2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 用配方法解方程x2−6x−7=0，可变形为( )
A. (x+3)2=16
B. (x−3)2=16
C. (x+3)2=2
D. (x−3)2=2
2. 若关于x的方程(a−1)x2+2ax−1=0是一元二次方程，则a的取值范围为( )
A. a≠1
B. a>1
C. a<1
D. a≠0
3. 关于x的一元二次方程x2+2x+4=0，方程的根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
4. 二次函数y=1
(x−4)2+5的图象的顶点是( )
2
A. (−4,−5)
B. (−4,5)
C. (4,−5)
D. (4,5)
5. 若A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)为二次函数=x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，
y3的大小关系
是( )
A. y1<y2<y3
B. y1<y3<y2
C. y2<y1<y3
D. y3<y1<y2
6. 如图，将抛物线y=x2−2x−3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图
形C1，当直线y=b−1(b为常数)与图形C1有三或四个公共点时，则b的取值范围是( )
A. 0<b<4
B. 1<b≤4
C. 1<b≤5
D. 0≤b<5
7. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s=15t−
6t2.汽车刹车后到停下来前进了秒．( )
A. 75
8
B. 75
4
C. 5
2
D. 5
4
8. 已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)，y与x的部分对应值如表所示：
下面四个结论中，正确的有( )
①a<0；
②抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点为(2,−4)；
③关于x的方程ax2+bx=5的解为x1=−1，x2=5；
④m=−3．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 方程(x+1)2=4的根是______ ．
10. 若关于x的一元二次方程(3a−6)x2+(a2−4)x+a+9=0没有一次项，则a=______．
11. 关于x的一元二次方程ax2+bx−2019=0的有一个根为x=1，写出满足条件的实数a，b的值______．
12. 二次函数y=ax2−3ax+c(a<0,a,c均为常数)的图象经过A(−2,y1)、B(2,y2)、
C(0,y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是______．
13. 已知二次函数y=x2−(2m+1)x−3m，在−2≤x≤3上有最大值6，则m的值为______．
14. 已知二次函数y=−x2+2mx+1，当−2≤x≤1时最大值为4，则m的值为______．
15. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s=15t−6t2，则汽车刹车后前进了______m停下来．
16. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①abc>0；②16a−4b+c<0；③若方程ax2+bx+c=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，
.其中正确结论的是______．
则−5<x1<x2<1；④a2+ab+c的最小值为−5
4
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x(2x−5)=4x−10；
(2)x2−2√5x+1=0；
(3)2x2+x=−4．
18. (本小题8.0分)
商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，商品销售正常的
情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？
19. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若△ABC的一条边BC的长为√10，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．当k=2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)设方程两实数根分别为x1、x2，且3
x1+3
x2
=x1x2−4，求实数k的值．
20. (本小题8.0分)
如图，直线y1=−x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y2=ax2+bx+c 与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
(1)求抛物线解析式；
(2)当y1<y2时，直接写出x的取值范围．
21. (本小题8.0分)
一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为x cm，则可列方程为______．(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出
底面积为104cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状完全相同)？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间(只要直接写出答案)．
23. (本小题8.0分)
小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y(千克)与增种桃树x(棵)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？
(3)如果增种的桃树x(棵)满足：20≤x≤40，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克？
24. (本小题8.0分)
x2+bx+4的对称轴是直线x=2，与x轴相交于如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1
3
A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(Ⅰ)求b的值及B，C两点坐标；
(Ⅱ)M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．
①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；
②连接CM，当线段CM=CD时，求点M坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x2−6x−7=0，
∴x2−6x=7，
则x2−6x+9=7+9，即(x−3)2=16，
故选：B．
