π423223cos
3
m m m m =+-⨯⨯，得2
1619m =，
所以11sin 2322219
ABC S b c BAC m m =
⨯∠=⨯⨯⨯=
△ 【 19题答案】
【分析】（1）由棱柱的性质可得11//AA BB ，即可得到1//BB 平面11ACC A ，再根据线面平行的性质证明即可；
（2）选①②，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，即可得到1AO AC ⊥，根据面面垂直的性质得到1AO ⊥平面ABC ，即可得到1
AO OB ⊥，再由BO AC ⊥，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选②③，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，依题意可得1
AO AC ⊥，再由勾股定理逆定理得到1AO OB ⊥，即得到1
AO ⊥平面ABC ，后续同①②；
选①③，取AC 中点O ，连接BO ，1AO ，
即可得到BO AC ⊥，由面面垂直的性质得到BO ⊥平面11ACC A ，从而得到1BO OA ⊥，再由勾股定理逆定理得到1
AO AO ⊥后续同①②； 【小问1解析】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，又1BB ⊄面11ACC A ，1AA ⊂面11ACC A ， 所以1//BB 平面11ACC A ，又面1B BDE ⋂面11ACC A DE =，1BB ⊂面1B BDE ，所以1//BB DE . 【小问2解析】选①②：连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .
在菱形11ACC A 中1=60?A AC ∠，所以1A AC 为等边三角形.又O 为AC 中点，所以1
AO AC ⊥， 又面ABC ⊥面11ACC A ，面ABC ⋂面11ACC A =AC ， 1AO ⊂平面11ACC A
， 所以1AO ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，故1
AO OB ⊥，又=AB BC ，所以BO AC ⊥. 以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -
，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D . 所以=(3,1,0)BD -
，1DE AA =.
设面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =
，则1111=3+=0
=2=0
n BD x y n DE y ⎧⋅-⎪⎨⋅⎪⎩
，令1=z -
=(1,3,n -.
又(3,2,0)AB =uu u r
，设直线AB 与面1B BDE 所成角为θ，则9sin =cos ,=
=13
AB n AB n AB n
⋅θ〈〉. 所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为
9
13
. 选②③：连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中1=60?A AC ∠，所以1A AC 为等
边三角形.又O 为AC 中点，故1AO AC ⊥
，且1
AO =3OB =
，1A B 所以222
11
AO OB A B +=，则1AO OB ⊥.又=AC OB O ⋂，,AC OB ⊂面ABC ，所以1AO ⊥面ABC ， 由OB ⊂平面ABC ，故1
AO OB ⊥，又=AB BC ，所以BO AC ⊥. 以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -
，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D . 所以=(3,1,0)BD -
，1DE AA =.
设面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =
，则1111=3+=0
=2=0
n BD x y n DE y ⎧⋅-⎪⎨⋅⎪⎩
，令1=z -
=(1,3,n -.
又(3,2,0)AB =uu u r
，设直线AB 与面1B BDE 所成角为θ，则9sin =cos ,=
=13
AB n AB n AB n
⋅θ〈〉. 所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为9
13
. 选①③：取AC 中点O ，连接BO ，1AO .
在ABC 中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =. 又面ABC ⊥面11ACC A ，面ABC ⋂面11ACC A =AC ，BO ⊂面ABC ， 所以BO
⊥平面11ACC A ，又1OA ⊂平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥. 在1Rt BOA 中，1OA ==2OA ，14AA =，
所以222
11OA OA AA +=，则1
AO AO ⊥. 由BO AO O ⋂=，,BO AO ⊂面ABC ，则1
AO ⊥面ABC ， 由OB ⊂平面ABC ，故1
AO OB ⊥，又=AB BC ，所以BO AC ⊥
. 以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)O ，
(0,2,0)A -，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D . 所以=(3,1,0)BD -
，1DE AA =.
设面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则1111=3
+=0
=2=0
n BD x y
n DE y ⎧⋅-⎪⎨⋅⎪⎩，令1=z -=(1,3,n -.
又(3,2,0)AB =uu u r
，设直线AB 与面1B BDE 所成角为θ，则9sin =cos ,=
=13
AB n AB n AB n
⋅θ〈〉. 所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为9
13
. 【 20题答案】
【分析】（Ⅰ）m n <；（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，利用古典概型及排列组合能求出从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率；（III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望． 【 解析】（Ⅰ）m n <．
（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则
()112
1010102
2029
38
C C C P M C +==． 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是29
38
． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．
则()119811*********C C P C C ξ===； ()1111189211
101013
150C C C C P C C ξ+===； ()111211
10101
250
C C P C C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
1825 1350 150
所以随机变量ξ的数学期望18131301225505010E ξ=⨯
+⨯+⨯=．即3
10
E ξ=． 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
【 21题答案】
（1）解：因为椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为1
2，椭圆的右焦点()1,0F ，
所以，1c =，12c a =，则2a =
，故b ==C 的方程为22
143
x y +=.
