2019届安徽省合肥市第九中学高三下学期最后一次模拟数学(文)试题(解析版)

2019届安徽省合肥市第九中学高三下学期最后一次模拟数学
（文）试题
一、单选题 1．已知全集，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】先计算出全集，然后利用补集的定义求出集合.
【详解】 全集，
，因此，
，故选：B.
【点睛】
本题考查有限数集补集的运算，解题的关键就是补集定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
2．设复数(32)(25)z i i =+-，则复数z 的虚部为（ ） A ．-16 B ．-11
C ．11
D ．16
【答案】B
【解析】化简复数为z a bi =+的形式，由此求得复数的虚部. 【详解】
依题意，(32)(25)615410z i i i i =+-=-++1611i =-，故复数z 的虚部为-11.故选B. 【点睛】
本小题主要考查复数乘法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.
3．某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[
)20,30的概率为（ ）
A ．
3
5
B ．
720
C ．
310
D ．
12
【答案】C
【解析】确定迟到次数在[20,30)的人数即可求解 【详解】
依题意，该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20,30)的有6人，故所求概率3
10
P =. 故选：C 【点睛】
本题考查茎叶图、概率的计算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若616a =，535S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．3 B ．2
C ．-2
D ．-3
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质，由5S 求得3a 的值，根据等差数列公差的计算公式计算出公差. 【详解】
由等差数列性质可知，155355352a a S a +=⨯==，解得37a =，故63363
a a
d -==-.故选：A. 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，考查等差数列公差的计算公式，属于基础题.
5．《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸. 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺.问需要多少日两蔓相遇.”其中1尺=10寸.为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k 的值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】C
【解析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a,n,S 的值，当S=-1.2时满足条件
S 0£ 退出循环输出n 的值从而得解
【详解】
运行该程序，第一次，9 1.77.3S =-=，2k =；第二次，7.3 1.7 5.6S =-=，3k =；第三次， 5.6 1.7 3.9S =-=，4k =；第四次， 3.9 1.7 2.2S =-=，5k =；第五次，
2.2 1.70.5S =-=，6k =；第六次，0.5 1.7 1.2S =-=-，此时输出的k 的值为6
故选：C 【点睛】
本题考查数学文化、算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.
6．设双曲线C ：22
1(0)8x y m m
-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双
曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM
∠=∠，
则MN =（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．4
【答案】A 【解析】由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N =，再由定义即可求解
【详解】
由22F MN
F NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，21MF MF -=，
12NF NF -=，两式相加得，11||NF MF MN -==.
故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.
7．为了得到函数()2cos 3g x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，
只需将函数()4cos4f x x x =-的图象（ ）
A ．横坐标压缩为原来的
14，再向右平移2π
个单位 B ．横坐标压缩为原来的1
4
，再向左平移π个单位
C ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2
π
个单位 D ．横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位
【答案】D
【解析】先将()f x 整理为()2sin 46f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，再根据伸缩变换和平移即得. 【详解】
由题得，()3sin 4cos 42sin 46f x x x x π⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
，函数()f x 的横坐标伸长为原来的4倍，得到2sin 6y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，再向左平移π个单位后得到52sin 2sin 2sin 6632y x x x πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+=+
=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭2cos ()3x g x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
.
故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，是基础题.
8．如图，小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．68
B ．72
C ．84
D ．106
【答案】C
【解析】根据三视图做出几何体的直观图，可知该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，计算111ABC A B C D ABC V V V --=-即得. 【详解】
作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体为三棱柱111ABC A B C -切割掉三棱锥D ABC -所得的几何体，故所求体积
111114
666664668423223
V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题考查三视图，柱体和锥体的体积公式，考查空间想象能力.
9．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2±
C ．4
D ．4±
【答案】B
【解析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到
22
1414ax x x ax
++=
+-.
【详解】
()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-
即：()
2
22
sin ln 14sin ln
14sin ln
14x ax x x x ax x x ax
⋅+=-⋅+=⋅+-22
1414ax x x ax
∴+=
+-恒成立，即：222141x a x +-=
24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.