将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，从而得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程(a−1)x2+2ax−1=0是一元二次方程，
∴a−1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】解：x2+2x+4=0，
∵Δ=22−4×1×4=−12<0，
∴方程没有实数根，
故选：A．
先求出Δ，判断Δ的正负，即可得出选项．
本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
4.【答案】D
(x−4)2+5，
【解析】解：∵y=1
2
∴顶点坐标为(4,5)．
故选：D．
利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)是解题的关键．
5.【答案】C
=−1，
【解析】解：∵对称轴为直线x=−−2
2×1
且a=1>0，
∴A到对称轴直线x=−1的距离为1，
B到对称轴直线x=−1的距离为0，
C到对称轴直线x=−1的距离为3，
∵0<1<3，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴y2<y1<y3．
故选：C．
由对称轴为直线x=−1，a=1>0可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据开口向上，离对称轴越近函数值越小是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：当y=0时，x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线y=x2−2x−3的顶点坐标为(1,−4)，
∵点(1,−4)关于x轴的对称点的坐标为(1,4)，
∴抛物线y=x2−2x−3在x轴下方部分沿x轴翻折后的图象解析式为y=−(x−1)2+4(−1<
x <3)，
∵直线y =b −1(b 为常数)与图形C 1有三或四个公共点，
∴b −1=4时，有3个交点；当0<b −1<4时，有4个交点，如图，
即0<b −1≤4， 解得1<b ≤5． 故选：C ．
先解方程x 2−2x −3=0得A(−1,0)，B(3,0)，再利用配方法得到抛物线y =x 2−2x −3的顶点坐标为(1,−4)，所以抛物线y =x 2−2x −3在x 轴下方部分沿x 轴翻折后的图象解析式为y =−(x −1)2+4(−1<x <3)，然后结合函数图象，当0<b −1≤4时，直线y =b −1(b 为常数)与图形C 1有三或四个公共点，从而得到b 的范围．
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵s =15t −6t 2=−6(t −54
)2+758
， ∴当t =54
时，S 取得最大值758
， 即汽车刹车后到停下来前进了54
秒， 故选：D ．
求出函数的最大值时自变量的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵y=ax2+bx(a≠0)，
∴x=0时，y=0，
∴图象经过点(0,0)，
∵图象经过(4,0)，
∴图象对称轴为直线x=0+4
=2，
2
由表格可得，x>2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线图象开口向上，a>0，故①不正确；
∵图象对称轴为直线x=2，
∴抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点为(2,−4)，故②正确；
∵图象对称轴为直线x=2，
∴点(5,5)关于直线x=2的对称点为(−1,5)，
∴抛物线经过(−1,5)，(5,5)，
∴关于x的方程ax2+bx=5的解为x1=−1，x2=5，故③正确；
∵抛物线经过(3,−3)，抛物线对称轴为直线x=2，
∴抛物线经过点(1,−3)，
∴m=−3，故④正确．
故选：B．
根据图象图象经过点(0,0)，(4,0)可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上，从而可判断①②；由抛物线对称性求得(5,5)的对称点(−1,50，则图象经过(−1,5)，(5,5)可得ax2+bx=5的解为x1=−1，x2=5从而判断③；根据抛物线的对称性即可求得m=−3从而判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格判断出抛物线开口方向与对称轴．
9.【答案】x1=1，x2=−3
【解析】解：由原方程，得x+1=±2．
解得x1=1,x2=−3．
故答案是：x1=1,x2=−3．
先求4的平方根，然后解关于x的一元一次方程．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=
a(a ≥0)；ax 2=b(a,b 同号且a ≠0)；(x +a)2=b(b ≥0)；a(x +b)2=c(a,c 同号且a ≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
10.【答案】−2
【解析】解：由题意得：a 2−4=0，且3a −6≠0， 解得：a =−2， 故答案为：−2．
根据没有一次项可得a 2−4=0，且3a −6≠0再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c =0(a ≠0)．
11.【答案】a =2019，b =0(答案不唯一，只要a ≠0即可)
【解析】解：把x =1代入方程得：a +b −2019=0， 当a =2019时，b =0，
则满足条件的实数a ，b 的值为a =2019，b =0(答案不唯一，只要a ≠0即可)． 故答案为：a =2019，b =0(答案不唯一，只要a ≠0即可)． 把x =1代入方程得到a 与b 的关系式，确定出一对a 与b 的值即可．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】y 1<y 3<y 2
【解析】解：∵y =ax 2−3ax +c(a <0,a,c 均为常数)， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x =−
−3a 2a
=32
，
∴B(2,y 2)关于直线x =32
的对称点是(1,y 2)， ∵−2<0<1<3
2
， ∴y 1<y 3<y 2，
故答案为：y 1<y 3<y 2．
根据二次函数的解析式得出图象的图象的开口向下，对称轴是直线x =3
2，根据x <3
2时，y 随x 的
增大而增大，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：∵y=x2−(2m+1)x−3m．
∴对称轴为：x=2m+1
2
，
①当2m+1
2>3，即m>5
2
，则x=−2时，y=6，
∴4+4m+2−3m=6，∴m=0(舍去)．
②当−2≤2m+1
2≤3时，即−5
2
≤m≤5
2
，
若x=−2时，y取最大值6，∴4+4m+2−3m=6，
解得m=0．
若x=3时，y取最大值6，
则9−3(2m+1)−3m=6，解得：m=0；
③当2m+1
2<−2，即m<−5
2
时，
若x=3时，y取最大值，
