2019年江苏省宿迁市泗阳李口中学高二数学理上学期期末试题含解析

2019年江苏省宿迁市泗阳李口中学高二数学理上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据题意代入化简即得复数，再根据虚部概念得结果
【详解】根据欧拉公式，可得，
∴的虚部为．
故选：B．
【点睛】本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. 某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（）
A. 0.5
B. 0.48
C. 0.4
D. 0.32
参考答案：
B
【分析】
事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.
【详解】设“第一次投进球”为事件，“第二次投进球”为事件，则得2分的概率为
.故选B.
【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.
3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）
A．B．2πC．3πD．4π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的表面积包括三部分，两个圆的面积和一个矩形的面积，写出表示式，得到结果．
【解答】解：由三视图知几何体是一个圆柱，
圆柱的底面是一个直径为1的圆，
圆柱的高是1，
∴圆柱的全面积是2×π+2=，
故选A．
4. 若是z的共轭复数，且满足，则z=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据复数运算，先求得，再求其共轭复数，则问题得解.
【详解】由题知,则．
故选：B.
【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题.
5. 设，则“3，m，27”为等比数列是“m=9”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
6. 函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在直线
上（其中），则的最小值等于（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
参考答案：
D
【分析】
由对数函数的性质可得定点，得到，再把式子化为
，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由对数函数的性质可得，函数点的图象恒过定点，又因为点在直线，所以，
则，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为4，故选D.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7. 某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（）
A．474种B．77种C．462种D．79种
参考答案：
A
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．
【解答】解：使用间接法，
首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，
其中上午连排3节的有3A33=18种，
下午连排3节的有2A33=12种，
则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种，
故选A．
8. 随机变量服从二项分布，且，则p等于（）
A. B. C. 1 D. 0
参考答案：
B
因为,所以,解得.即等于.故选B.
二、填空题
9. 下列4个命题
其中的真命题是
参考答案：
10. 若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：常规题型；简易逻辑．
分析：由若﹁p，则﹁q的逆否命题为若q，则p，可知q是p的必要不充分条件，从而p 是q的充分不必要条件．
解答：解：∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题考查了充分、必要条件的转化，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设变量满足约束条件，则的最大值
是 .
参考答案：
5
12. 在中，若，则外接圆半径
．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径= ．
参考答案：
略
13. 已知集合，试用列举法表示集合=
参考答案：
14. 双曲线的离心率为___________.
参考答案：
略
15. 若变量x，y满足约束条件的最大值= ．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
则当直线y=﹣2x+z经过点A（2，﹣1）时，直线的截距最大，
此时z最大，
此时z=3，
故答案为：3；
16. 已知x＞0，y＞0且x+y=4，要使不等式≥m恒成立，则实数m的取值范围是
．
参考答案：
【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=4，
∴===，当且仅当
y=2x=时取等号．
∵不等式≥m恒成立，
∴．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
17. 给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则
其中真命题的序号是：_________
参考答案：
①②
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
（I）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，试求出a的取值范围.
参考答案：
（I）当时，函数
令即解得
令解得或
所以当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
（Ⅱ）法一：
函数在上单调递增，
等价于在区间恒成立，
等价于在区间恒成立.
等价于
令
因为
所以函数在区间上单调递增，
故
所以的取值范围是
法二：
函数在上单调递增，
等价于在区间恒成立，
令
则命题等价于在区间恒成立.
（1）当时，由解得
（2）当时因为函数图像的对称轴
此时只有满足，解得.
综上所述的取值范围是
19. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
参考答案：
略
20.
（本题满分50分）已知无穷数列满足，, .
1）对于怎样的实数与，总存在正整数，使当时恒为常数？
2）求通项
参考答案：
解析:1）我们有
，（2.1）
所以，如果对某个正整数，有，则必有, 且.
如果该，我们得
且. ………………（10分）（2.2）
如果该，我们有
, （2.3）和
, （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得
, （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或
且.
（2.6）
反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当n≥2时，必有a n=常数，且常数是1或－1.
2）由（2.3）和（2.4），我们得到
, （2.7
）记, 则当时，
由此递推，我们得到
, （2.8）这里
，, . （2.9）由（2.9）解得
. （2.10）上式中的n还可以向负向延伸，例如
.
这样一来，式（2.8）对所有的都成立.由（2.8）解得
, . （2.11）式（2.11）中的由（2.10）确定.
21. (本题满分14分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
参考答案：
（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
… ……………2分
直方图
略
…………………4分
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为
所以，抽样学生成绩的合格率是% , ................6分
利用组中值估算抽样学生的平均分
………………….8分
＝＝71
估计这次考试的平均分是71
分……………………. 9分
（Ⅲ），，”的人数是18,15,3。

所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

……………………14分
22. 给定椭圆（），称圆为椭圆的“伴随圆”．
已知椭圆中，离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当
时，
求弦长的最大值．
参考答案：
1）
2)
,令，当时。