10．在平面四边形ABCD 中，2AB BC ==，22AC AD ==30CAD ∠=︒，现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，则此时得到的三棱锥D ABC -外接球的表面积为（ ） A ．(163)π-
B ．(64323)π-
C ．(843)π-
D ．(163)π-
【答案】B
【解析】由平面DAC ⊥平面ABC ，知ACD n 的外心即为球心，求ACD n 的外接圆半径即可解答. 【详解】
由题知ABC n 为等腰直角三角形，设AC 边中点为E,ACD n 的外心为O ，连接OE ，所以OE AC ⊥，
又平面DAC ⊥平面ABC ，∴OE ABC,⊥面 ∴O 为外接球的球心，
由余弦定理得)
2
882162
1,6
CD CD π
=+-⨯=-=
∴
2R=
)
2
1
6
sin
π
=)4
1
,R=)
2
1,
所以三棱锥D-ABC 外接球的表面积为24πR
=(64π- 故选B. 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.
11．已知函数2
()e (1)(21)x
f x a x a x =---+在(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．211,,24e e ⎛⎫--⎛
⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．211,,24e e ⎡⎫--⎛
⎤-∞-+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U C ．2e e 11,,24⎛⎫--⎛
⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U D ．2e e 11,,24⎡⎫--⎛
⎤-∞+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭
U 【答案】D
【解析】对函数()f x 求导，利用导数研究单调性，分()f x 在(1,2)上单调递增和单调递减两种情况，分别讨论，并结合参变分离的方法，可求出实数a 的取值范围. 【详解】
依题意()2(1)(21)x
f x e a x a '
=---+，
①若函数()f x 在(1,2)上单调递增，则()2(1)(21)0x
f x e a x a '=---+≥在(1,2)上恒
成立，即e 12x a x
-≤，
令1()x e g x x -=，故22
1(1)1
()0x x x xe e x e g x x x
-+-+'==>， 故函数()g x 在(1,2)上单调递增，故()(1)e 1g x g >=-， 所以只需1
2
e a -≤
，即可满足()f x 在(1,2)上单调递增； ②若函数()f x 在(1,2)上单调递减，则()2(1)(21)0x
f x e a x a '=---+≤在(1,2)上恒
成立，即e 12x a x
-≥，
由①知1
()x e g x x -=在(1,2)上单调递增，21()(2)2
e g x g -<=，
所以只需21
4
e a -≥，即可满足()
f x 在(1,2)上单调递减.
综上，实数a 的取值范围为211,,24e e ⎡⎫--⎛
⎤-∞+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭
U 时，函数()f x 在(1,2)上单调. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，注意利用参变分离的方法，考查运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
12．如图所示，体积为8的正方体1111ABCD A B C D -中，分别过点1A ，1C ，B 作1A M ，
1C N ，BP 垂直于平面1ACD ，垂足分别为M ，N ，P ，则六边形1D MAPCN 的面
积为（ ）
A ．3
B ．46
C ．12
D ．2
【答案】A
【解析】作出六边形1D MAPCN ,由几何关系得六边形1D MAPCN 为正六边形故面积可求
【详解】
依题意，2AB =.因为111A D A A = ，故111A D A A ，在平面1ACD 的投影1MD MA =，同理1,ND NC PC PA ==，作出六边形1D MAPCN ，六边形1D MAPCN 为正六边形，如图所示，由三角形1ACD 的边长1
22DC =，知
122
3
D N =，故所求六边形的面积2
3226433S ⎛⎫
=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选A
【点睛】
本题考查利用空间几何体的结构，考查空间想象能力、推理论证能力以及数形结合思想.
二、填空题
13．设向量(2,4)m u r =，(3,)()n R λλ=-∈r ，若m n ⊥u r r
，则λ=______.
【答案】
32
【解析】由向量垂直得λ的方程求解即可 【详解】
依题意，0m n ⋅=u r r ，即640λ-+=，解得32
λ=. 故答案为 32
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
14．设实数x ，y 满足1028010x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =-的最大值为____________.