∴9−3(2m+1)−3m=6，解得：m=0(舍去)，
综上：m的值为0．
故答案为：0．
分三种情况讨论，得到关于m的方程，解方程求得m的值，看是否符合题意即可．
本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
14.【答案】−√3或2
【解析】解：∵二次函数y=−x2+2mx+1对称轴的直线为x=m，a=−1<0，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，①当m≤−2时，若−2≤x≤1，y随x的增大而减小，
∴x =−2时，二次函数y =−x 2+2mx +1有最大值4， ∴−(−2)2+2×(−2)m +1=4，解得m =−74
， ∵−74
>−2，
∴m =−74，不符合题意； ②当−2≤m ≤1时，
∵顶点D 点的坐标为(m,m 2+1)，
∴x =m 时，二次函数y =−x 2+2mx +1有最大值4， ∴m 2+1=4，解得m =±√3(√3>1，不符合题意，舍去)， ∴m =−√3；
③当m ≥1时，若−2≤x ≤1，y 随x 的增大而增大， ∴x =1时，二次函数y =−x 2+2mx +1有最大值4， ∴−12+2m +1=4，解得m =2，
综上，当−2≤x ≤1时，二次函数y =−x 2+2mx +1有最大值4，m 的值为−√3或2． 故答案为：−√3或2．
分三种情况：①当m ≤−2时，②当−2≤m ≤1时，③当m ≥1时，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，题目比较好，有一定的难度．
15.【答案】75
8
【解析】解：∵s =15t −6t 2=−6(t −5
4)2+75
8，
∵−6<0，
∴当t =5
4
时，s 有最大值，最大值为758
， ∴汽车刹车后到停下来前进了75
8
m. 故答案为：75
8
．
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s 的最大值即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
16.【答案】②③④⑤
【解析】解：∵抛物线的开口向上，则a >0，对称轴在y 轴的左侧，则b >0，交y 轴的负半轴，则c <0，
∴abc <0，①错误； 抛物线的顶点坐标(−2,−9a)， ∴−b
2a =−2，4ac−b 2
4a =−9a ，
∴b =4a ，c =−5a ，
抛物线的解析式为y =ax 2+4ax −5a ，
∴4a +2b +c =4a +8a −5a =7a >0，②正确； 9a −b +c =9a −4a −5a =0，③正确； 抛物线y =ax 2+4ax −5a 交x 轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程a(x +5)(x −1)=−1两个根x 1和x 2且x 1<x 2，则一5<x 1<x 2<1.④正确； 当x =−2时，y =ax 2+bx +c 有最小值−9a ，a 2+ab +c =a 2+a ×4a −5a =5a 2−5a =5(a −1
2)2−5
4，最小值为−5
4.故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b =4a 、c =−5a ，进而判断②③；由a(x +5)(x 一1)=−1有两个根x 1和x 2且x 1<x 2，即可判断④；和判断⑤． 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)移项得：x(2x −5)−2(2x −5)=0，
分解因式得：(2x −5)(x −2)=0， 所以2x −5=0或x −2=0， 解得：x 1=5
2
，x 2=2；
(2)这里a =1，b =−2√5，c =1，
∵Δ=(−2√5)2−4×1×1=20−4=16>0， ∴x =
2√5±4
2
，
解得：x1=√5+2，x2=√5−2；
(3)方程整理得：2x2+x+4=0，
这里a=2，b=1，c=4，
∵Δ=1−4×2×4=1−32=−31<0，
∴此方程没有实数根．
【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
(2)方程利用公式法求出解即可；
(3)方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：设每件商品售价定为x元，商场日盈利可达1500元，
由题意，得：(x−120)[70−(x−130)]=1500，
整理得：x2−320x+25500=0，
解得：x1=150，x2=170，
答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场日盈利可达1500元．
【解析】设每件商品售价定为x元，商场日盈利可达1500元，根据总利润=单件利润×销售数量，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2−4x+k+1=0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ=16−4(k+1)=16−4k−4=12−4k≥0，
解得k≤3．
故k的取值范围为：k≤3；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
当k=2时，
原方程化为：x2−4x+3=0，
解得：x=3或x=1，
∴32+12=(√10)2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1x2=k+1，
∵3 x1+3
x2
=x1x2−4，
∴3(x1+x2)
x1x2
=x1x2−4，
代入x1+x2和x1x2的值，可得：12
k+1
=k+1−4，
解得：k1=−3，k2=5，
∵k≤3．
∴k=−3，
经检验，k=−3是原方程的根，
故k=−3．
【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案；
(2)将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
(3)根据根与系数的关系即可求出答案．
本题是三角形综合题，考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，解分式方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式．
20.【答案】解：(1)由题意B(3,0)，C(0,3)，
∵抛物线的对称轴x=2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A(1,0)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，
把C(0,3)代入得到a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．
(2)当y1<y2时，x<0或x>3．
【解析】(1)判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，把C(0,3)代入得到a=1即可；
(2)根据图象即可求得．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
