2019年12月21日 周末培优-每日一题上学期八年级数学人教版(期末复习)

12月21日 周末培优
中考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
如图，已知20B ∠=︒，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，以此类推3A ∠的度数是__________．
【参考答案】20°
【试题解析】∵∠B =20°，AB =A 1B ，
∴∠A =12
（180°–∠B ）=80°， ∵1112A B A A =，
∴∠2A =1802
⨯︒=40︒． ∵2223A B A A =，
∴∠3A =12
⨯40°=20°．
故答案为：20°．
【解题必备】
三角形外角的应用方法：
三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角，求角时，一般可以把所求角看作某一个三角形的内角进行分析，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质，将这些结合起来，问题就容易解决了．
1．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为
A．∠1+∠2=∠4-∠3 B．∠1+∠2=∠3+∠4
C．∠1-∠2=∠4-∠3 D．∠1-∠2=∠3-∠4
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
3．如图，∠B=36°，∠D=50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数．
4．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n–1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）求∠A1的度数；
（2）∠A n的度数．
1．【答案】A
【解析】如下图，由三角形外角的性质可得：∠5=∠2+∠3，∠4=∠1+∠5，
∴∠4=∠1+∠2+∠3，∠1+∠2=∠4-∠3．故选A．
2．【解析】∵∠1是△AEF 的外角，
∴∠1=∠A +∠E ．
∵∠2是△BOC 的外角，
∴∠2=∠B +∠C ．
在△DOF 中，∠D +∠1+∠2=180°，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠D +∠1+∠2=180°． 3．【解析】∵∠ARC 是△ARB 和△CRM 的外角，
∴∠ARC =∠B +∠BAR =∠M +RCM ，
同理，∠AQC =∠D +∠QCD =∠DAM +∠M ，
∴∠B +∠BAR +∠D +∠QCD =∠RCM +∠DAM +2∠M ， ∵AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，
∴∠BAR =∠DAM ，∠QCD =∠RCM ，
∴2∠M =∠B +∠D ．
∴∠M =12（∠B +∠D ）=12
×（36°+50°）=43°． 4．【解析】（1）∵BA 1是∠ABC 的平分线，CA 1是∠ACD 的平分线，
∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12
∠ACD ， 又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1， ∴12（∠A +∠ABC ）=12
∠ABC +∠A 1， ∴∠A 1=
12∠A ， ∵∠A =θ， ∴∠A 1=2
θ． （2）同理可得∠A 2=
12∠A 1=12·2θ=22
θ，所以∠A n =2n θ．。