【答案】21
【解析】作出不等式表示的平面区域，利用数形结合可得. 【详解】
作出不等式所表示的平面区域，观察可知，当直线2y x z =-过点B 时，z 取得最大值，
联立28010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得101x y =⎧⎨=-⎩
，故2z x y =-的最大值为
21.
故答案为：21 【点睛】
本题考查二元一次不等式组与平面区域，线性规划，考查运算求解能力以及数形结合思想.
15．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12
log (1)4x ->-成立的概率为
______. 【答案】4
5
P =
【解析】解对数不等式求得x 的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求的概率. 【详解】 依题意，
1112
2
2
log (1)4log (1)log 16
x x ->-⇔->0116117x x ⇔<-<⇔<<，故
所求概率1714
2005
P -==-.故答案为：45P =.
【点睛】
本小题主要考查对数不等式的解法，考查几何概型概率计算方法，属于基础题. 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为
n a =_____．
【答案】322n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】根据11,1,2,n n n S n a S S n n N
-=⎧=⎨-≥∈⎩，得112a =,和13
12n n a a -=-，再构造出
()13222n n a a --=
-，从而可得数列{}2n a -是以32-为首项，3
2
为公比的等比数列，可求得解. 【详解】
由323n n S a n =+-，可得1111,
31n a S a ===-，即11
2
a =
； 2n ≥时113233223n n n n n a S S a n a n --=-=+---++，即有13
12
n n a a -=
- 设()132n n a a λλ-+=
+，解得2λ=-，又1132222
a -=-=-， 所以，数列{}2n a -是以32-为首项，32为公比的等比数列，即有322n
n a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，
所以322n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
故答案为：322n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查根据数列的n a 和n S 的关系得出数列的通项公式的问题，关键在于将既含有n a 又含有n S 的式子，转化成只含有n a 或只含有n S 的式子，再构造新数列使之成等差数列或等比数列，属于中档题.
三、解答题
17．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知6c =，3b =，
sin 2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，AE 为BAC ∠的角平分线.
（1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积.
【答案】（136； （2315
. 【解析】（1）根据题意，哟祖新大陆可得2cos c C b =.进而得到1
cos 4
C =
；又由
2221
cos 24a b c C ab +-==，可得3CD =.最后在在ACD ∆中，由余弦定理得
2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，即可求出AD .
（2）根据题意，因为AE 平分BAC ∠，所以
1
21
2
ABE
ACE
BE h S S CE h ∆∆⋅=⋅，由此可得123CE BC =
=，由1cos 4C =
，则sin C =，故ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-即可. 【详解】
（1）根据题意，sin2sin 2sin cos sin C B C C B =⇒=， ∴2cos c C b =. 又3b =，6c =， ∴1
cos 24
b C
c =
=； 又由2221
cos 24
a b c C ab +-==，
解得6a =，即6BC =，则3CD =.
在ACD ∆中，由余弦定理得2
2
2
27
2cos 2
AD AC CD AC CD C =+-⋅=
，
解得AD =
（2）根据题意，因为AE 平分BAC ∠，
所以11sin 2
211sin 22
ABE ACE AB AE BAE BE h
S S AC AE CAE CE h
∆∆⋅∠⋅==⋅∠⋅， 故
2AB BE
AC CE
==， 变形可得123CE BC =
=，1cos 4C =
，则sin 4
C =，
所以11333224248
ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法，属中档题. 18．某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、
B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
B 校样本数据统计表： 成绩（分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数（个） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0
（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.
（2）从A 校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率.