21.【答案】(30−2x)(12−2x)=144；
【解析】解：(1)设切去的正方形的边长为x cm，则折成的方盒的底面为长(30−2x)cm，宽为(12−2x)cm的矩形，
依题意，得：(30−2x)(12−2x)=144．
故答案为：(30−2x)(12−2x)=144；
(2)设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长(30
−y)cm，宽为(12−2y)cm
2
的矩形，
−y)(12−2y)=104，
依题意，得：(30
2
整理，得：y2−21y+38=0，
解得：y1=2，y2=19(不合题意，舍去)，
∴y=2．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，正方形的边长为2cm．
(1)设切去的正方形的边长为x cm，则折成的方盒的底面为长(30−2x)cm，宽为(12−2x)cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；
(2)设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长(30
−y)cm，宽为(12−2y)cm
2
的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：
(1)当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB−AP=8−2=6(cm)，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=√BP2+BQ2=√62+42=2√13(cm)，
即PQ的长为2√13cm；
(2)由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB−AP=8−t，
，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8−t=2t，解得t=8
3
∴出发8
3
秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)当t的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形时．
【解析】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强．
(1)可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
(2)用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
(3)在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC−2t=16−2t，
∴CQ=AC−AQ=10−(16−2t)=2t−6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD=1
2CQ=t−3，在Rt△ABC中，求得BD=24
5
，
在Rt△BCD中中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=(24
5
)2+(t−3)2，解得t=6.6或t=−0.6<0(舍去)；
②当CQ=BC=6时，则2t−6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=1
2
AC=5，即2t−6=5，解得t=5.5；
综上可知当t 的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ 为等腰三角形时．
23.【答案】解：(1)设函数的表达式为y =kx +b ，该一次函数过点(12,74)，(28,66)，
得{12k +b =7428k +b =66， 解得{k =−1
2b =80
，
∴该函数的表达式为y =−12
x +80； (2)根据题意，得，
(−0.5x +80)(80+x)=6750， 解得，x 1=10，x 2=70 ∵投入成本最低．
∴x 2=70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克； (3)根据题意，得
w =(−0.5x +80)(80+x) =−0.5 x 2+40 x +6400 =−0.5(x −40)2+7200
∵a =−0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值， ∵20≤x ≤40，
∴当x =20时，w 最小值=7000kg ； ∴桃园的总产量最少是7000千克．
【解析】(1)函数的表达式为y =kx +b ，把点(12,74)，(28,66)代入解方程组即可． (2)列出方程解方程组，再根据实际意义确定x 的值． (3)构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(Ⅰ)∵对称轴是直线x =2，
故x =2=−b
2a =−
b 2×(−1
3)
，
解得b =4
3
，
故抛物线的表达式为y =−13
x 2+43
x +4， 令y =0，即−1
3x 2+4
3x +4=0，
解得x =−2或x =6， ∴B(6,0)，
令x =0，得y =4， ∴C(0,4)；
(Ⅱ)①设直线BC 的表达式为y =mx +n ，则{0=6m +n
n =4，解得{m =−2
3n =4，
故直线BC 的表达式为y =−23
x +4，
设点M 的坐标为(x,−13
x 2+43
x +4)，则点D 的坐标为(x,−23
x +4)， ∴MD =−1
3x 2+4
3x +4−(−2
3x +4)=−1
3x 2+2x =−1
3(x −3)2+3， ∴当线段MD 的长取最大值时，x =3， ∴M(3,5)；
②由①知，直线BC 的表达式为y =−2
3x +4，
设点M 的坐标为(x,−13
x 2+43
x +4)，则点D 的坐标为(x,−23
x +4)， 当线段CM =CD 时，则点C 在MD 的中垂线上，即y C =1
2(y M +y D )，
即4=1
2[−1
3x 2+4
3x +4+(−2
3x +4)]，
解得x =0(舍去)或2， 故点M 的坐标为(2,
16
3
). 【解析】(Ⅰ)根据题意列方程求得b =4
3，于是得到抛物线的表达式为y =−1
3x 2+4
3x +4，解方
程即可得到结论；
(Ⅱ)①设直线BC 的表达式为y =mx +n ，解方程组得到直线BC 的表达式为y =−2
3x +4，设点M
的坐标为(x,−1
3x 2+4
3x +4)，则点D 的坐标为(x,−2
3x +4)，得到MD =−1
3x 2+4
3x +4−(−2
3
x +
4)=−1
3x2+2x=−1
3
(x−3)2+3，根据二次函数的性质即可得到结论；
②由①知，直线BC的表达式为y=−2
3x+4，设点M的坐标为(x,−1
3
x2+4
3
x+4)，则点D的坐标
为(x,−2
3
x+4)，根据题意列方程即可得到结论．
主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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