（2）证明：设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为1x my =+，其中0m ≠，
联立22
143
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
2234690m y my ++-=，()22
3636340m m ∆=++>， 由韦达定理可得122634m y y m +=-
+，122934y y m =-+，所以()12
123
2
my y y y =+， 易知点()2,0A -、()2,0B ，1
113
y k my =
+，
所以，直线AM 的方程为()1
123
y y x my =
++，
将4x =代入直线AM 的方程可得1163y y my =
+，即点1164,3y P my ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
1
112163233
y my y k my +==+，22
32221
y y k x my ==--， 所以，()()
121212
131212233131y y my y y y k k my my my my -++=
+=+-+-，
所以，()()1312121121212
2121
1211223323262312223k k my y y y my my y y y y y k my my y my y y y y λ+-++-++=
=⋅===+--+. 【 22题答案】
【分析】（1）求出()R x '，()R x ''，()f x '
，()f x ''，依题意可得()()00f R ''=，()()00f R ''''=，即可得
到方程组，解得即可；
（2）由（1）知，即证11ln 112x x ⎛
⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，令11t x =+，即证()
()0,11,t ∈+∞时()
1
ln 121t t t +⋅>-，
记()()
21ln 1
t t t t ϕ-=-+，()
()0,11,t ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
（3）分析可得1
10x +
>，即0x >或1x <-，先考虑1
2
1e 1x x +
⎛⎫
<+ ⎪⎝⎭
，该不等式等价于12
11ln 1x x +
⎛⎫
+ ⎝⎭
>⎪，
结合（2）的结论即可，再考虑11e x
x ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
，该不等式等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，利用导数证明ln 1x x <-，
()
()0,11,x ∈+∞，即可得到11
ln 1x x
⎛⎫+
< ⎪⎝⎭，()(),10,x ∈-∞-⋃+∞，再分类讨论即可判断. 【小问1解析】因为()1ax R x bx =+，所以()2()1a R x bx '=+，()32()1ab R x bx -''=+， ()ln(1)f x x =+，则1()1f x x '=
+，()
21()1f x x ''=-+，由题意知，()()00f R ''=，()()00f R '
'''=， 所以121
a a
b =⎧⎨-=-⎩，解得1a =，1
2b =.
【小问2解析】由（1）知，即证11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫+
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x
=+，则0t >且1t ≠， 即证()()0,11,t ∈+∞时
()1
ln 121t t t +⋅>-，记()()21ln 1
t t t t ϕ-=-+，()()0,11,t ∈+∞，
则()()()()2
22
114
011t t t t t t ϕ-'=-
=>++，所以()t ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递增， 当()0,1t ∈时()()10t ϕϕ<=，即()21ln 1t t t -<
+，即()1ln 121t t t +⋅>-成立， 当()1,t ∈+∞时()()10t ϕϕ>=，即()21ln 1
t t t ->
+，即
()
1
ln 121t t t +⋅>-成立，
综上可得()
()0,11,t ∈+∞时()
1
ln 121t t t +⋅>-，
所以11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫
+
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立，即1()1x b f x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
成立. 【小问3解析】由题意知，欲使得不等式1
2
111e 1x
x x x +⎛⎫⎛⎫
+
<<+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
成立，
则至少有1
10x
+
>，即0x >或1x <-，
首先考虑12
1e 1x x +
⎛⎫
<+ ⎪⎝⎭
，该不等式等价于12
11ln 1x x +
⎛⎫
+ ⎝⎭
>⎪，即11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫
+
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又由（2）知11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫
+
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立， 所以使得12
1e 1x x +⎛⎫
<+ ⎪⎝⎭
成立的x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞，
再考虑11e x
x ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
，该不等式等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，
记()ln 1h x x x =-+，()()0,11,x ∈+∞，
则()111x
h x x x
-'=
-=，所以当01x <<时()0h x '>，1x >时()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()10h x h <=，即ln 1x x <-，()()0,11,x ∈+∞，
所以11
ln 1x x
⎛⎫+
< ⎪⎝⎭，()(),10,x ∈-∞-⋃+∞， 当()0,x ∈+∞时由11ln 1x x ⎛⎫+
< ⎪⎝
⎭，可知1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 当(),1x ∈-∞-时由11ln 1x x ⎛⎫+
< ⎪⎝
⎭，可知1ln 11x x ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
不成立， 所以使得11e x
x ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
成立的x 的取值范围是()0,∞+，
综上可得不等式1
2
111e 1x x x x +
⎛⎫⎛⎫
+
<<+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的解集为()0,∞+.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定0x >或1x <-，分别求12
1e 1x x +⎛⎫<+
⎪⎝
⎭
、11e x
x ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
对应解集，进一步转化为求11ln 112x x ⎛⎫⎛⎫+
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
的解集，构造中间函数研究不等式成立的x 取值.。