【答案】（1）A 校样本的平均成绩为6A x =，A 校样本的方差为2
1.5A s =；B 校样本的平均成绩为6B x =，B 校样本的方差为2
1.8B s =；A 校学生的计算机成绩比B 校学生的成绩更稳定；（2）
3
5
【解析】（1）分别求出两校样本数据的均值和方差A x 、B x 、2
A s 、2
B s ，由A B x x =，可知两校学生的计算机成绩均值相同，比较方差可知2
2
A B s s <，从而可知A 校学生的成绩更稳定；
（2）计算可知A 校成绩为7分的学生应抽取的人数为4人，成绩为8分的学生应抽取的人数为1人，成绩为9分的学生应抽取的人数为1，进而可得到所有基本事件的总个
数及满足条件的基本事件的个数，再结合古典概型的概率公式，可求出答案. 【详解】
（1）从A 校样本数据的条形图可知：
成绩为4分的学生有600.16⨯=人，成绩为5分的学生有600.2515⨯=人， 成绩为6分的学生有600.3521⨯=人，成绩为7分的学生有600.212⨯=人， 成绩为8分的学生有600.053⨯=人，成绩为9分的学生有600.053⨯=人. 所以A 校样本的平均成绩为465156217128393
660
A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，
A 校样本的方差为
2A s =
222222
6(46)15(56)21(66)12(76)3(86)3(96)60
⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-1.5=，
从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693
660
B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，
B 校样本的方差为
2B s =
222222
9(46)12(56)21(66)9(76)6(86)3(96) 1.8
60
⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=.
因为A B x x =，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为2
2
A B s s <，所以A 校学生的计算机成绩比B 校学生的成绩更稳定.
（2）依题意，A 校成绩为7分的学生应抽取的人数为：
6
1241233
⨯=++人，设为
a b c d ,,,；
成绩为8分的学生应抽取的人数为：
6
311233
⨯=++，设为e ；
成绩为9分的学生应抽取的人数为：
6
311233
⨯=++，设为f . 所以所有基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共15个， 其中，满足条件的基本事件有：,,,,,,,,ae af be bf ce cf de df ef ，共9个，
所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为93155
P ==. 【点睛】
本题考查统计知识，考查平均数及方差的求法，考查分层抽样及古典概型问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．如图所示，四棱锥A BCDE -中，BE CD ∥，BE ⊥平面ABC ，3
2
CD BE =，点F 在线段AD 上.
（Ⅰ）若2AF FD =，求证：EF P 平面ABC ；
（Ⅱ）若ABC ∆为等边三角形，3CD AC ==，求四棱锥A BCDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
3
4
【解析】（I ）取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF .通过比例相等和平行公理，证得四边形BGFE 为平行四边形，由此证得//EF BG ，进而证得//EF 平面
ABC .（II ）先证得平面ABC ⊥平面BCDE ，根据面面垂直的性质定理得到四棱锥A BCDE -的高即为ABC ∆中BC 边上的高.求出高后根据锥体的体积公式求得体积.
【详解】
（Ⅰ）取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF . 因为
23AG AF AC AD ==，则2
3
GF CD BE ==. 而GF CD P ，BE CD ∥，故GF BE P . 故四边形BGFE 为平行四边形，故EF BG ∥.
因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF P 平面ABC .
（Ⅱ）因为BE ⊥平面ABC ，BE ⊂平面BCDE ， 所以平面ABC ⊥平面BCDE .
所以四棱锥A BCDE -的高即为ABC ∆中BC 边上的高.
BC 333
3=
. 故四棱锥A BCDE -的体积1133153
(23)332V =⨯⨯+⨯=
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，属于中档题.
20．已知ABC ∆的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -.点A 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求Γ的方程；
（Ⅱ）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DE
k ，
k
λ
，
1
DF
k 成等差数列，求λ的值.
【答案】（Ⅰ）()22
1243
x y x +=≠±；（Ⅱ）2.
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义得轨迹方程即可；（Ⅱ）依题意得11
2DE DF
k k k λ⋅
=+，得
2DE DF k k k k λ=
+，联立22(1)34120
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()1212
22DE DF k x k x k k k k y y +++=+代入韦达定理得2λ=即可 【详解】
（Ⅰ）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =，则
42AB AC BC +=>=，
故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），
故Γ的方程为22
1(2)43
x y x +=≠±.
（Ⅱ）依题意，11
2DE DF
k k k λ⋅
=+，故2DE DF
k k k k λ=
+. 联立22
(1)34120
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩整理得()2222
3484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k +=+，2122
41234k x x k -=+. 故
()()1212
22DE DF k x k x k k
k k y y +++=+()()()()12122211k x k x k x k x ++=+-- ()()()1212123233
221111x x x x x x +-=+
+=+----()()1212
123221x x x x x x +-=+-++ 22
2222
832342412813434k k k k k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++()
22222
386822242412834k k k k k λ--=+=+==--++， 则2λ=. 【点睛】
本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. 21．已知函数2()x f x me x =-.
（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()(4)x
f x x me ≥-在[0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范
围.
【答案】（Ⅰ）10x y -+=；（Ⅱ
）)
12e ⎡+∞⎣
【解析】（I ）求得函数的导数，由此求得切线的斜率，再求得切点的坐标，进而求得切
线方程.（II ）将原不等式分离常数，得到2max
4(1)x x x m x e ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭，
构造函数24()(1)x x x
g x e x +=+，利用导数求得()g x 的最大值，由此求得m 的取值范围. 【详解】
（Ⅰ）依题意，2()x f x e x =-，故'()2x
f x e x =-.'(0)1f =，而(0)1f =.
故所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=. （Ⅱ）由(
)2
4x
x
me x x me
≥--得2
(1)4x
me x x
x +≥+.
即问题转化为当0x ≥时，2max
4(1)x x x m x e ⎛⎫
+≥ ⎪+⎝⎭.
令24()(1)x x x
g x e x +=+，0x ≥，则()
22(2)22'()(1)x x x x e
g x x -++-=+. 由'()0g x =及0x ≥
，得1x =
.
当1)x ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；
当1,)x ∈+∞时，)'(0g x <，()g x 单调递减.
所以当1x =
时，1max ()1)2g x g e ==
所以12m e ≥即实数m
的取值范围为)
12e ⎡+∞⎣
.
【点睛】
本小题主要考查切线方程的求法，考查恒成立问题的求解策略，考查利用导数求函数的最大值的方法，综合性较强，属于中档题.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22
2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
()26cos sin 14ρρθθ=+-.
（1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦长AB . 【答案】（1）2
2
(3)(3)4x y -+-=（2
）【解析】（1）运用公式cos x ρθ=，sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求得弦长AB 【详解】
（1）由()2
6cos sin 14ρρθθ=+-，得圆C 的直角坐标方程为
226614x y x y +=+-，即()()22
334x y -+-=
（2）将直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得22
134
⎫⎫
---=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
即260t -+=，设两交点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，从而
12t t +=126t t =
则
12AB t t =-==【点睛】
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=，sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难些，常通过变形，进行整体代换；灵活运用参数t 的几何意义可以快速求得弦长 23．已知函数()|21|2|3|f x x x =++-. （1）求不等式()7f x x ≤的解集；
（2）若关于x 的方程()||f x m =存在实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|1}x x ≥；（2）7m ≥或7m ≤-
【解析】（1）不等式()7f x x ≤，即|26||21|7x x x -++≤，分21x <-、1
32
x -≤≤和3x >三种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；
（2）由绝对值不等式的性质可求得()7f x ≥，令||7m ≥，求出m 的范围即可. 【详解】
（1）不等式()7f x x ≤，即|26||21|7x x x -++≤，
可化为①12
26217x x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩，或②1
3
226217x x x x
⎧-≤≤⎪⎨⎪-+++≤⎩，或③3
26217x x x x >⎧⎨
-++≤⎩
，
解①无解，解②得13x ≤≤，解③得3x >， 综合得1x ≥，
所以原不等式的解集为{|1}x x ≥.
（2）由绝对值不等式的性质可得()|26||21||(26)(21)|7f x x x x x =-++≥--+=， ∵关于x 的方程()||f x m =存在实数解，
∴||7m ≥，解得7m ≥或7m ≤-. ∴实数m 的取值范围为：7m ≥或7m ≤-. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查方程存在解问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。